Вивчення таблиці множення за системою розвивального навчання

Множення є центральною темою програми 2 і 3 класів. На відміну від
традиційної програми воно розглядається як особлива дія, що пов’язана з
переходом у процесі виміру величин до нових мірок. Фактично з цією дією
діти працювали вже в першому класі при вивчені позиційних чисел. Однак
там вона не була зафіксована як особлива дія і не мала розвитку.

Тому вивчення множення у другому класі слід почати з аналізу ситуації,
коли вимірювана величина набагато більша за задану мірку; у зв’язку з
чим виникає необхідність використання допоміжної, проміжної міри. Одне з
чисел, що описує цю ситуацію, фіксує відношення допоміжної міри до
вихідної, друге – кількість допоміжних мір до величини, яка вимірюється
(“ по…взяти…разів”), третє –
відношення вимірюваної величини до вихідної міри. Логічним завершенням
аналізу цієї ситуації є введення ділення як дії, направленої на
визначення проміжної міри (“ділення на частини”) або числа таких мір
(“ділення за змістом”). Тим самим з’являється можливість установити
змістові зв’язки між множенням і діленням, а також змістовно
інтерпретувати відношення “більше (менше) в … разів”, “більше (менше) на
…”.

Як і при вивченні дій додавання і віднімання, вивчення
множення і ділення слід починати з розгляду цих дій у загальній
(абстрактній) формі за допомогою моделей. Мається на увазі, що при
вивченні множення в якості засобів моделювання повинні бути використані
не тільки лінійні, але й плоскісні схеми, а також забезпечений перехід
від графічних до символічних (буквених) моделей (формул). Оволодіння
вмінням будувати графічні моделі множення і ділення, виконувати перехід
від цих моделей до буквених форм й навпаки є однією з найважливіших
задач цього етапу навчання.

Особливу увагу в процесі цієї роботи передбачається приділити вивченню
властивостей множення – переставної, сполучної і розподільної (відносно
додавання і віднімання).

Розуміння предметного змісту множення та його властивостей дозволяє
суттєво перебудувати (порівняно з традиційною програмою) роботу з
таблицями множення (ділення). В основу цієї роботи покладена задача на
дослідження зв’язку між змінюваним множником і розрядною структурою
результату.

У зв’язку з цим змінюється “істотний” порядок вивчення таблиць. Має
сенс почати їх конструювання з тих, у яких вказаний вище зв’язок
виражений в найбільш явному вигляді (таблиці множення 9, 2, 5 і 6).
Таблиці множення 4, 8, 3 і 7 слід сконструювати, спираючись на
розподільну властивість множення відносно додавання і віднімання.

Оскільки пошук закономірності, що пов’язує результат із змінюваним
множником, для кожної таблиці представляє особливу задачу, виникає
можливість підтримання активного інтересу протягом всієї роботи.

У той же час, оскільки результати табличного множення стають прямим
продуктом дій учнів, складаються передумови для їх продуктивного
мимовільного запам’ятовування, що знімає необхідність у спеціальному
заучуванні таблиць.

Етапи роботи по вивченню таблиці 9.

Дітям пропонується скласти таблицю 9, спираючись на поняття про
множення, як суму однакових доданків:

9 х 0 = 0 — кожен наступний результат на 9 більше, ніж

9 х 1 = 9 попередній.

9 х 2 = 18 Примітка: 9 х 10 = 90 – це не табличний
приклад,

9 х 3 = 27 а варіант множення 9 на 1 десяток.

9 х 4 = 36

9 х 5 = 45

9 х 6 = 54

9 х 7 = 63

9 х 8 = 72

9 х 9 = 81

Спираючись на таблицю 9, діти вправляються у розв’язанні прикладів
типу:

9 х 2 = …

9 х 3 = 27

9 х 4 = …,

коли результат отримується шляхом додавання чи віднімання 9 від наданого
результату.

Багаторазово виконуючи ці вправи, дитина доходить висновку, що, навіть
забувши який-небудь результат табличного множення, але пам’ятаючи
сусідній, вона в змозі впоратися з задачею, знайти вірну відповідь
шляхом додавання або віднімання множника – “мірки”. Це вселяє в дитину
почуття впевненості у собі і знімає стресові ситуації під час виконання
завдання.

На окремому уроці дітям пропонується робота щодо пошуку “секретів”
таблиці 9. Діяльність організовується в групах.

У результаті обговорення діти відшуковують такі “секрети” таблиці 9:

сума числа десятків і числа одиниць у відповіді дорівнює
9: 18 — 1 + 8 = 9; 63 — 6 + 3 = 9; 81 — 8 + 1 = 9 и т.п.

якщо порівнювати відповіді, розташовані по порядку, то:

кількість десятків збільшується на 1;

кількість одиниць зменшується на 1

(18, 27, 36, 45, …);

у таблиці є парні “відзеркалені” результати: 18 і 81, 54 і 45, 27 і 72 і
т.п.

— 1

9 х 2 = 18 ( 1 + 8 = 9)

— 1

9 х 3 = 27 ( 2 + 7 = 9)

— 1

9 х 9 = 81 ( 8 + 1 = 9)

знаючи, що, наприклад, 9 х 4 = 36, можна знайти “сусідні” результати:

9 х 3 = 27 + 1

9 х 4 = 36

6) кожен наступний результат відмінний від попереднього на 9,а

9 = 10 – 1

9 х 5 = 9 х 4 + 1 дес. без 1

Аналізуючи знайдені “секрети”, діти приходять до висновку, що
найскладнішу таблицю – таблицю 9 запам’ятовувати немає потреби.

Потрібно:

1) уміти від множника, відмінного від 9 (крім випадку 9 х 9), відняти
одиницю;

2) знати склад числа 9.

Таким чином, створюється ситуація успіху на перших кроках роботи з
таблицею множення.

На наступних уроках дітям пропонується завдання, що мають метою
тренувати дітей у мимовільному запам’ятовуванні таблиці множення 9.

назвіть з результатів таблиці 9 найменше число; при множенні яких чисел
його можна отримати?

назвіть з результатів таблиці 9 найбільше число; при множенні яких чисел
його можна отримати?

назвіть з результатів таблиці 9 число, у якому 3 десятки і 6 одиниць,
при множенні яких чисел його можна отримати?

назвіть з результатів таблиці 9 число, в якому одиниць на 5 більше, ніж
десятків, при множенні яких чисел його можна отримати?

назвіть з результатів таблиці 9 число, в якому числа десятків і одиниць
– сусіди, при множенні яких чисел його можна отримати?

назвіть з результатів таблиці 9 число, у якому число одиниць вдвічі
менше за число десятків і т.п.

Завдання мнемічного напрямку, що створюють ситуацію для мимовільного
запам’ятовування таблиці 9:

1) ” 9 пухнастих цуценят з’їли 18 смачних цукерок. Від тих цукерок
залишилось 27 різнокольорових фантиків. Приповзло 36 мурашок і …”

малювання відповідей і прикладів з таблиці множення 9;

заучування таблиці 9 за допомогою пальців обох рук.

Гра “Пам’ятаю! Не пам’ятаю!” – запис тих табличних відповідей, що
запам’ятала дитина, в одну колонку (з прикладом); запис прикладу,
відповідь якого ще не запам’яталася учневі – у другу колонку.

Щоб забезпечити стійку мотивацію вивчення табличних випадків множення і
ділення, учням відразу ж пропонують приклади на множення багатоцифрових
чисел на одноцифрові. Дитина потрапляє в ситуацію, коли незнання таблиці
гальмує її рух уперед.

Е.І.Александрова пропонує в підручнику математики для 2 класу вправи
таких типів:

Визнач кількість цифр у добутку:

1824 9824 3852

___2 ___2_ ___4_

(Дитина, роблячи прикидку, 1824 3852

визначає, яким буде число ___2 ___4_

у відповіді і, рахуючи додаванням

кожен окремий випадок множення або користуючись таблицею, мимоволі
запам’ятовує табличні випадки множення);

Віднови пропущені цифри:

…….

____9

9

…….

____9

63

…….

____9

57

(Учні, виконуючи завдання, не тільки ще і ще раз повторюють таблицю
множення 9, але й готуються до теми, що викликає великі труднощі В
третьокласників традиційних класів “Ділення на багатозначне число”.

Заверши складання прикладів:

…… …….. ……..

___9 ____9 ____9

49 90 92

Де “пастка”?

При виконанні завдань з множення багатоцифрових чисел на 9, діти
“винаходять” спосіб перевірки результату множення шляхом віднімання
багатоцифрового множника від добутку цього числа і десяти:

3271 3271 32710 32710

____9 ___9_ 3271 3271

29439
29439

Завершуючи роботу над вивченням таблиці 9 (що триває десь протягом двох
тижнів), учні, розглядаючи таблицю множення, знаходять знайомі вже
результати у таблицях 2, 4, 3, 5, 6 і т.п., тим самим якби збільшуючи
кордони своїх знань і обмежуючи своє незнання.

Наступна таблиця, що пропонується учням, — це таблиця 2.

Наведу деякі етапи і прийоми роботи з вивчення таблиці 2.

На першому уроці учнями складається таблиця 2 і записується в порядку
зростання другого множника.

Прийоми складання таблиці:

підрахунок суми певних кількостей числа 2

2 х 1 = 2, 2 х 2 = 2 + 2 = 4 і т.п.);

знаходження результату з опорою на попередній;

знаходження результату з опорою на наступну відповідь

2 х 0 = 0

2 х 1 = 2

2 х 2 = 4

2 х 3 = 6

2 х 4 = 8

— — — — — — — — — — — — —

2 х 5 = 10

2 х 6 = 12

2 х 7 = 14

2 х 8 = 16

2 х 9 = 18

2. Спираючись на переставну властивість множення, учні пропонують
“легкий” спосіб віднаходження результатів:

2 х 3 = 3 х 2 = 6

2 х 9 = 9 х 2 = 18

Діти, пам’ятаючи цікаві моменти в роботі над таблицею 9, самі пропонують
відшукати “секрети” в новій таблиці, тим самим ініціюючи роботу із
запам’ятовування (підкреслюю – мимовільного) таблиці множення.

Ось “секрети”, знайдені учнями:

Таблиця множення ділиться навпіл, кількість одиниць у відповідях першої
половини таблиці співвідноситься з кількістю одиниць відповідей другої
половини.

Тут же пропонується дітям записати таблицю 2, поділивши її на дві
частини:

2 х 0 = 0 2 х 5 = 10

2 х 1 = 2 2 х 6 = 12

2 х 2 = 4 2 х 7 = 14

2 х 3 = 6 2 х 8 = 16

2 х 4 = 8 2 х 9 = 18

Число одиниць у відповідях збігається, але в другій половині таблиці
всі результати на 1 десяток більші.

Спираючись на сполучну властивість множення, порівнюючи приклади першої
і другої половин таблиці, учні доходять висновку:

2 х 2 і 2 х 7 = 2 х 2 + 2 х 5

10

2 х 4 і 2 х 9 = 2 х 4 + 2 х 5

10

Отже, діти, яким це цікаво, виконуючи приклад табличного множення 2,
можуть міркувати так:

“ 2 х 8 – це 2 х 5 і 2 х 3, або 10 і 6, разом 16”.

Урок, присвячений пошуку “секретів” таблиці 2, мав підсумок: 80 % учнів
на уроці вже вивчили таблицю 2.

На наступних уроках знов пропонуються вправи, спрямовані на спонукання
до мимовільного заучування таблиці (вони описані в розповіді про роботу
над таблицею 9).

Е.І.Александрова пропонує вправи на зв’язок множення і ділення:

З чисел від 0 до 90 випиши ті, що:

а) діляться на 9;

б) при діленні на 9 у залишку дають 1(2, 3, …8);

в) діляться на 2 (без залишку).

Постав знак рівності, запиши, на скільки один добуток відрізняється від
іншого.

Підрахуй добутки і запиши їх:

2 х 6 2 х 7 на _______

2 х 8 2 х 9 на _______

2 х 4 2 х 3 на _______

5 х 2 5 х 2 на _______

4 х 2 5 х 2 на _______

7 х 2 9 х 2 на _______

2 х а 2 х (а + 1) на _______

2 х (а – 2) 2 х (а – 1) на _______

По схемі придумай приклади і розв’яжи їх:

…….. ………

_____ ______

Упродовж тижня двом дітям пропонується порівняння двох таблиць – 9 і
2.

Робота над таблицею 2 завершується відшукуванням у таблицях 3, 4, 5, 6,
7 і 8 результатів таблиці 2.

4

6

u

6

¶ I ^!?!P»O»e»th» #/iaUeNNAE3/43/43/43/4?§§§§§§§

&

,H,J,oooeooooaaeOEE3/43/4oEaaEa

&

&

&

&

&

???????

????????????.

??????????

??????????

GuuuoeeeeeeeeeeeYIA··

&

&

G?G?G¤G¦G(I?IRJaeJeL\MOM–NOeN,OzOOODPXPoeoeoeninnaUUU?Ae?«???

&

gdp&U

&

&

????????????L

??????

bVbXbAb,c–cooeeaaaaaaaaaOEEEOEEEEE

&

&

‹&‹<‹R‹oooooeoooaaaaOoooooooooo & F & 6 Вивчивши таблицю 2, другокласники знайомляться з поняттям “ділення із залишком”. Це знання знадобиться при роботі з таблицею 5. Деякі зауваження щодо роботи з таблицею 5: На окремому уроці, присвяченому знайомству з таблицею 5, діти відомими раніш способами, по порядку складають і записують таблицю 5 у стовпчик: 5 х 0 = 0 5 х 1 = 5 5 х 2 = 10 5 х 3 = 15 5 х 4 = 20 5 х 5 = 25 5 х 6 = 30 5 х 7 = 35 5 х 8 = 40 5 х 9 = 45 Ще, складаючи таблицю, учні, що пізнали смак пошукової роботи під час аналізу таблиць 9 і 2, зауважують на “секрети” таблиці 5: У відповідях таблиці 5 чергуються числа одиниць – 0 і 5; У двоцифрових відповідях повторюється число у десятках (10, 15; 20, 25; 30, 35; 40, 45); При множенні 5 на парне число отримуємо результат, що закінчується нулем; При множенні 5 на непарне число маємо відповідь що закінчується числом 5; За парністю-непарністю результату таблиця 5 поділяється на 2 половини: 5 х 0 = 0 5 х 1 = 5 5 х 2 = 10 5 х 3 = 15 5 х 4 = 20 5 х 5 = 25 5 х 6 = 30 5 х 7 = 35 5 х 8 = 40 5 х 9 = 45 Тепер третьокласники аналізують кожну частину таблиці 5 окремо. У результаті групового обговорення учні знаходять такі закономірності: - число десятків у відповіді вдвічі менше множника, відмінного від 5: 5 х 2 = 10 5 х 4 = 20 5 х 6 = 30 : 2 : 2 : 2 (це у випадках із парним множником). Якщо ж другий множник – число непарне, то діти, знаючи про існування ділення з остачею, зауважують, що: число десятків у відповіді також вдвічі менше за множник, відмінний від 5; при діленні множника, відмінного від 5 (да і 5 у випадку 5 х 5) завжди буде залишатися 1 одиниця: 5 х 3 = 15 3 : 2 = 1 (ост. 1) : 2 5 х 5 = 25 5 : 2 = 2 (ост. 1) : 2 5 х 7 = 35 7 : 2 = 3 (ост. 1) : 2 Таким чином, діти знаходять спосіб множення будь-якого числа на 5: 8 х 5 8 – число парне, тому в одиницях буде число 0; 8 : 2 = 4, з цього слідує, що в десятках буде число 4; отже, 5 х 8 = 40 : 2 5 х 7 7 – число непарне, тому в одиницях буде число 5; 7 : 2 = 3 (ост. 1), це значить, що в десятках буде число 3: отже, 5 х 7 = 35 : 2 До цих пір учні працювали з таблицею множення, записаній у вигляді стовпчиків, де кожен множник на одиницю відмінний від попереднього. Робота з таким записом таблиці множення була необхідна для того, щоб діти мали змогу якнайкраще аналізувати усі взаємозв’язки у таблицях множення 9, 2 і 5. Але самі діти, пам’ятаючи роботу зі складання таблиці – довіднику на додавання, зустрічаючись із таблицею Піфагора у довідковій літературі, ставлять перед учителем і класом задачу на складання таблиці – довідника на множення. Дітям пропонується скласти таку таблицю (її заготовку) у групах. Тут з’являються різні варіанти упорядкування результатів: ___1__2__3__4_…. 1 … 2 5 3 4 4 3 … 2 1 … 5 4 3 2 1 … 5 …. 5 4 3 2 1 4 1 3 2 2 3 1 4 1 2 3 4 5 …. 5 … Після аналізу усіх запропонованих варіантів, учні доходять висновку: починати заповнювати таблицю зліва праворуч і зверху вниз зручніше людям, що пишуть правою рукуою, і представникам європейської цивілізації, що читають зліва направо; результат множення на 1 і множення одиниці розглядати немає сенсу. Діти на окремих картоних аркушах замальовують заготівку для таблиці Піфагора: 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 Організується мотивована робота з повторенню вивчених випадків таблиці множення – заповнення таблиці Піфагора. Спочатку заповнюємо крайні клітинки (результати таблиці 2 і 9), потім – середні результати (відповіді таблиці 5). Знов і знов аналізуємо зв’язок між множниками і числами у результаті. Обігрується порядок заповнення таблиці. Аналізується попередня робота по вивченню таблиці. Етапи заповнення таблиці Піфагора: 1 урок 2 3 4 5 6 7 8 9 2 18 3 27 4 36 5 45 6 54 7 63 8 72 18 27 36 45 54 63 72 81 2 урок 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 6 27 4 8 36 5 10 45 6 12 54 7 14 63 8 16 72 9 18 27 36 45 54 63 72 81 3 урок 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 6 15 27 4 8 20 36 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 12 30 54 7 14 35 63 8 16 40 72 9 18 27 36 45 54 63 72 81 Учні, заповнюючи таблицю Піфагора, заінтриговані зовнішньою стороною цієї роботи, хочуть з’ясувати, чому так відбувається. Знов і знов організовується робота щодо аналізу таблиці множення. Другокласники прагнуть позбутися “білих плям” у таблиці Піфагора. Вони пропонують продовжити роботу з вивчення таблиць множення. Зупиняємо вибір на таблиці 6. Фрагменти роботи з таблицею 6: Складання таблиці 6 різними способами (цю роботу ініціюють самі діти): 6 х 0 = 0 6 х 1 = 6 6 х 2 = 12 6 х 3 = 18 6 х 4 = 24 6 х 5 = 30 6 х 6 = 36 6 х 7 = 42 6 х 8 = 48 6 х 9 = 54 Порівняння з іншими таблицями: Скільки прикладів у наведеній таблиці? Чи всі дев’ять запропонованих прикладів треба вивчити? (З’ясовується, що випадки 6 х 2 6 х 5 6 х 9, використовуючи переставну властивість множення, заучувати не треба; а 6 х 0 і 6 х 1 труднощів не викликають). Отже, запам’ятовуючи таблицю 6, діти мають вивчити лише 4 приклади. Знов організується робота в групах по пошуку “секретів” таблиці 6: 6 х 2 = 12 6 х 6 = 36 6 х 4 = 24 6 х 8 = 48 При озвучуванні цих прикладів відчувається рима: “шість на чотири – двадцять чотири”, “шість на шість – тридцять шість”, “шість на вісім – сорок вісім ”, “шість на два…….. і діти пропонують:” “…..десять два ”. У розряді одиниць результатів зустрічаються тільки парні числа; У відповідях спостерігаються повторення цифр в одиницях: 6 ---- 36 24 ---- 54 12 ----- 42 18 ---- 48 Таким чином, таблиця 6 поділяється навпіл: 6 х 0 = 0 6 х 5 = 30 6 х 1 = 6 6 х 6 = 36 6 х 2 = 12 6 х 7 = 42 6 х 3 = 18 6 х 8 = 48 6 х 4 = 24 6 х 9 = 54 Приклади (попарно) першого і другого стовпчиків відрізняються числом десятків (на 30 більше, на 3 десятки, або на 6 х 5). Отже, дитина може розмірковувати так: 6 х 9 = 6 х 4 + 6 х 5 = 24 + 30 = 54. Пропонується робота по порівнянню результатів різних таблиць. Діти виконують вправи, направлені на мимовільне запам’ятовування, описані в роботі з таблицею 9, на матеріалі усіх вивчених таблиць. Результати таблиці множення 6 заповнюються у порожні клітинки таблиці Піфагора. Діти аналізують обсяг вивченого в таблиці Піфагора і встановлюють межі свого незнання. Рахують кількість незаповнених клітин і ділять це число на 2 (спираючись на переставну властивість множення). Створюється ситуація успіху: “Я вже багато знаю, знаю найскладніше в таблиці!” Е.І.Александрова в підручнику математики пропонує вправи, що сприятимуть успішному засвоєнню таких випадків табличного множення: Знайди перший добуток, потім, спираючись на нього, другий: 5 х 4 = 5 х …= … +… = Знайди добуток, який легко підрахувати по даному: 8 х 5 = …х 5 = …+ …. = Обчисли результат, використовуючи два різних вихідних приклади: 9 х 5 = … + … = 9 х 5 = … + … = Вивчені таблиці множення 4 і таблиці множення 8 розглядається через таблицю множення 2. Тема не викликає непорозумінь ще й тому, що так довго працюючи з таблицею, учні вже її майже знають напам’ять. Та й прикладів для заучування таблиць 4 і 8 залишилося зовсім мало: у таблиці 4: 4 х 3 4 х 7 4 х 4 4 х 8 у таблиці 8: 8 х 3 8 х 7 8 х 8 Діти, працюючи одночасно з таблицями 8 і 4, вказують на закономірність: “помножити на 8 – це помножити на 4, а потім на 2”, “помножити на 4 – це помножити на 8, а потім узяти половину”. Працюючи з таблицею множення 3, третьокласники, що 3 х 0 = 0 захоплені роботою відшукування “секретів”, 3 х 1 = 3 стають у ситуацію, коли всі попередні способи 3 х 2 = 6 не працюють. Учитель, запевняючи, що “секрет” 3 х 3 = 9 все ж таки є, активізує учнів до відкриття власти- 3 х 4 = 12 вості ділення числна на 3: “Сума цифр результату 3 х 5 = 15 множення на 3 завжди ділиться на 3 без остачі: 3 х 6 = 18 3 х 8 = 24 2 + 4 = 6 6 : 3 = 2 3 х 7 = 21 3 х 5 = 15 1 + 5 = 6 6 : 3 = 2 ” 3 х 8 = 24 3 х 9 = 27 Результати таблиці множення 4, 8 і 3 вписуються в порожні клітини таблиці Піфагора. Учні з подивом відзначають, що таблицю множення 7 вчити не треба, варто лиш запам’ятати, що 7 х 7 = 49. Отже, вивчаючи таблицю множення за програмою розвивального навчання, діти дізнаються про різні та цікаві методи вивчення таблиці. Багаторазово виконуючи вправи, вони приходять до висновку, що навіть забувши який-небудь результат табличного множення, вони в змозі впоратися із задачею, знайти правильну відповідь шляхом додавання або віднімання множника, користуючись таблицею Піфагора. ЛІТЕРАТУРА Давыдов В,В, Теория развивающего обучения [Текст] / В.В. Давидов. – М.: ИНТОР, 1996. – 544 с. Державний стандарт початкової загальної освіти // Початкова освіта. – 2006. - № 2. – С.2-31. Дусавицький А.К. Развивающее образование: теория и практика: статьи [Текст] / А. К. Дусавицький. – Х., 2002. – 146с. Дусавицький А.К. Урок в системе развивающего обучения [Текст] / А.К.Дусавицький, Е.М. Кондратюк, И.Н. Толмачева, З.И. Шилкунова. – М.: Вита-Пресс, 2008. – 288с. Книга вчителя початкової школи: Довідково-методичне видання /Упоряд. Г.Ф.Древаль, А.М.Заїка. – Харків: Торсінг Плюс, 2005. – 688 с. Програми для середньої загальноосвітньої школи. 1-4 класи. – К.: Початкова школа, 2006. – С.88-116. PAGE

Похожие записи