Реферат на тему:
Методика формирования исследовательских умений в процессе решения задач
с параметрами
Решение задач с параметрами не должно быть оторвано от содержания
школьного курса математики. Проанализируем, например, одну из
содержательных линий курса алгебры и начал анализа – “Элементарные
функции”, акцентируя внимание на том с помощью каких задач с параметрами
возможно ее обогащение в плане формирования исследовательских умений
учащихся.
При изучении содержательной линии “Элементарные функции” повторяются и
расширяются основные сведения о функциях, приобретенные в основной
школе, вводится понятие тригонометрических функций угла любой величины и
тригонометрических функций числового аргумента; доказываются основные
свойства тригонометрических функций и строятся их графики; изучаются
показательная, логарифмическая и степенная функции. Изучение данной
содержательной линии дает возможность подвести учащихся к пониманию
того, что каждая функция математически формулирует зависимость между
реальными величинами различных явлений, причем одна и та же функция
используется для описания различных явлений и процессов, тоесть является
их моделью.
Начинать решение задач с параметрами, входящими в данную содержательную
линию, лучше всего с простейших. Таковыми являются задачи, модель
которых – линейная функци y = kx + b, где x – независимая переменная, k
и b- некоторые числа, которая выражает зависимость между координатой
тела, которая двигается прямолинейно и равномерно, и временем ее
движения: x(t) = x0 + vxt , где x0 – начальная координата, vx – проекция
скорости тела; между стоимостью машины и числом лет ее эксплуатации: S =
S0 –Rt , где S0 – начальная стоимость, R – годовая амортизация. Прямая
пропорциональность y = kx выражает зависимость между давлением жидкости
P, плотность которой (, и высотою столба жидкости h: P=(gh, где g=9,8
м/с2; между мощностью тока P и его силой I при постоянном напряжении U:
P=IU.
Для повторения свойств линейной функции на уроках можно предложить
следующие задачи, способствующие развитию умений наблюдать объекты
задачи при изменении параметров.
Задача 1. Как себя будет вести прямая y = ax + b , если параметр а
является постоянным, а параметр b – увеличиваетя? уменьшается?
Задача 2. Как себя будет вести прямая y = ax + b, если параметр в
является постоянным, а прараметр а – увеличивается? уменьшается? а(0? а
( ( ?
Задача 3. Является ли устойчивым корень x0 уравнения ax-b=0 при малых
изменениях параметра а ( a1(a+()? параметра b (b1( b+()?
Для большей наглядности при решении данных задач можно воспользоваться
программным продуктом GRAN1. Построить различные случаи прямой при
различных значениях параметров а и b и сравнить их.
Для формирования учебных исследовательских умений, связанных с вопросом
разрешения ситуаций в задачах при недостаточном количестве данных можно
предложить следующую задачу.
Задача.4. Турист должен преодолеть расстояние в 10км. Он знает, что на
середине пути он может взять на стоянке велосипед, максимальная скорость
которого 15км/ч. За какое возможное время турист доберется в конечный
пункт.
Для учащихся в обычном смысле задача неразрешима, так как в ней
однозначно не хватает данных. Но, проводя даже на таком простом
материале небольшое исследование, можно получить решение задачи.
Продолжая рассматривать систему задач с параметрами по теме “Линейная
функция”, естественно далее предложить задачи о нахождении параметров в
линейной зависимости по экспериментальным данным. Обратимся к случаю,
когда данных в задаче больше, чем два. В традиционном понимании такая
задача решения иметь не будет, так как имеем количество уравнений в
системе превышает количество неизвестных. Но, тем не менее, необходимо
объяснить учащимся, что именно такие задачи встречаются в повседневной
жизни и существуют различные методы их решения. В связи с этим, на
факультативном занятии можно предложить следующую задачу.
Задача 5. При испытании нового автомобиля шесть наблюдателей получили
следующие данные, указаные в таблице
T,с – время наблюдения S, м – расстояние, за время наблюдения
1й наблюдатель 2 200
2й наблюдатель 3 400
3й наблюдатель 4 450
4й наблюдатель 2 250
5й наблюдатель 5 600
6й наблюдатель 7 700
Найти скорость нового автомобиля, воспользовавшись экспериментальными
данными.
В качестве самостоятельного исследовательского задания учащимся можно
предложить следующее.
Задача 6. Является ли зависимость веса человека от его роста линейной?
Соберите экспериментальные данные, опросив несколько человек. Определите
параметры данной зависимости. Отметьте интересные тенденции в данном
исследовании.
Продолжая линию “Элементарные функции”, на уроках можно предложить для
решения задачи с параметрами, содержащие понятие обратной
пропорциональности.
gdOe:B
ytOe:B
и g(x)= 1;
, g(x)=1;
, где S – постоянная.
Среди элементарных функций, на наш взгляд, большим развивающим
потенциалом обладает квадратичная функция. Вспоминая о прикладном смысле
квадратичной зависимости, можно отметить, что квадратичная функция y=
ax2 + bx + c, где a,b,c – некоторые числа, причем а ( 0, выражает,
например, зависимость сопротивления f сухой горизонтальной дороги с
твердым покрытием движения автомобиля от скорости v его движения:
. С помощью квадратичной функции можно также описать модель полета тела,
брошенного под углом к горизонту. В связи с такой трактовкой учащимся
можно предложить систему задач, связанную с тематикой пушечного
выстрела, которая может быть рассмотрена на факультативном занятии.
Приведем пример одной из таких задач.
Задача 9. Из пушки под углом ( к горизонту вылетает снаряд. С какой
начальной скоростью v0 надо выпустить снаряд, что бы он попал в точку,
находящуюся на расстоянии l от пушки?
; затрат воды Q через русло параболической формы, ширина которого В, от
наибольшей глубины h воды в реке: Q = 0,2Bhk, где к – некоторое число.
Задачи на использование приведенных моделей можно рассматривать как на
уроках, так и на факультативных занятиях.
С помощью тригонометрических функций выражается зависимость изменения
пути от времени в разнообразных колебательных процессах, представляются
законы оптики. После введения понятий тригонометрических функций как
функций угла, полезно рассмотреть задачи, математическими моделями
которых являются, например, следующие законы колебательных движений
f(t)=Asin((t+() или f(t)=Acos((t+().
Задача 10. Частица движется по закону f(t)= asin(a+1)t. При каких
значениях параметра а частица останавливается?
Показательная функция встречается при математическом описании таких
процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый
момент пропорциональна самому количеству. С помощью данной функции можно
записать модель процесса радиоактивного распада m=m0e-kt, где m – масса
вещества, которое распалось, m0 – масса вещества в начальный момент, t –
время, k – некоторая постоянная, а также закон размножения бактерий в
некоторой среде: N = N0akt, где N0 – начальное количество бактерий при
t=0, a и k – некоторые постоянные. Кроме этого показательная функция
характеризует рост народонаселения, изменение атмосферного давления и т.
д.
Изучение логарифмической функции начинается с введения понятия логарифма
и рассмотрения свойств логарифмов чисел, поскольку данное понятие тесно
связано со свойствами этой функции и использованием их в решении
уравнений, неравенств, вычислительной практике.
.
Изучая логарифмическую функцию полезно рассмотреть ряд примеров ее
практического использования: величина землетрясения (показания шкалы
Рихтера), интенсивность звука, полная стоимость продуктов, изготовленных
на фабрике определяются также по формулам, которые содержат
логарифмическую функцию.
При реализации данной содержательной линии важно также решение задач с
параметрами, затрагивающих свойства функций: нахождение области
определения и области значений функции, монотонность, экстремальные
свойства функции, четность, периодичность, обратимость и т.д. Приведем
примеры таких задач.
Задача12. Найти все целые а, при которых множество значений функции
не пересекасется с промежутком [3;().
Ниже приведем пример задачи, которая может быть предложена при решении
задач на экстремум.
Задача13. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
-5+5а+sin2x +a(3-cosx)3>0
выполняется при всех х.
Использование приведенных задач с параметрами автором в своей работе
показало, что в процессе их решения учащиеся полностью или частично
проходят этапы учебной исследовательской деятельности, что позволяет
сформировать у них соответствующие данным этапам учебные
исследовательские умения.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
