Реферат на тему:
Линейная алгебра в курсе математики для студентов-гуманитариев
университета
В настоящее время термин «гуманитарная математика» всецело внедрился в
сознание ученых, исследования которых, на первый взгляд, далеки от
математики. Обработка и представление результатов исследований
происходит с использованием самых различных математических моделей и
методов. Социология и примыкающие к ней науки в настоящее время
представляют собой обширное поле приложений самых различных
математических методов – от статистики до абстрактной алгебры. В своих
исследованиях социологи в равной степени отталкиваются как от нужд
практического измерения и обработки эмпирических данных, так и от
попыток создания формализованных теорий. Все это свидетельствует о
необходимости синтеза математики и социологии. Успехи развития
социальных наук непосредственно связаны с применением математической
статистики и теории вероятностей, дискретной математики и теории игр.
Однако очень трудно выбрать какие-либо разделы математики, на которые
следовало бы обратить внимание в первую очередь. Вопросы матричной
алгебры выделяются в специфический раздел, на который необходимо
обратить значительное внимание.
Социолог, обращаясь с разной целью к данным типа “государственная
статистика”, должен освоить приемы, способы работы с разными формами
существования этой информации, в том числе в виде матрицы типа
(объект-признак)(2, 33). Матрица типа (объект-признак) – это
совокупность данных следующего вида:
Строки соответствуют n-объектам, а столбцы k – показателям. Аналогичные
матрицы создаются для данных, полученных в различные моменты времени,
относящихся как к объектам, так и их признакам. Анализ таких матриц по
вертикали и горизонтали позволяет получать различные параметры и
характеристики. В своей профессиональной деятельности социологи,
социальные психологи сталкиваются с самыми различными видами матриц, а
именно: матрицей переходных вероятностей, матрицей смежности, матрицей
инцидентности, расстояний, достижимостей, корреляции и другими (3, 152).
Кроме того, в современной социологии доказана потенциальная возможность
моделей, описываемых системами линейных уравнений, в многомерном анализе
социологических данных (4, 137). Использование экзогенных и эндогенных
переменных приводит к определению математической модели как множества
структур. Главным компонентом такой модели являются уравнения,
связывающие эндогенные и экзогенные переменные. В частности, в сжатом
виде общий вид линейной точной статической социологической модели с
синхронными уравнениями таков:
– параметры экзогенных переменных.
В матричной форме данная система принимает вид: BY+ГZ=0, где
;
.
—
“В этой связи, раздел математики “Основы линейной алгебры” занимает
значительную часть в курсе математики на социологическом факультете и
включает следующие классические вопросы: матрицы и определители,
основные сведения о матрицах, операции над матрицами, определители
квадратных матриц, свойства определителей, обратная матрица, ранг
матрицы, линейная зависимость (независимость) строк или столбцов
матрицы, теорема о ранге матрицы, система n линейных уравнений с n
переменными, метод обратной матрицы и формулы Крамера, метод Гаусса,
система m линейных уравнений с n переменными, системы линейных
однородных уравнений, фундаментальная система решений, n-мерный вектор и
векторное пространство, размерность и базис векторного пространства,
переход к новому базису, Евклидово пространство, линейные операторы,
собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
На практических занятиях, кроме традиционных задач по данной теме,
решаются прикладные социологические задачи, а именно: расчет статуса
i-ого элемента группы. Для этого используется следующее матричное
уравнение:
, где М – матрица смежности, L – нормирующий множитель.
Расчет матрицы статусов удобно проводить, используя математическую
систему Maple V R4. В этой связи практические занятия по линейной
алгебре дополняются лабораторными занятиями в компьютерных классах.
Разработанный лабораторный практикум не дублирует, а дополняет темы
традиционных практических занятий материалом, изучение которого без
использования компьютеров затруднено или неполно. Компьютерная поддержка
курса математики позволяет студентам облегчить многочисленные трудоемкие
вычисления, способствует повышению интереса к изучаемой дисциплине.
Освоение пакета Linalg (1, 254) не вызывает никаких сложностей у
студентов гуманитарных специальностей.
Особо хочется отметить трудности, которые возникают у студентов при
понимании вопросов, связанных с линейными операторами, при решении задач
на нахождение собственных значений и собственных векторов линейного
оператора. И в этом случае для более глубокого понимания и осознания
приводятся задачи из социологических исследований. Например, в расчетах
социологи используют различные характеристические уравнения, в том числе
следующее:
,
позволяющее рассчитать ряд социологических параметров, напрямую
связанных с собственным значением линейного оператора. – корреляционные
(ковариационные) матрицы.
Литература
В.П. Дьяконов Математическая система Maple V R3/R4/R5. –М.: СОЛОН, 1998.
– 400 с.
Г.Г. Татарова Методология анализа данных в социологии. /Учебник для
вузов. – М.: NOTA BENE, 1999. – 224 с.
Математика в социологии: моделирование и обработка информации. М.: Мир,
1977. – 552 с.
А.Ф. Фелингер Статистические алгоритмы в социологических исследованиях.
– Новосибирск: Наука, 1985. –208 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
