Реферат на тему:

Знайомство з методами оцінки похибок непрямих вимірювань і чисельний
експеримент

 

Вступ

Оцінка похибок вимірювань, особливо непрямих, є досить складною
процедурою, яка не може мати єдиного чіткого алгоритму, що спрацьовує у
будь-якій ситуації. З іншого боку, стиль викладення відповідного
матеріалу в навчальній літературі має нахил до алгоритмізації.
Суперечливість ситуації полягає у тому, що такий нахил виправдовують
саме складністю питання: мовляв, зрозуміти це без спеціальних знань з
теорії імовірностей і математичної статистики практично неможливо, хай
навчаться хоча б користуватися алгоритмом.

Вихід з такого стану справ ми пропонуємо шукати на шляху ретельної
розробки окремих типових ситуацій оцінки похибок вимірювань. При цьому
особлива увага повинна бути приділена доступності для розуміння тієї
інформації, що надається учням стосовно методів обробки
експериментальних результатів.

У сучасних умовах завдяки поширенню комп’ютерної техніки можна допомогти
необхідному формуванню емпіричного рівня знань, що стосуються
статистичних законів. Досить нескладні навчальні програми дозволять їх
користувачам здобути досвід, необхідний для більш глибокого розуміння
методів оцінки випадкових похибок.

У нашій роботі ми розглянемо два пов’язаних між собою класи задач, коли
за результатами безпосереднього вимірювання характеристик порівняно
невеликої групи окремих однотипних об’єктів треба зробити висновок
стосовно величин, що характеризують їх велику сукупність, або навпаки.
Наведемо конкретні приклади.

 г. Яка маса 10000 таких кульок?

 г. Яка маса однієї?

Подібні задачі досить часто зустрічаються, коли у нас немає зручних і
достатньо точних засобів вимірювання у потрібному діапазоні величин, але
є в іншому. У школі навіть вивчають так званий метод рядів. Його
застосовують, наприклад, для визначення діаметра тонкого дроту або
маленької кульки (якщо мають багато однакових кульок). Але як оцінювати
похибки для вказаних класів непрямих вимірювань?

Уточнення постановки задачі: важливість додаткової інформації

 г?

за формулами

.

.

, а також обсяг вибірки n, на якій вони були отримані.

Треба зробити прогноз стосовно відповідної величини Y, що характеризує
досить велику сукупність об’єктів відомого обсягу N. Який саме прогноз
можна буде зробити, з’ясуємо у ході дослідження.

у першій задачі. Треба зробити висновок стосовно випадкової величини X,
що характеризує окремий об’єкт.

Аналіз першого класу задач

Оцінка параметрів великої сукупності однорідних об’єктів за результатами
вимірювання характеристик невеликої кількості окремих її представників
не розглядається в явному вигляді в посібниках, орієнованих на обробку
результатів лабораторних робіт. З іншого боку, актуальність подібних
задач очевидна.

).

. Що ж до (c, зустрічаються принаймні дві відповіді (1, 26; 4, 93):

.

Перша відповідь пов’язується з методом меж, який вивчається у 8 класі за
програмою з алгебри. А про другу кажуть, що вона є наслідком теорії
ймовірностей і математичної статистики.

Дійсно, вона нагадує теорему про дисперсію суми незалежних величин (2,
121). Іноді подібні формули пишуть для суми будь-якої кількості величин
(3, 20). Зрозуміло, що для суми N однаково розподілених величин X, яка
позначена через Y, ми повинні отримати такі узагальнення:

.

Чим більше N, тим більше різниця між цими формулами. Яку вибрати?

Другий результат здається більш прийнятним. Дійсно, відхили від
середнього значення величини Xj при обчисленні суми Y повинні хоча б
частково компенсуватися, що приведе до меншої відносної похибки величини
Y порівняно з X (а у методі меж відносна похибка зберігається).

Але не все так просто: другий (“статистичний”) варіант виявляється
помилковим. Продемонструємо це на конкретному прикладі. Нехай існують
два експериментатори, які, вимірюючи випадкову величину (масу однієї
кульки), отримали результати:

 г.

Кожен з них указав, як і домовлялися, середнє арифметичне значення та
емпіричну середню квадратичну похибку. На перший погляд, результати
їхніх вимірювань досить точно співпадають. Чи однаковий буде у них
прогноз щодо маси 104 таких кульок, якщо вони будуть користуватися
“статистичним підходом”, а не методом меж?

Це неважко підрахувати:

 кг.

Як бачимо, “статистичний підхід” привів їх до того, що вказані ними
інтервали перестали перекриватися. Якби наші експериментатори
користувалися знайомим зі школи методом меж, такого не вийшло б.
Щоправда, й оцінена похибка була б дуже великою, адже метод меж не
враховує часткову компенсацію відхилів різного знаку від середнього
значення при додаванні великої кількості однаково розподілених
випадкових величин.

??

??????????H?H????

gd?:Ae

.

.

досить швидко перестають помітно залежати від n. Тут треба згадати ще
про одну відому статистичну величину, яка стане нам у нагоді, а саме про
середню квадратичну похибку середнього значення (4, 84):

.

отримуємо межі для Y:

.

знаходять з невеличкої вибірки.

Аналіз другого класу задач

, що характеризують велику сукупність однорідних об’єктів, то для
величини X можна зробити оцінки для математичного сподівання mX і
стандартного відхилу (X:

.

можна робити висновок досить грубо. Так, наприклад, якщо величина X
розподілена рівномірно на відрізку, то ця імовірність буде становити
0,58, а не 0,68, як у нормальному розподілі.

Чисельний експеримент

Створені нами ППЗ (педагогічні програмні засоби) дозволяють чисельно
моделювати випадкові процеси вимірювань та представляти результати у
графічній формі, а також зберігати всі одержані результати у вигляді
текстового файлу.

. Ці операції повторюються кілька разів (кількість задається
користувачем), і за їх результатами на екрані зображуються інтервали

,

.

) зображено на рис. 1.

З рисунку добре видно, що “найкращим” з інтервалів для Y є другий, що
узгоджується з висновками, отриманими вище теоретично. Але при роботі з
програмою “Інтервали” користувач може впевнитися в цьому на власному
досвіді, повторюючи чисельні експерименти з різними вхідними даними.

(( задається користувачем) тощо. Оскільки найбільш цікавою є частота
попадання Y до другого інтервалу, то її обчислення автоматизоване у
другій програмі — “Частота”.

(асимптотичне значення f для нормального розподілу).

Працюючи з програмою “Частота”, користувач має змогу встановити
емпіричним шляхом значення n і k, при яких частота f стає достатньо
близькою до fac.

 

Література

 

Загальна фізика: Лабораторний практикум: Навч. посібник/
В.В.Барановський, П.В.Бережний, І.Т.Горбачук та ін.; За заг. ред.
І.Т.Горбачука. — К.: Вища шк., 1992. — 509 с.

Осипов О.Ю. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч.
посібник для студентів фізичних спеціальностей вищих закладів освіти. —
Запоріжжя: Видавництво Запорізького держ. ун-ту, 1999. — 192 с.

Руководство к лабораторным занятиям по физике/ Под ред. Л.Л.Гольдина. —
М.: Наука, 1973. — 688 с.

Фетисов В.А. Оценка точности измерений в курсе физики средней школы: Кн.
для учителя. — М.: Просвещение, 1991. — 96 с.

Рис. 1.

Похожие записи