Реферат на тему:

Про оцінку точності головних значень тензора деформації

— вектор швидкості), обертального руху і чистої деформації» [2]. Один із
прикладів визначення обертального руху за даним GPS спостережень можна
знайти в роботі [4]. В запропонованій роботі розглянутий розв’язок
задачі знаходження головних значень тензора деформації та їх оцінки
точності. Звичайно, що для розв’язування останньої задачі необхідні
аналітичні залежності між елементами зазначеного тензора і його
головними значеннями.

Розглянемо тензор деформації загального виду :

 , (1)

 матриці (1) вимагає розв’язування відповідної задачі на власні
значення, а на практиці – розв’язування алгебраїчного рівняння 3-ї
степені у випадку тензору другої валентності. Зазначене характеристичне
рівняння для кожної задачі приймає конкретний вигляд, але завжди може
бути виражене через інваріанти матриці А. Таким чином, розв’язок задачі
на головні значення і знаходження оцінки точності завжди зводиться – в
першу чергу – до визначення вказаних інваріантів. У відповідності з
математичною теорією питання [3], інваріанти I1, I2 і I3 приймають такий
вигляд:

, (2)

, (3)

. (4)

Оскільки приведення як матриці А, так і її девіатора до діагонального
виду визначається одним і тим же лінійним перетворенням [3], то згідно з
зауваженням на початку  роботи, наступним кроком мусить бути перехід до
матриці девіатора:

, (5)

де I — одинична матриця, або в розгорнутому вигляді:

(6)

  для девіатора можемо записати:

, (7)

. (8)

Розв’язуючи далі характеристичне рівняння для девіатора:

, (9)

отримаємо його корені

. (10)

Тепер перейдемо до головних значень тензора деформації, а саме:

(11)

( * i

?

o

o

oe

??3????????????????Й??, як величин незмінних при лінійних перетвореннях
системи координат. Таким чином, для останнього застосуємо стандартний
прийом оцінки точності функції без врахування  взаємних коваріацій, які
вважаємо невідомими:

(13)

(14)

(15)

Відмітимо, що  виражає собою фактично середню квадратичну похибку
дилатації, а похідні, які входять в вирази (14) і (15),  мають такий
вигляд

, (16)

, (16)

, (16)

, (16)

, (16)

, (16)

. (16)

В цьому випадку загальний вираз для визначення середніх квадратичних
похибок  буде мати вигляд:

,(17)

Тут величини  характеризують точність визначення коренів
характеристичного рівняння (9):

(18)

де необхідна компонента  виражена з врахуванням коваріації між  і :

. (19)

Для тестування даного алгоритму використовувались результати, які
приведенні в роботі [1]. В табл. 1 приведені два набори вихідних даних з
їх середніми квадратичними похибками. В табл. 2 приведені результати
обрахунків авторів статті без оцінювання їх точних характеристик, що
зв’язано чисто з чисельним розв’язком характеристичного рівняння (А – з
першого набору даних, В – з другого). В табл. 3 приведені результати
обробки даних за поданою методикою (А – з першим набором даних, В – з
другим), включаючи оцінку точності головних значень деформації.

Таблиця 1

Вихідні дані згідно з M.Crespi

Елементи тензора Значення Середня квадратична похибка m Елементи тензора
Значення Середня квадратична похибка m

exx -0.48 * 10-7 0.18 * 10-8 exx -0.86 * 10-7 0.25 * 10-8

eyy 0.48 * 10-7 0.94 * 10-10 eyy 0.24 * 10-7 0.12 * 10-9

ezz 0.63 * 10-10 0.17 * 10-8 ezz 0.94 * 10-7 0.24 * 10-8

exy 0.11 * 10-6 0.37 * 10-6 exy 0.71 * 10-7 0.53 * 10-9

exz 0.24 * 10-7 0.17 * 10-8 exz 0.14 * 10-7 0.25 * 10-8

eyz -0.12 * 10-6 0.36 * 10-9 eyz -0.25 * 10-7 0.51 * 10-9

Таблиця 2.

Результати обробки згідно з  M.Crespi

А В

L1 0.17 * 10-6 L1 0.61 * 10-7

L3 -0.17 * 10-6 L3 -0.89 * 10-7

Таблиця 3.

Результати обробки згідно з запропонованою методою

А В

L1 0.17* 10-6 L1 2.35*10-7

L2 -0.99 * 10-9 L2 0.60 * 10-7

L3 -0.17 * 10-6 L3 -0.91 * 10-7

0.13 * 10-8 0.25 * 10-8

0.19 * 10-8 0.15 * 10-8

0.18 * 10-8 0.26 * 10-8

Література

Crespi M., Pietrantonio G., and Riguzzi F. Strain tensor estimation by
GPS observations: software and applications // Bolletino di Geodesia e
Scienze Affini.- 2000.- №3.- Р.261-280.

Есиков Н. Тектонические аспекты анализа современных движений земной
поверхности. – Новосибирск: Наука,1979.- 167 с.

Кочин Н. Векторное исчесление и начала тензорного исчисления. – М.: АН
СССР, 1951.- 426 с.

Marchenko D. A note on the temporal trend of point positions in the
Ukraine area. // Вісник астрономічної школи.- 2000.- т.1, № 2.- С.51-55.

Похожие записи