Історичні відомості про числа

Основи і методика початкової математики

Кількасот років тому з цифрами мало справу небагато людей: вчені,
збирачі податей, купці тощо. Нині ж цифри постійно нагадують нам про
себе. Відрізки часу, температура повітря, номер будинку і квартири,
номер школи тощо — все позначається цифрами.Цифри — це символи чисел,
знаки, за допомогою яких числа передають на письмі. Спочатку народилися
числа, а вже потім — цифри. Спочатку люди навчилися лічити, «винайшли»
число, а тоді знайшли спосіб записувати результати лічби.

Як же виникла лічба? З давніх-давен люди дошукувалися відповіді на це
запитання. І в різних народів відповідь була неоднакова. Стародавні
греки, наприклад, вважали, що людей навчив лічити Прометей. Той самий,
що за легендою викрав у богів вогонь і віддав його людям. Взагалі
більшість народів появу числа пов’язувала з «діяннями» богів або ж
міфічних героїв. Щоправда, інколи цю заслугу приписували людям, які
насправді жили колись. Автори староруських рукописів, наприклад,
вважали, що лічбу винайшов Піфагор — старогрецький математик, який жив у
VI столітті до нашої ери. Піфагор був великим математиком, але ж люди
вміли лічити задовго до VI століття! І не просто вміли лічити, а й мали
вчених, які писали математичні книги. Найдавніша математична книга
дійшла до нас з другого тисячоліття до нашої ери.

        Доведено, що був час, коли люди обходилися без чисел. Наприклад,
мешканці австралійських джунглів, бажаючи обмінятися продуктами, чинили
так. Люди одного племені клали на землю в’язки їстівного коріння, а
другого — навпроти кожної такої в’язки ставили кошик з рибою.
Встановивши відповідність цих множин (між в’язками й кошиками),
провадили обмін.

        З розвитком людства лічба ставала потребою, а пальці рук і ніг
довго були знаряддям лічби. Як люди використовували пальці для лічби,
покажемо на прикладі індіанців племені таманака (Південна
Америка).Замість «один» індіанці говорять «палець» і обов’язково
показують палець. Назви деяких інших чисел цього племені подано в
таблиці.

Числа Назви чисел у індіанців

Два Два пальці

Чотири Чотири пальці

П’ять Рука

Шість Палець на другій руці

Десять Дві руки

Одинадцять Палець на одній нозі

П’ятнадцять Нога і дві руки

Шістнадцять Палець на другій нозі

Двадцять Людина

Двадцять один Один палець на руці другої людини

Сто П’ять людей

          Ще й зараз деякі відсталі народи та малі діти користуються
пальцями  при лічбі.

           Є підстави гадати, що єгиптяни лічили за допомогою лічильної
 дошки із накресленими на ній смугами. На кожній смузі розкладали
камінці — їх було не більше дев’яти. Щоразу, коли доводилося класти
десятий камінець, з цієї смуги скидали всі камінці на сусідню, праву,
смугу клали один камінець. Таким •ш пом, єгиптяни лічили, як ми. Можна
гадати, що їхня лічильна дошка була прообразом нашої рахівниці.

           Уміння лічити і записувати результати лічби прийшло до людей
 з життєвим досвідом. Саме життя спонукало людину до цього.

         Спочатку кількість передавали за допомогою малюнка. Приміром,
щоб показати число 1, малювали 1 палець, 2 — два пальці, 10 — з’єднані
руки, 100 — згорнуту вимірну мотузку, 1000 — квітку лотоса. Взагалі
квітка лотоса була символом великого числа. Цей спосіб запису чисел
застосовували в стародавніх країнах — Єгипті і Китаї. Греки ще в V
столітті до нашої ери назвали такі знаки ієрогліфами — «священним
різьбленням».

         З розвитком писемності, зокрема буквеного письма, числа почали
записувати словами. Спочатку записували повністю, потім скорочено,
використовуючи лише першу літеру числівника. Стародавні математики
прийшли до висновку: це не дуже зручно, і от у V столітті до нашої ери
зароджується нова, алфавітна система нумерації: першими дев’ятьма
літерами позначали одиниці (від 1 до 9), наступні дев’ять літер
використовувалися для позначення десятків (від 10 до 90), а ті, що йшли
за ними, дев’ять літер — для позначення сотень (від 100 до 900).

         Проте у щойно згаданих систем нумерації — ієрогліфічній та
алфавітній — був один досить суттєвий недолік: ієрогліфічні знаки й
літери не мали чітко визначеного місця — позиції. Такий запис дуже
ускладнював обчислення. Щоправда, ще у стародавньому Вавілоні, де
користувалися своєрідним письмом — клинописом і де числа позначали тими
ж значками-клинцями, вже намагалися закріпити за одиницями, десятками,
сотнями певне місце. До цього вавілонян змушувала обмежена можливість
їхнього письма. Клинці є клинці, багато їх не вигадаєш! От і додумалися
закріпити за певними розрядами чисел певне місце. Значно пізніше, з
другого століття нової ери, цю спробу самостійно почали розвивати в
Греції, а незабаром позиційний запис чисел удосконалюють в Індії. Саме
індійська система лягла в основу нашої нинішньої системи числення.

        Систему числення, основану на позначенні всіх натуральних чисел
десятьма знаками — цифрами, вперше описав і застосував у IX столітті
талановитий син узбецького народу Магомет син Муси із Хорезму в рукописі
«Арифметика індорум».

         У Європі нова система нумерації стала відома на початку XIII
століття завдяки італійському вченому Леонардо Пізанському, який описав
її в 1202 році у своїй праці «Книга обчислень». Але утвердилася ця
система в Західній Європі значно пізніше — у ХУ-ХУІ століттях.

?? ?         На Русі про арабсько-індійську систему знали ще в XIII
столітті. Так на одному знайденому дзвоні, виготовленому у ті часи,
знаходимо цю нову нумерацію. На початку XVII століття цими цифрами вже
нумерують сторінки російських книг, їх карбують на золотих монетах. А в
середині століття ними користуються в рукописних працях. В 1703 році в
«Арифметиці» Леонтія Магницького усе арифметичне вчення викладене на
основі позиційної системи числення, і тільки сторінки підручника
позначені слов’янською нумерацією.

       Як виникло саме слово цифра? Походить воно від арабського слова
«сифр», що в перекладі означає «порожнє місце». Річ . і їм, що індійці
не мали чим позначати відсутність розрядного Числа і там, де нині стоїть
нуль, ставили крапку, яку називали «сифр». Коли ж з’явився нуль, його
також стали називати цифрою. Так було до XVIII століття — поки він
дістав своє наймення під латинського слова «нулюс», що означає «ніякий».
А цифрами пали називати символи чисел взагалі.

      Назви десяти цифр у всіх слов’ян дуже схожі, їх можна пі-шати,
коли говорять чех, поляк, болгарин, серб, українець, росіянин, білорус.
А от назви великих чисел різняться помітно, бо Г являлися пізніше. І
кожен народ виробляв свої найменування. Ми кажемо, наприклад, двадцять
п’ять, а чехи — п’ять і двадцять; ми кажемо сорок, а поляки — чтердзесці
(чотири десятки).З операціями додавання і віднімання люди мали справу
задовго до того, як числа дістали імена. Коли кілька груп збирачів ягід
або рибалок складали в одне місце свою здобич, вони виконували операцію
додавання. Правда, при цьому додавались не числа, а сукупності (або, як
говорять математики, множини) предметів, але операція додавання чисел
якраз описує додавання сукупностей предметів. А коли із зібраних горіхів
частина використовувалася в їжу, люди виконували віднімання — запас
горіхів зменшувався.

        З операцією множення люди познайомилися, коли почали сіяти хліб
і побачили, що зібраний врожай у кілька разів більший, ніж кількість
посіяного зерна. Говорили: зібраний врожай «сам — двадцять» (у двадцять
разів більше зібрали, ніж посіяли), «сам — сорок» і т.д. Нарешті, коли
здобуте на полюванні м’ясо тварин або зібрані горіхи ділили порівну між
усіма членами племені, виконували операцію ділення.

        Самі назви цих операцій показують, з якими діями над предметами
вони пов’язані. Але повинні були пройти тисячоліття, поки люди
зрозуміли, що додавати, віднімати, множити і ділити можна не самі
сукупності предметів, а числа.

         Знаки арифметичних дій, рівності та нерівності з’явилися у
такому вигляді, як ми їх знаємо, з поширенням у Європі арабського
написання чисел. Звичайно, не всі зразу.

         Першими народилися знаки додавання «+» і віднімання їх
наприкінці XV століття застосував лейпцігський професор Ян Відман у
творі «Швидка і красива лічба для всього купецтва».

         Але ж люди вміли віднімати й додавати і раніше! Як же позначали
ці дії на письмі? У різних народів по-різному. Єгиптяни, наприклад, коли
хотіли додати два числа, схематично малювали дві людські ноги, що
«рухалися» вперед, а при відніманні ступні цих ніг скеровували в
зворотному напрямку. У стародавніх греків додавання позначали
вертикальною рискою, а віднімання — значком, схожим на кому. У Європі
дію додавання ще позначали літерою «р» або «Р» (початкова літера
латинського слова «плюс» — більше), а віднімання «т» або «М» (від
латинського «мінус» — менше). Однак ці позначення не прижилися.

           Знак множення «х» — навскісний хрест — знаходимо у праці
англійського математика Уїльяма Оутреда «Математичний ключ» (1631 рік).
Згодом, у 1698 році, видатний німецький математик Готфрід-Вільгельм
Лейбніц дію множення запропонував передавати крапкою (•), а трохи
раніше, у 1684 році, впровадив дві крапки (:) для позначення ділення.
Щоправда, ці знаки дістали загальне визнання і набули поширення лише у
XVIII столітті завдяки підручникам німецького математика Хрістіана
Вольфа.

           Знак рівності «=» ввів англійський учений Роберт Рекорд ще в
XVI столітті. На його думку, ніщо не може передати рівність так, як два
однакових паралельних відрізки. До нього в математиці користувалися
іншими знаками рівності. Так старогрецький математик Діофант відношення
рівності позначав літерою «і» (початкова у слові «ізос» — рівний).
Індійські й арабські математики, а також більшість європейських,
найчастіше, аж до XVII століття, вживали для цього повністю або
скорочено слово «рівний».

           Знаки «<" і ">» для позначення відношень нерівності
систематично . почав застосовувати англійський математик Томас Гарріот.
Його книжка, де він вживає ці знаки, побачила світ у 1631 році.

           Дужки круглі знаходимо у математичних творах першої половини
XV століття. До їхньої появи ставили риски над виразом, якого вони
стосувалися, або ж під ним, що було дуже незручно під час друкування.

          Знак ділення й дробу — горизонтальна риска — вперше
зустрічається у згадуваного вже нами італійського математика Леонардо
Пізанського, який, мабуть, запозичив його з арабських  рукописів. Для
зручності в друкуванні англієць Август де Морган замінив  горизонтальну
риску навскісною.

         Наука, яка почала вивчати числа і дії над ними, дістала нашу
«арифметика» (від грецького arithmos, що означає «число»). 

Похожие записи