Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.
Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если
существует такое число а, что последовательность {xn-а} является
бесконечно малой. При этом число а называется пределом
последовательности {xn}.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая
последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число
ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности:
Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое
число а, что для любого положительного числа ( можно указать номер N
такой, что при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют
неравенству:
|xn-a|0. Пусть N – номер, соответствующий этому (,
начиная с которого выполняется неравенство:
, и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.
ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при
условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен частному пределов
последовательностей {xn} и {yn}.
бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+(n, yn=b+(n, то
.
бесконечно малая. Теорема доказана.
Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися
последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их
пределами.
ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с
некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn(b (xn(b), то и предел а
этой последовательности удовлетворяет неравенству а(b (a(b).
Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с
некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn(b. Предположим, что а
|xn-a|0. Согласно предположению в рассматриваемой
последовательности существуют члены, меньше чем (. Пусть n – наименьший
номер, для которого lnm; ln
s1, s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm, m=1, 2, 3, …)
обладают тем свойством, что
.
Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно
выполняются неравенства
ln>ln+1, ln>ln+2, ln>ln+3, …
lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,
РЕШЕНИЕ:
Будем называть lm «выступающим» членом последовательности, если lm
больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой
последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть
это будут:
Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя
последовательными выступающими членами, скажем nr-1
одновременно выполняются все неравенства
.
Если А((, то также n((.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.
Так как L1-AA>0. Тогда существует такой номер n, n ( 1, что
одновременно выполняются все неравенства
.
Если А(0, то также n(0.
РЕШЕНИЕ:
Положим
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.
. Последовательность
L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …
стремится к -(. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие
нас неравенства будут выполняться для этого номера n.
В последовательности L0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно много
членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда
числа:
все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них,
соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны быть
обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.
PAGE 1
Удмуртский государственный университет
PAGE
PAGE 7
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
