Задачи Лоповок

СЕДЬМОЙ КЛАСС

Измерение отрезков

1. Даны п прямых. Известно, что имеется 5 точек, каждая из которых
является общей хотя бы для двух прямых из числа данных. Определите
наименьшее возможное значение п.

2. Решите задачу 1, сопровождая решение рисунком, для числа точек 7, 9,
13.

3. Пять прямых расположены на плоскости так что имеется 8 точек, через
каждую из которых проходит не менее двух прямых из числа названных.
Сколько отрезков определяют эти точки на названных прямых?

4. На прямой отмечены точки А, В, С (В между А и С). Известно, что АВ
==3-см, ВС == 5 см. Пользуясь только циркулем, разделите отрезок АВ на
части длиной по 1 см.

5. Точка В находится между точкам» А и С, причем АВ = Т см, ВС == 17
см. Пользуясь только циркулем, достройте на прямой АВ отрезок длиной 1
см.

6. М — середина отрезка АВ, Найдите на прямой АВ все такие точки X,
которые отвечают условию: 2ХА = 3 (ХВ + ХМ).

7. От А до Р по прямолинейной дороге 35 км, остановки автобуса
расположены в точках В, С, В, Е. Зная, что АС ==12 км, ВО = 11 км, СЕ=
12 км, ВР == 16 км, найдите АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР.

8. Пункты А, В, С, D, Е, F, G, Н последовательно расположены вдоль
прямолинейного шоссе. Найдите расстояния между каждыми двумя соседними
пунктами из числа названных, зная, что АВ = 19 км, ВЕ = 21 км, СР = 19
км, ВО = 29 км, АР = 32 км, СН = 30 км, ЕН = 14 км.

9. На прямой последовательно отмечены точки Л.1, -Аз, -Аз, А^, … так,
что А\Ач== I» -Аг-Аа == 2, АзА^ == 3, …. Назовите отрезки с концами в
указанных точках, имеющие длину 45.

10. По условию предыдущей задачи укажите два отрезка, расстояние между
серединами которых равно 20.

Измерение углов

11. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют
развернутый угол?

12. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой
угол?

13. Стрелки циферблата часов не совпадают, однако если поменять их
местами, то они займут согласованное положение. Возможно ли это? Сколько
раз в сутки может возникать такое положение стрелок?

14. Можно ли без помощи транспортира или других угломерных инструментов
(приборов) построить угол в 1°, имея шаблон угла в 13°?

15. Решите задачу 14 при условии, что имеется шаблон угла в 17°.

16. Из точки О выходят 9 лучей, образующих углы по 40° (рис. 3). Каких
углов на рисунке больше — острых или тупых?

17. Точка О — начало восьми лучей, образующих углы в 10°, 20°, 30°, 40°,
50°, 60°, 70°, 80°. Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

18. Решите задачу 17 при условии, что лучи, исходящие из точки О,
образуют последовательно углы в 8°, 16°, 24°, 32°, 40°, 48°, 56°, 64°,
72°.

19. По условию задачи 17 определите наличие развернутых углов.

20. В одной полуплоскости с границей АВ построены углы:

/- ВАС = 38°, ^ САВ == 68°, /- ВАЕ == 85°, ^ ЕАК == 99°. Определите
градусную меру угла КАС.

21. В одной полуплоскости с границей АВ построены неперекрывающиеся
треугольники с общей вершиной А. У всех треугольников углы при этой
вершине по 24°. Сколько таких треугольников можно построить?

Смежные и вертикальные углы

22. Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме
прямой угол. Найдите эти смежные углы.

23. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите
градусные меры этих углов.

24. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно
перпендикулярны. Могут ли эти углы оказаться вертикальными?

25. По условию задачи 17 определите, есть ли на рисунке вертикальные
углы. Если да, то сколько пар таких углов?

26. Можно ли градусные меры двух смежных углов записать только нечетными
цифрами; только четными цифрами?

27. А 0В и СОВ — углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
Верно ли, что биссектрисы углов АОВ и ВОС лежат на одной прямой?

28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его
вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя
воспользоваться транспортиром. Как определить градусную меру этого угла?

Перпендикуляр к прямой

29. Можно ли с помощью шаблона угла в 27° построить две взаимно
перпендикулярные прямые?

30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно
перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными?

31. Прямые а\ и Ь\ содержат биссектрисы углов, образовавшихся при
пересечении прямых о и Ь. Содержат ли прямые а и Ь биссектрисы углов,
образовавшихся при пересечении прямых СИ И &1?

32. Через точку О прямой АВ в одной полуплоскости построены лучи ОС и 0В
так, что /- АОС = /- ВОВ. Докажите, что биссектриса угла СОВ
перпендикулярна АВ.

Первый признак равенства треугольников

33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся
пополам.

34. В концах отрезка АВ в полуплоскости с границей АВ построены АС и ВВ
— равные перпендикуляры к АВ. Докажите, что перпендикуляр к АВ,
проходящий через его середину, перпендикулярен к отрезку СВ. Делит ли он
пополам отрезок СВ.

35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит
ли прямая I пополам отрезок ЕР. Перпендикулярны ли I и ЕР

36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярах
сторонам АВ и АС треугольника АВС и лежащих в одной полуплоскости с
границей АС. На них отложены отрезки АВ и АЕ, равные названным сторонам
(рис. 5). Докажите, что ВС == ВЕ.

37. Точка В находится между А и С. В одной полуплоскости построены
перпендикуляры к АС: АВ == ВС и СЕ === АВ. Точка О — середина ВВ, точка
М — середина ВЕ (рис. 6). Докажите, что АО = СМ.

Второй признак равенства треугольников

38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что АВ == = АС. Прямые
ВВ -1_ АВ и СЕ А- АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе
угла А7

39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника АВС построить
биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого?

40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника •АВС построить
биссектрису данного угла?

41. Решите задачу 37, считая, что точки О и М не середины отрезков, а
лежат на биссектрисах углов ВАВ и ВСЕ.

42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и В, Е так, что АВ = АВ, ВС
== ВЕ. Докажите, что точка О пересечения ВЕ и СВ лежит на биссектрисе
угла А. Как использовать это при построении на местности биссектрисы
угла без помощи угломерных инструментов?

Равнобедренный треугольник

43. Стороны. АВ и ВС треугольника АВС равны. Биссектрисы углов, смежных
с углами. ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, – что она лежит
на биссектрисе угла В.

44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2n равных
частей (n — натуральное число, большее 1).

45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного
треугольника проходит через вершину треугольника.

46. Серединные перпендикуляры боковых сторон АВ и ВС равнобедренного
треугольника АВС пересекли – АС в точках М и N. Докажите, что ВМ == ВN.

47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что АВ == ВС = СD = DЕ = ЕА, ^
ВАЕ == /- ВЕА. Равыыли ухдыАВСи ВВС?

48. Через середину отрезка ВС вострое» к нему перпендикуляр- ОМ; тупые
углы АВС и ВСВ равны- Зная,, что АВ == = ВС и ^. ВАА\ == А. СВВ\ ( (
риc. 7), докажите, что лучи АА и ВВ\ пересекаются на ОМ.

49. На рисунке 8 АС == 5Р, ^- САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы
углов САВ и ОВ-4. Лучи СМ и .ОМ пересекают прямую АВ в точках Я” и 2<. . ...>\,
СгСа, СзСа,,…, С.пВ. Зависит ли сумма длин сторон треугольников,
лежащих вне отрезка АВ, от количества отмеченных точек я их размещения
на АВ (рис. 10),?

59. Периметр треугольника больше его сторон на 32, 29 и 23 см.
Определите периметр треугольника.

60. Длины сторон треугольника АВС а, Ь, с. Известно, что

периметр больше а + Ь в — раза, больше а + с в -^- раза. Во сколько раз
>он больше Ь -4- с?

Простейшие построения

61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.

62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух

данных углов.

63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную

прямую с помощью шаблона острого угла.

64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля
постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.

65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона
острого угла.

Построения с помощью циркуля и линейки

66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне .и медиане,
проведенной к этой стороне.

67. Постройте треугольник по основанию, углу при основании я сумме
боковых сторон.

68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведенной к
основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.

69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других
.’сторон.

70. Ввв ‘отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ ==
ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться
этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя
построение в одной полуплоскости?

71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить

отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на
сторонах угла.

72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте,
проведенной к боковой стороне.

73. Постройте треугольник по основанию, углу при основании и разности
боковых сторон.

74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, если обычное
построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю
доступной части плоскости?

75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую
точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась | на I.

76. Постройте треугольник АВС по вершине А и прямым ! 1\ и 1г, на
которых лежат биссектрисы углов В и С треугольника.

Признаки параллельности прямых

77. При пересечении прямых АВтя. СВ прямой I образовались 8 углов, из
которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые АВ и СО?

78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше
развернутого, пересекаются.

79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Параллельны ли прямые
АВ и ЕР?

80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их
в точках А та В, С та О. Равны ли треугольники АВС и ОСВ?

81. Прямые АВ и СО параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К.
Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и
биссектрисой угла ВЕК. Найдите /- СКЕ.

82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить пополам данный отрезок?

83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпендикуляр к данной
прямой в данной точке?

84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка АВ. Как с помощью
этой линейки разделить пополам отрезок АВ?

85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить
перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой
прямой?

86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую
через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой
прямой данными параллельными прямыми, была равна а.

Сумма углов треугольника

87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С
опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения
перпендикуляров лежит на биссектрисе

угла А.

88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там параллельные прямые.

89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры
которых равны?

90. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Равны ли
углы этих треугольников?

91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного
треугольника АВС. Точки А\ и А-г симметричны А относительно названных
биссектрис. Докажите, что А АА\Ау.—равнобедренный.

92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не
смежных с ним. Докажите, что этот треугольник — прямоугольный.

93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов
при тех же вершинах —11:9. Найдите величину третьего внешнего угла.

94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ,
АМС и ВМС.

95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, проведенные к
основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?

96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих
против этих углов.

97. В треугольнике АВС АС == ВС. На этих сторонах отмечены такие точки
В, Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС’== АВ (рис. 13). Найдите углы
треугольника АВС.

98. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС попарно пересекаются в
точках 0\, Оч, Оз. Докажите, что А С^ОгОз остроугольный, и выразите его
углы через углы треугольника АВС.

99. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника
пересекают противолежащие стороны под углами 63° и 81°. Найдите углы
треугольника.

100. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника АВС
отсекает равнобедренный треугольник. Определите градусные меры углов
треугольника АВС.

101. Один из углов треугольника равен полу сумме двух Других, его
стороны относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника.

102. В треугольнике АВС АВ == АС, /- ВАС = 80°. Внутри треугольника
взята такая точка М, что /- МВС = 10°, /- МСВ== == 30°. Найдите /.АМВ.

103. В треугольнике АВС АВ = ВС, /-В = 20°. На стороне АВ взята такая
точка М, что ВМ == АС. Найдите /- МСА.

104. В равнобедренном треугольнике АВС /- В == 100 . Внутри треугольника
взята такая точка М, что ^- МАВ == 10°, ^_ М&А = 20°. Найдите ^. ВМС.

105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренного треугольника,
чтобы ее можно было разрезать на 5 треугольных частей с такими же
углами, как у начального треугольника?

Прямоугольный треугольник

106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника,
делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании.
Найдите углы равнобедренного треугольника.

107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные
треугольники.

108. Если острые углы прямоугольного треугольника относятся, как 1:3, то
биссектриса наибольшего угла равна одному е з катетов. Докажите.

109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме
гипотенузы с проведенной к ней медианой.

110. В треугольнике АВС /- А = 15°, ^ В == 30°. Докажите, что
перпендикуляр СМ к АС делит сторону АВ на такие частя АМ и МВ, что АМ =
2 ВС (рис. 14).

111. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника,
разделили его угол на три части. Найдите углы треугольника.

112. На прямой отложены отрезки АВ == 2, ВС == СВ =- 1, ВЕ = 2. Из точки
М, находящейся вне этой прямой, все названные отрезки видны под равными
углами. Определите градусные меры этих углов.

113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше
катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч АМ, что ^-
ВАМ = — ^- С (рис. 15). Как он хотел доказать теорему?

114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника Шар толкнули по
биссектрисе острого угла. Отразившись от бортов в точках В, Е, К, шар
вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы
треугольника.

115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольник? АВС. Шар толкнули
по биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках К, Е, М,
шар вернулся по пройден ному пути. Найдите острые угль! треугольника.

116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раз;

больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

117. Д АВС — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — ВВ и СЕ,
отрезки ВК и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите /- КАМ.

11в. Из города М по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно
велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл
в пункт В» а велосипедист в пункт А, при этом А МАВ оказался
прямоугольным. Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и
О, что А МСВ оказался равносторонним. Через сколько часов после этого
они окажутся » таких пунктах Р и Т, что А МРТ будет прямоугольным?

119. В прямоугольном треугольнике АВС АВ == Асг Внутри треугольника
взята такая точка М, что /- МАВ == ^- МВА == == 15°. Найдите А. ВМС.

Окружность

120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через
центр окружности, хоть одна не делится пополам.

121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона
треугольника видна под тупым углом.

122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что
диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника.

123. На сторонах прямого угла М отмечены такие точки А и В, С и В, что
ВО == АВ 4- СВ. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных
в треугольники МВВ а МАС, равна АС.

124. Катеты прямоугольного треугольника а, Ь, гипотенуза

с. Докажите, что радиус вписанной окружности г == д ~ с . &

125. Постройте две окружности с центрами на данной прямой в касающиеся
одна другой в данной точке М и касающиеся другой данной прямой Ь.

126. Окружности с центрами 0\ и Оу. касаются внешним образом. Окружность
с центром Оэ и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите
периметр треугольника 010а0з.

127. Какую фигуру образуют все точки плоскости, из которых данная
окружность видна под прямым углом?

128. Даны точки А, В, С, В. Постройте окружность, которая проходит через
точки А и В» а касательные к ней, проведенные из точек С и В, равной
длины.

129. Даны окружность М точка М вне ее. Проведите через М прямую,
пересекающую окружность в точках, расстояние между которым» равно с.

130- Постройте окружность, которая касается двух данных окружностей,
причем одной из них — в данной точке М.

181. Постройте треугольник АВС по основанию, высоте, проведенной к
боковой стороне, и радиусу описанной окружности.

132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к
основанию, и радиусу описанной окружности.

133. Постройте треугольник АВС, если дана прямая, “а которой лежит
биссектриса угла А, и точка касания сторон АВ и ВС вписанной в
треугольник окружности.

134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из
равных сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите,
что эти окружности равны, а прямая, проходящая через их центры,
параллельна основанию треугольника.

Вписанные углы

135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18.

136. Треугольник АВС — остроугольный, ВМ и СМ — перпендикуляры к АВ и
АС. Докажите, что точка М лежит на окружности, описанной около
треугольника АВС.

137. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что
центр окружности, проходящей через точки А, В, О, лежит на прямой
СО.

138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная
окружность касается сторон треугольника в точках К, Ъ, М. Определите
величины углов треугольника КЬМ.

139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра
описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите
эти углы.

140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра
описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°.

141. 0\ и Оч — центры вписанной и описанной окружностей треугольника
АВС. Зная, что ^- АО\В = //- АОчВ, найдите /- С.

142. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС. Постройте треугольник АВС по
точкам А\, В\ и прямой АВ.

143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане,
проведенной к одному из катетов.

144. Постройте треугольник АВС по высоте АВ, углу между ВС и медианой
АЕ, радиусу описанной окружности.

145. Прямая ВЕ проходит через вершину А треугольника АВС и касается
описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы ВАВ и ЕАС
равны соответствующим углам треугольника.

146. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС, М — точка
окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что МА+ МВ = МС.

147. Вершины треугольника АВС находятся в точках I, V, VIII циферблата
часов. Построены высоты АМ и СВ и перпендикуляр ВЕ к АС. Докажите, что
АЕ = СМ (рис. 19).

148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины
треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины
углов треугольника.

149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника,
разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины
углов треугольника.

150. В треугольнике АВС на стороне ВС есть такая точка М, что ВМ = 2 МС
и А- АМВ == 60°. Зная, что ^ ВАС = 60°, найдите величины остальных углов
треугольника.

ВОСЬМОЙ КЛАСС

Четырехугольник

1. В четырехугольнике проведены его диагонали. Сколько равных отрезков
могло оказаться на рисунке?

2. В четырехугольнике проведены его диагонали. Какое наибольшее число
прямых углов может оказаться на рисунке?

3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехугольника всегда найдется
хоть один прямой или тупой угол?

4. Постройте четырехугольник АВСВ по углам А и. В, сторонам АВ, АВ и
сумме двух других сторон.

5. У четырехугольника АВСD угол С — прямой. Постройте этот
четырехугольник по длинам сторон АВ, АВ, СВ и величине угла А.

Параллелограмм

6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, отличные от
рассмотренных в школьном пособии по геометрии.

7. Точка М находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть
лежит за пределами доступной части плоскости). Постройте луч с началом
М, направленный на вершину угла.

8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из
которых является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено,
какие отрезки равны. Определите градусные меры углов параллелограмма.

9. Точка М находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого
концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М.

10. Точки А и С находятся внутри данного угла. Постройте параллелограмм
АВСD, у которого вершины В и D находятся на сторонах данного угла.

11. АВСD — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСКМ.
Докажите, что отрезки ЕВ и ВК взаимно перпендикулярны.

12. Постройте параллелограмм АВСВ по положению бс] -шин Л и В и
расстояниям от данной точки М до вершин С и 1,

13. Постройте параллелограмм АВСD, если дана прям; и ВТ) и основания
высот, проведенных из вершины В.

14. АВС1> — параллелограмм. Вне его построены равносторонние
треугольники АВМ и ВСТ. Докажите, что А МОТ – равносторонний.

15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит
параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите
длины сторон.

16. Через точку М на основании данного равнобедренного треугольника
проведены прямые, соответственно параллельные боковым сторонам
треугольника. Докажите, что периметр полученного параллелограмма не
зависит от выбора точки М.

17. Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС и
продолжение стороны АВ в точках М и N. Докажите, что треугольники АВН и
МСВ — равнобедренные.

18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отношении 1 : 3. Зная,
что длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма.

Прямоугольник

19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли
этот четырехугольник прямоугольником?

20. Диагонали делят прямоугольник на 4 части, периметры

9 4 т. двух из них равны —и —периметра
прямоугольника. Как относятся длины сторон прямоугольника?

21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние
стороны взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр.

22. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону
на части, одна из которых вдвое больше другой. Определите, на какие
части диагональ делит угол прямоугольника.

23. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону
на части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите
угол между диагоналями прямоугольника.

24. АВСВ — прямоугольник. На сторонах АВ и СВ отложены равные отрезки ВМ
и СЕ; МК — перпендикуляр, опущенный на АС. Найдите /- ВКЕ.

25. На стороне ВС хтрямоугольника АВСВ есть такая точка М, что /- АМВ ==
А. АМВ. Зная, что АВ = 2 АВ, найдите величины названных углов.

Ромб

26. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равноудалена от всех
его сторон. Установите вид четырехугольника.

27. Вне ромба АВСВ построен равносторонний треугольник АМВ. Найдите /-
СМВ.

28. Решите задачу 27 для случая, когда М находится внутри ромба.

29. Биссектрисы углов ВАС и ВDС параллелограмма АВСD пересекаются под
углом 45°. Найдите угол между биссектрисами углов АВВ и АСВ.

30. Постройте ромб АВСD, если даны середина стороны и центры
окружностей, описанных около треугольников АВС »АВС.

31. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и В и расстоянию от данной
точки М до середины ВС.

32. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и С расстоянию от данной
точки М до середины ВС.

Квадрат

33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых
сумма расстояний от координатных осей равна 2?

| 34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для
каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений
равна 6.

35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпендикуляры АВ, СЕ и ВР,
причем АВ == ВС, СЕ = АВ, ВР == АС, первые два в одной полуплоскости,
третий — в другой (рис. 22). Докажите, что В — центр квадрата со
стороной ВЕ, А — центр квадрата со стороной ЕР, С — центр квадрата со
стороной ВР.

36. На местности был отмечен участок АВСВ квадратной формы. Из-за дождей
границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки
М ^ АВ и N (= СВ. Можно ли по этим данным восстановить границы участка?

37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек находится на стороне
ВС?

38. АВСВ — квадрат. На сторонах АВ и ВС отложены Равные отрезки ВК и ВМ;
ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите /- МТБ.

39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю;

б) по разности длин диагонали и стороны.

40. Можно ли построить квадрат АВСВ, у которого разность Расстояний от
вершины В до прямых АВ и АС равна о?

41. АВСВ — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ,
МВС, МСВ, МАВ будут равнобедренный •,

42. На прямой отмечены точки А, В, С, В так, что АВ = С::), и построены
квадраты со сторонами АВ, ВВ, АС, СО. Первые два находятся по одну
сторону от АО, последние — по другую. Являются ли центры этих квадратов
вершинами квадрат. ?

43. АВСВ, ВСЕР и РЕКМ — равные квадраты. Докажи, что ^. САМ + ^- ЕАМ + ^
КАМ == 90° (рис. 23).

44. АВ — высота остроугольного треугольника АВС, О -центр квадрата,
построенного на АВ вне треугольника, М ~ центр квадрата, построенного на
АС в одной полуплоскости с В (рис. 24). Лежат ли точки М, В, О на одной
прямой?

Теорема Фалеса

45. На прямой отложены равные отрезки АВ и ВС. Как построить через точки
А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой данной прямой
отрезки длиной по а?

46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки
параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки равной
длины.

47. Точки А, В, С лежат на прямой I, причем АВ =^ ВС. Постройте через
А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки с
разностью длин Ь.

48. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти
точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой I
отрезки с разностью длин Ь.

49. АО — медиана треугольника АВС. Прямая СЕ пересекает сторону АВ в
точке М и делит названную медиану пополам. Определите СЕ ‘. ЕМ и АМ :
МВ.

50. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты такие точки М и ^, что ВМ
: АВ = ВН : ВС = 1 : 3. Точки Т) v Е делят сторону А С на три равные
части. Докажите, что МО = МЕ.

51. Медиана ВМ делит высоту АВ треугольника АВС в отношении 3:1, считая
от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану ВМ?

52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане,
проведенной к боковой стороне.

53. Из вершин В и D параллелограмма АВСD проведены тра высоты. Как по
серединам этих высот построить параллелограмм АВСD7

54. Постройте параллелограмм по середине стороны АВ и серединам высот,
проведенных из вершины В.

55. Постройте параллелограмм АВСD по серединам сторон ВС и СВ и
основанию высоты, проведенной из В к АВ.

56. Постройте параллелограмм АВСВ, если известна середина стороны АВ и
основание высоты, проведенной из вершины В к АВ.

57. Постройте ромб АВСВ, если известны середина стороны АВ и точки, в
которых вписанная в ромб окружность касается сторон АВ и ВС.

Средняя линия треугольника

58. Периметр параллелограмма АВСВ 80 см. Биссектрисы углов А и В
пересекаются в такой точке М, что сторона ВС делит отрезок АМ пополам.
Найдите длины сторон параллелограмма.

59. В параллелограмме АВСВ из вершин В и О проведены по две высоты.
Докажите, что середины этих высот являются вершинами некоторого
параллелограмма.

60. Дан треугольник АВС. Какая фигура образуется центрами всех таких
параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на лучах АВ и
АС, а одна из вершин находится на стороне ВС?

61. В выпуклом четырехугольнике АВСD сумма углов при стороне АВ 90°, АВ
== СВ. Докажите, что середины диагоналей и середины сторон ВС и АВ
являются вершинами квадрата.

62. Стороны параллелограмма 17 и 23 см. Биссектрисы всех его углов
ограничивают четырехугольник КЬМН. Найдите его диагонали.

63. АВ — диаметр полуокружности с центром О, в точках А и В построены
перпендикуляры к АВ. Касательная к полуокружности в точке С пересекает
эти перпендикуляры в точках В и Т; АС и ВО пересекаются в точке Е, ВС и
ОТ пересекаются в точке М. Параллельны ли АВ я ЕМ?

64. АВСВ — выпуклый четырехугольник, середины его сторон — А\, В\, С\,
В[. Середины сторон четырехугольника А\В\С\В\ — Л.2, В-г, Сч, Вч.
Середины сторон четырехугольника АчВчСчВч — Аз, Вз, Сз, Оз и т. д.
Укажите точку, которая находится внутри всех таких четырехугольников.

65. Средняя линия треугольника АВС образует со стороной АВ углы, вдвое
большие углов треугольника при этой стороне. Найдите величины углов
треугольника АВС.

66. Постройте треугольник АВС по положению точек А и В и точке, в
которой продолжение медианы АВ пересекает описанную окружность.

67. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Биссектрисы углов В и
САВ пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и ВАВ — в точке N.
Параллельны ли прямые МП и ВС?

Трапеция

68. Из какого наименьшего числа прямоугольных треугольников можно
сложить трапецию?

69. Докажите, что треугольную пластинку можно разрезать на три части,
имеющие форму трапеции.

70. Докажите, что четырехугольную пластинку можно разрезать на три
части, имеющие форму трапеции.

71. Пластинка имеет форму равнобокой трапеции. Как разрезать ее на три
равные трапеции, если: а) одно основание вдвое больше другого, б) длины
оснований 6 и 10 см?

72. Два противоположных угла трапеции относятся, как 2:3, а два других —
как 3:5. Найдите углы трапеции,

73. Биссектрисы углов при большем основании трапеций перпендикулярны
боковым сторонам. Найдите углы трапеции

74. Постройте трапецию, если даны прямые, на которых лежат ее боковые
стороны АВ и СВ, середина диагонали АС и точка на прямой АВ.

75» Пластинка имеет форму трапеции, ее основания 6 .» 24 см, углы при
большем основании по 60°. Как разрезать трапецию на пять равных
равнобоких трапеций?

76. Пластинку в форме трапеции можно разрезать на четыре равных
равнобоких трапеции. Определите величины углов этих трапеций.

77. Прямая отсекает от равностороннего треугольника трапецию, которая
делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Найдите угол между
диагоналями трапеции.

78. Три стороны трапеции равны. Окружность, построенная на большем
основании, как на диаметре, делит боковую сторону пополам. Найдите
градусные меры углов трапеции.

79. АВСО — трапеция. Окружность, диаметром которой является меньшее
основание трапеции, касается ее большего основания и делит диагонали
трапеции пополам. Найдите величины углов трапеции.

80. Как разрезать квадратную пластинку на 8 частей, каждая из
которых имеет форму непрямоугольной трапеции?

81. Впишите в данную окружность трапецию, у которой одно из оснований
проходит через данную точку, а боковые стороны соответственно
параллельны двум данным прямым.

Средняя линия трапеции

82. Докажите, что если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и
равны, то ее высота равна средней линии.

83. Докажите теорему о средней линии трапеции, используя каждый раз один
из рисунков 25—31.

84. Постройте трапецию по средней линии, расстоянию между основаниями и
углам при одном из оснований.

85. На окружности даны точки А и В. Постройте две параллельные хорды АС
и ВО, у -которых: а) сумма длин о; б) разность длин Ь.

86. Расстояние между основаниями трапеции равно средней линии. Найдите
угол между диагоналями трапеции.

87. Основания трапеции ВС и АО. На СВ взята такая точка М, что АМ = АВ.
Через В проведена прямая, параллельная СВ, она пересекает АМ в точке Р.
Докажите, что ВМ == РС.

88. Длина одного из оснований равнобокой трапеции втрое больше длины
другого основания. Из середины большего основания меньшее видно под
углом, вдвое меньшим угла, под которым большее основание видно из
середины меньшего. Найдите эти углы.

89. Если боковая сторона прямоугольной трапеции равна сумме оснований,
то окружность, построенная на этой стороне, как на диаметре, касается
другой боковой стороны. Докажите.

90. Основания трапеции 10 и 18 см, углы при меньшем основании по 120°.
Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней
линией?

91. Докажите, что средняя линия трапеции меньше хоть одной из диагоналей
трапеции.

92. „Две окружности пересекаются в точке М. Как провести через эту точку
прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки?

93. Окружность, построенная на большем основании трапеции, как на
диаметре, касается меньшего основания и проходит через концы средней
линии. Найдите градусные меры углов трапеции.

Четырехугольник и окружность

94. В окружность вписан четырехугольник АВСО. Биссектрисы углов А и С
пересекают окружность в точках Е и Р. Окажите, что прямая ЕР проходит
через центр окружности.

95. Один из углов четырехугольника АВСО равен 56°, АВ === = ВС, АО ==
СО. Зная, что около четырехугольника можно описать окружность, найдите
величину наибольшего угла четырехугольника.

96. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность.

97. Докажите, что в трапецию можно вписать окружность только в том
случае, когда окружности, построенные на боковых сторонах, как на
диаметрах, касаются.

98. Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. Из
точки их пересечения опущены перпендикуляры на все стороны
четырехугольника. Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на
одной окружности.

99. В окружность вписан прямоугольник АВСО. Из точки М окружности
опущены перпендикуляры МЕ и МР на диагонали прямоугольника. Докажите,
что расстояние между основаниями перпендикуляров не зависит от выбора
точки М.

100. АА\, ВВ\, СС\ — высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются
в точке Н. Докажите, что лучи А\Н, В\Н, С\Н делят пополам углы
треугольника А\В\С\.

101. Внутри треугольника АВС взята такая точка М, что ^- МАС = /I МВА =
/. МСВ == к. На стороны треугольника

АВС опущены перпендикуляры МА\, МВ\, МС\. Докажите, что ? эти
перпендикуляры образуют с соответствующими сторонами треугольника А\В\С\
углы по ос.

192. Две окружности пересекаются в точках атл.в. Прямая, проходящая
через А, пересекает окружности в точках С и О;

прямая, проходящая через В, пересекает окружности в точках Е и Р.
Докажите, что СЕ || ВР. Верно ли это утверждение, если хорды. АС и ВЕ
пересекаются?

103. Три окружности проходят через точку М и попарно пересекаются в
точках А, В, С. Прямая, проходящая через точку А, пересекает две
окружности в точках О и Е. Докажите, что прямые ВВ и ЕС пересекаются на
третьей окружности (рис. 32).

104. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только
ромб. Докажите.

105. Около окружности с центром О описан четырехугольник АВСВ. Докажите,
что ^ ‘АОВ + ^- СОВ = ^ ВОС + ^ АОВ.

106. Около окружности описан четырехугольник АВСВ, его стороны касаются
окружности в точках К, Ь, М, N. Можно ли по углам А, В, С определить
углы четырехугольника кьмт

107. Три стороны описанного четырехугольника 23, 26 и 53 см. Определите
длину четвертой стороны.

108. Точки касания делят стороны АВ, ВС, СО описанного четырехугольника
в отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отношении делится точкой касания
сторона АО’1

Прямоугольные координаты

109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочисленными координатами
может оказаться внутри окружности?

110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону
квадрата равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси,
определите, сколько на доске точек с целочисленными координатами.

111. Решите задачу 110 для стоклеточной доски (для международных шашек).

112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры
листа 164 X 203 мм. Две из построенных прямых приняты за оси координат,
в качестве единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с
целочисленными координатами?

113. Найдите координаты вершин треугольника, если координаты середин его
сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8).

114. Если у четырехугольника АВСВ х^ + Хс == Хд + Хц и Ул 4- Ус ==’ Ув +
Ув > то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажите.

115. Если у трапеции суммы абсцисс концов боковых сторон одинаковы, то
средняя линия трапеции перпендикулярна оси абсцисс. Докажите.

116. Даны графики у = х2 + 5 и у = х2 — 5. Докажите, что можно построить
отрезок, параллельный оси абсцисс, у которого концы находятся на данных
графиках, а длина менее 0,01.

Параллельный перенос

117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6).
В результате параллельного переноса центр описанной окружности
переместился в точку (8; 7). В какие точки переместились вершины
треугольника?

118. Какой параллельный перенос нужно выполнить, чтобы

, 4ж + 2 – , 10, вместо графика у = ————
получить график у == — —’

119. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и расстоянию
между серединами двух противоположных сторон.

120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой
стороне.

121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две
вершины на двух данных параллельных прямых, а третью — на данной
окружности.

122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны
находятся на двух данных параллельных прямых, а центр — на данной
окружности.

123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных
параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.

124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную I,
на которой данные окружности отсекают равные отрезки.

125. АВ — диаметр полуокружности, СО — хорда, не параллельная АВ.
Найдите на полуокружности такую точку М, чтобы прямые М.А и МВ
пересекали СО в точках, расстояние между которыми равно а.

Сложение векторов

126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпендикулярны. Зная, что Т
(7; 17), найдите координаты векторов.

127. Длины векторов АВ и АС равны. Докажите, что вектор АВ + АС лежит на
биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.

128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ + МС = 0.
Найдите углы между радиусами.

129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с центром М. Зная, что МА
+ МВ + МС + МВ == 0, определите вид четырехугольника.

130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -\- с,

если Ъ (5; 12), с (12; 5).

131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник АВСВ, М — точка этой
окружности. Найдите длину вектора

МА + МВ + МС + МВ.

132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС.
Зная, что. ОМ == 18 см, найдите длину вектора МА + МВ + МС.

133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны
медианам треугольника АВС.

134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не
лежат на одной прямой. Докажите, что можно построить пятиугольник,
стороны которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.

135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной прямой,
содержащей сторону параллелограмма. Докажите, что можно построить
четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.

Умножение вектора на число

136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР,
РА. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что для
любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.

137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма расстояний между
серединами противолежащих сторон равна ^половине периметра
четырехугольника. Докажите, что АВСВ — параллелограмм.

138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан

треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.

139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для
любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС”).

о

140. Точка С лежит между А и В, причем АС’.СВ = пг:п. Докажите, что для
любой точки Т:

ТС = —”-— ТА + —”——ТВ.

т + п т + п

141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно взяты такие
точки С\, А\, В\, что АС\ ‘. С\В = = ВА\ ‘. А\С == СВ\ ‘. В\А. Докажите,
что точка пересечения медиан треугольника АВС и точка пересечения медиан
треугольника Д^С! совпадают.

142. АВСВ и А\В\С\В\ — параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков
АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма?

Косинус угла

143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-

2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •

144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 существует острый
угол, косинус которого равен ”

2я2 — 2п + 3

Теорема Пифагора

+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника
меньше куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь2 + с2 == 2о2, то
существует прямо-

„ & Ч- с Ь — с угольный треугольник,
длины сторон которого а, —-—, —„—

&» ^

147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-

, „ л 1 _- а2 , б2 „ 2

тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!

А (I -{- С О -\- С О

2 ^ о2 , Ь2 ^, ,. _ КМ.

207.Шве высоты треугольника не меньше сторон, к которым они. проведены.
Найдите величины углов треугольника.

Скалярное произведение векторов

208. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме
квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

209. Точка М находится внутри прямоугольника АВСО. Докажите, что МА • МС
== МВ • МО. Выполняется ли это соотношение, если точка М находится вне
прямоугольника?

210. АВСВ — прямоугольник, докажите, что для любой точки Т имеет место
равенство: ТА2 + ТС2 = ТВ2 + ТО2.

211. Если для точек А, В, С имеет место равенство АС2 ++ ВС2 = 4- АВ2,
то АС + ВС = 0. Докажите. л

212. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, докажите, что для
любой точки Т: ТА2 + ТВ2 + ГС2 == == МА2 + МВ2 + МС2 + 3 ТМ2.

213. Докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в
одной точке.

214. Окружность диаметра А^ пересекает сторону ВС прямоугольника АВСР в
точках К и М. Докажите, что ВК • КО == СМ • МА.

215. АВС^ — ромб, ВК и СЕ — его высоты, проведенные к АО; точка М —
середина КО, точка Р — середина СЕ. Найдите угол между ВМ и АР.

216. Найдите величину угла при вершине В равнобедренного треугольника
АВС, у которого медианы -АО и СЕ взаимно перпендикулярны.

Центральная симметрия

217. Постройте квадрат с данным центром О, зная, что две параллельные
стороны квадрата (или их продолжения) проходят через данные точки М ц N.

218. Постройте параллелограмм АВС^ по положению вершин А. и С и
расстояниям а и Ь от вершин В и О до данной точки М.

219. Постройте треугольник по середине основания и серединам высот,
проведенных к боковым сторонам. •

220. Точка М находится внутри треугольника АВС. Точки М), Мг, Мз
симметричны М относительно середин сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что
прямые АМ\, ВМг, СМз пересекаются в одной точке.

221. Диагональ АС четырехугольника АВСВ является диаметром описанной
окружности, АМ и СН — перпендикуляры, опущенные на диагональ ВВ.
Докажите, что ВМ == ТЖ. О 222. Прямая, проходящая через середины Е и К
диагоналей четырехугольника АВСВ, пересекает его стороны в точках М и N.
Зная, что ЕМ = КН, докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм
или трапеция.

Осевая симметрия

223. Найдите координаты вершин ромба, у которого диагонали лежат на осях
координат, а середина одной из сторон находится в точке (2; —3).

224. Точки С и О симметричны относительно прямой АВ. С помощью
односторонней линейки постройте через данную точку М, не лежащую на АВ,
перпендикуляр к АВ.

225. Дана окружность и ее центр О. Точки А и В лежат вне окружности.
Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения данной
окружности с прямой АВ.

226. Ось симметрии диагонали прямоугольника отсекает на большей стороне
отрезок, равный меньшей стороне. Найдите угол между диагоналями
прямоугольника.

227. Центр вписанной в треугольник окружности и центр описанной около
него окружности симметричны относительно стороны треугольника.
Определите величины углов треугольника.

228. Центр описанной около треугольника АВС окружности и центр
окружности, которая касается стороны ВС и продолжений двух других
сторон, симметричны относительно ВС. Определите величины углов
треугольника АВС.

229. Постройте треугольник АВС по положению вершины ^ и прямым, на
которых лежат биссектрисы углов В и С.

230. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов при третьей
стороне.

231. Постройте треугольник АВС по прямой ВС и серединным перпендикулярам
сторон АВ и АС. }

232. Постройте параллелограмм АВСО по вершине В и серединным
перпендикулярам 1\ и 1ч сторон АВ и ВС.

233. Точки А и В находятся в одной полуплоскости с границей СО. Найдите
на СВ такую точку М, чтобы /. АМС — I — /_ ВМВ == 90°.

234. Внутри угла ВАС, величина которого 45°, даны точки 1 М и N.
Постройте равнобедренный треугольник, у которого

основание лежит на луче АС, вершина — на луче АВ, а боковые стороны
проходят через М и N.

235. Постройте параллелограмм АВСВ по лучам ВА и ВС и центру окружности,
проходящей через точки А, С, ^.

0236. Точки О), Оч, Оз симметричны центру окружности, описанной около
треугольника АВС, относительно его сторон. Докажите, что А -АВС == Д
0\0ч0г.

237. По условию задачи 236 постройте по точкам 0\, Оч, Оз треугольник
АВС.

Поворот около точки

238. Постройте квадрат АВСВ по положению вершины В и расстояниям от
данной точки М до вершин А у. С.

239. Постройте квадрат по расстояниям трех его вершин от данной точки М.

240. Точка В находится между точками А и С. По одну сторону от АС
построены равносторонние треугольники АВВ, ВСР, по другую сторону —
равносторонний треугольник АСЕ. Докажите, что центры этих треугольников
являются вершинами равностороннего треугольника.

241. Точка М находится внутри равностороннего треугольника АВС.
Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого
соответственно равны отрезкам МА, МВ, МС.

242. На сторонах АВ и АС треугольника АВС вне треугольника построены
квадраты АВВК и АСЕМ. Докажите, что отрезок КМ вдвое больше медианы
треугольника, причем КМ 1- АО.

243. Постройте равносторонний треугольник, у которого середина основания
— данная точка О, а боковые стороны (или их продолжения) проходят через
данные точки М ц N.

244. Постройте равносторонний треугольник, у которого вершины лежат на
трех данных концентрических окружностях, а центр — на данной прямой,
пересекающей эти окружности.

245. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных
концентрических окружностях, а четвертая — на данной прямой.

246. Внутри квадрата АВСВ имеется точка М, причем /- АМВ == 90°, МА —
МВ == а. Найдите расстояние от точки М до центра квадрата.

247. Внутри равностороннего треугольника АВС имеется такая точка М, что
/- АМВ = 120°, МА — МВ = а. Найдите расстояние от точки М до центра
описанной около треугольника окружности.

248. Отрезки АВ и СВ равны. Докажите, что можно выполнить такой поворот
около точки О, что АВ и СВ совместятся. Как определить центр и угол
поворота?

249. Каждый угол треугольника менее 120°. Найдите точку с наименьшей
возможной суммой расстояний от вершин

треугольника.

250. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна I, На его
гипотенузе вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от
центра квадрата до вершины прямого угла треугольника.

Параллельный перенос

251. Точки А и В находятся по одну сторону от прямой СВ. Найдите на СВ
такие точки Е и Р, чтобы АЕ = ВР и длина отрезка ЕР равнялась а.

252. Постройте четырехугольник по длинам двух противолежащих сторон,
длинам диагоналей и углу между диагоналями.

253. Даны лучи МА, МВ, МС. Постройте прямую, которая пересекает их в
таких точках А\, В\, С\, что А\В\ == В\С\ = а.

254. Постройте трапецию по боковым сторонам и расстояниям между
противоположными сторонами.

255. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и разности
углов при одной из сторон.

256. Постройте отрезок данной длины о, параллельно данной прямой, с
концами на двух данных окружностях.

257. Постройте отрезок длины а, параллельный прямой II, концы которого
лежат на прямой 1ч и на данной окружности.

258. Даны точки А, В, С, В, Е. Проведите через А такую прямую, чтобы
остальные точки были от нее по одну сторона а сумма расстояний от нее до
В и С была на а меньше суммы расстояний от В и Е.

259. Постройте прямую, на которой две данные окружности отсекают отрезки
длиной а и I.

Равенство фигур

260. Две пересекающиеся высоты и угол между ними одног параллелограмма
равны двум высотам и углу между ними другого параллелограмма. Равны ли
эти параллелограммы?

261. Равны ли две трапеции, если стороны одной соответственно равны
сторонам другой?

262. Докажите, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной
трапеции соответственно равны основаниям и диагоналям другой.

263. Докажите, что две трапеции равны, если основания и углы при большем
основании одной трапеции равны основаниям и углам при большем основании
другой.

264. Через центр квадрата проходят две взаимно перпендикулярные прямые.
Докажите, что отрезки их, заключенные между сторонами квадрата, равны.

265. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС.
Через О проходят две прямые, образующие угол в 60°. Докажите, что
отрезки прямых, ограниченные сторонами треугольника, равны.

266. Докажите, что параллельный перенос можно заменить двумя осевыми
симметриями с параллельными осями.

267. Два треугольника равны. Сколько потребуется осевых симметрий, чтобы
эти треугольники совместились?

268. Середины противоположных сторон четырехугольника АВСВ соединили
отрезками, которые пересеклись в точке О. Затем построили параллелограмм
ОКТМ так, что ОК = 20Н, ОМ = 20Е, и провели ВР \\ ВС и ВР \\ АВ (рис.
36). Докажите, что четырехугольник АВСВ и параллелограмм составлены из
соответственно равных четырехугольников ах при положи

–

ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

Гомотетия

1. Докажите, что фигуры у = х2 и у тельном а ^= 1 гомотетичны.

2. Гомотетичны ли фигуры у = ж3 и у = 4х3? Если да, укажите центр и
коэффициент гомотетии.

3. Гомотетичны ли относительно начала координат прямые:

а) ах + Ьу — с = О и ах + Ьу + с = 0; б) 2-е — Зг/ — 5 == О и Зх — 2у —
5 = О?

4. Гомотетичны ли треугольник АВС и треугольник, образованный его
средними линиями? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.

5. Впишите в треугольник АВС треугольник, стороны которого
соответственно перпендикулярны: а) сторонам треугольника АВС; б)
биссектрисам углов треугольника АВС.

6. Докажите, что середины всех отрезков, которые параллельны стороне АВ
треугольника АВС и имеют концы на двух других сторонах, лежат на медиане
СР.

7. Вершины треугольника недоступны (то есть лежат за пределами данной
части плоскости). Используя результат задачи 6, определите построением
длины всех сторон треугольника (рис. 37).

8. Вершины треугольника недоступны. Постройте: а) центр описанной
окружности; б) точку пересечения высот треугольника (или их
продолжений).

9. Постройте прямую, параллельную стороне ВС треугольника АВС и
пересекающую АВ и АС в таких точках В и Е, что АВ = ЕС.

10. Постройте равносторонний треугольник, у которого медианы
пересекаются в данной точке М, а концы одной из высот лежат на двух
данных окружностях.

11. Постройте окружность, которая касается данной окружности и в данной
точке касается данной прямой.

12. Постройте квадрат АВСВ, зная положение вершины А. и двух прямых,
одна из которых проходит через точку В, а вторая через центр квадрата.

13. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и в
точках A и B касаются: а)сторон данного угла; б) двух данных
окружностей.

14. На обломке круга сохранился центр круга О и части хорды АВ без ее
концов. Найдите построением величину угла АОВ.

15. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и
основания АС треугольника АВС. Кроме того, одна окружность касается
боковой стороны АВ треугольника АВС, а другая — боковой стороны ВС.

16. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и
основания АВ треугольника АВС. Кроме того, одна из них касается
продолжения стороны АВ, а другая — \ продолжения стороны ВС.

17. Даны прямые о и Ъ и точка М, не принадлежащая этим прямым. Постройте
две окружности, которые пересекаются в точке М, касаются прямой а и
имеют центры на прямой Ь.

18. АВ и АС — хорды данной окружности. Постройте окружность, которая
касается данной окружности и сторон угла ВАС.

19. Даны две пересекающиеся прямые и окружность. Постройте окружность,
которая касается этих прямых и данной окружности.

20. Постройте прямоугольный треугольник АВС по острому углу А и сумме
катета ВС с проведенной к нему медианой.

21. Постройте трапецию по ее высоте и отношению длкт всех сторон АВ : ВС
: СО : АВ (основания трапеции Ж и АВ}.

Подобие треугольников

22. Через внутреннюю точку М треугольника АВС постройте прямую, которая
отсекает треугольник, подобный треугольнику АВС. Сколько решений имеет
задача?

23. В угол вписаны три окружности, одна из которых касается двух других.
Докажите, что их радиусы связаны соотношением: г| == Г) • Гз.

24. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Подобны
ли эти треугольники?

25. МАВ и МСВ — секущие к окружности. Докажите, что треугольники МАС и
МВВ подобны.

26. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника АВСВ проведена
прямая, пересекающая две его стороны в точках М и N. Из этих точек
опущены перпендикуляры на диагонали четырехугольника (рис. 38). Верно
ли, что основания перпендикуляров являются вершинами трапеции или
параллелограмма?

27. Два треугольника подобны. Разность их больших сторон 12 см, разность
их меньших сторон 6 см, длины двух средних стопин 30 и 20 см. Определите
периметры треугольников.

28. Периметры двух подобных прямоугольных треугольников относятся, как 1
: 8. У одного треугольника гипотенуза больше большего катета на 16 см, у
другого — сумма гипотенузы с меньшим катетом имеет ту же величину.
Найдите длины сторон этих треугольников.

29. Два треугольника не равны. Могут ли 5 основных элементов одного
треугольника равняться пяти основным элементам другого?

30. Треугольники со сторонами а, Ъ, с и Ь, с, и подобны. Может ли
коэффициент подобия равняться 2; 1,6; 0,б?

31. Длины катетов и гипотенузы двух подобных треугольников а, Ь, с и а\,
Ь\, с\. Докажите, что аа\ + ЬЬ\ == сс\.|

32. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
Докажите, что АН вдвое больше расстояния от центра | описанной
окружности до стороны ВС.

33. О — центр окружности, описанной около остроугольного \ треугольника
АВС, ОА + 0В + ОС == ОМ. Докажите, что

Точка М находится внутри треугольника АВС.

34. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС, у которого ^С = 60°. Докажите,
что точки А\, В\ и середина стороны АВ — вершины равностороннего
треугольника.

35. Докажите, что треугольник можно разрезать на любое натуральное число
п > 5 подобных ему треугольников.

36. Даны две непараллельные прямые 1\ и 1ч и точки А и В вне этих
прямых. Постройте через А и В две параллельные прямые, которые отсекают
на 1\ и 1ч отрезки с отношением Длин 2 : 3.

_37. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметьте такие точки D и Е,
чтобы АВ == DЕ == ЕС.

38. Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями
которых вдвое меньше диагонали ромба. Найдите величины углов ромба.

39. АВ — диаметр полуокружности. Хорды АС и ВD (или их продолжения)
пересекаются в точке М. Докажите, что АС • АМ + ВD • ВМ = АВ2.

40. Диагональ ВВ ромба АВСВ равна его стороне. Точка М находится на луче
ВА вне ромба. МС пересекает АВ в точке О. Под каким углом пересекаются
прямые МВ и ВО (рис. 39)?

41. Точка М находится внутри треугольника АВС, причем АМ = ВМ. На
сторонах АС и ВС вне треугольника АВС по строены треугольники АСР и ВСК,
подобные треугольнику АВМ, причем их равные стороны лежат вне
треугольника АВС. Докажите, что четырехугольник МРСК — параллелограмм

42. АВСВ — четырехугольник, M1, M2, M3, M4 — центры масс треугольников
АВС, ВСВ, СВА, ВАВ. Докажите, что четырехугольники АВСВ и M1M2M3M4
подобны.

43. Длины оснований трапеции 6 и 12 см. Середину каждого основания
соединили с концами другого основания, построенные отрезки пересеклись в
точках М и N. Найдите расстояние между М и N.

44. Основания трапеции 12 и 36 см. Середину меньшего основания соединили
с концами второго основания. Эти отрезки пересекли диагонали трапеции в
точках М и N. Найдите расстояние между М и N.

45. В окружность вписан выпуклый четырехугольник АВСD. Докажите, что АС
• ВD = АВ • СВ + ВС • АВ.

46. Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите что произведения
отрезков этих хорд равны.

47. Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов
отрезков этих хорд равна квадрату диаметр окружности.

48. Окружность проходит через вершину А параллелограмма АВСВ и
пересекает прямые АВ, АС, АВ в точках Е С|, г>1. Докажите, что АВ • АВ\
+ АВ • АВ^ == АС • АС (Рис. 40).

Ломаная

49. Ломаная состоит из 7 звеньев, угол между каждыми двумя смежными
звеньями 150°. Докажите, что эта ломан;

имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны.

50. Даны п > 2 точек, не все из которых лежат на одной при мой.
Докажите, что можно построить простую замкнутую ломаную, на звеньях
которой размещаются все данные точки.

51. Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см.
Докажите, что эта ломаная имеет не менее четырех звеньев.

52. На сторонах треугольника АВС вне его построены квадраты с центрами
0\, Оч, Оз. Точки Ао, Во, Со — середины сторон треугольника АВС, СцАоОдВ
— параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные 0\ВСоОз и О^ВцСоВ
равны.

53. Используя результат задачи 52, докажите, что отрезки 0\0у. и О^В
равны и взаимно перпендикулярны. Выведите отсюда один из путей
построения треугольника по центрам квадратов, построенных на его
сторонах вне треугольника.

54. Замкнутая ломаная состоит из 1989 звеньев и не имеет
самопересечений. Докажите, что прямая, не проходящая ни через одну
вершину ломаной, не пересекает всех звеньев этой ломаной.

55. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели одинаковую
длину, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°,
30°, 90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут
замкнутым?

Многоугольник

56. У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек.
Среди этих 3000 точек (вершин и данных) никакие три не лежат на одной
прямой. Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются
только точки из числа названных. При этом треугольники не перекрываются
и каждая из 3000 точек является вершиной хоть одного треугольника.
Определите общее число треугольников.

57. Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая
больше, по крайней мере, двух его сторон.

58. Какое наибольшее число прямых углов может быть среди внутренних
углов выпуклого многоугольника?

59. Каждая сторона п-угольника является диаметром круга. Зная, что эти
круги содержат все внутренние точки многоугольника, определите возможные
значения п.

60. Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиугольника можно
разрезать на три трапеции.

61. Докажите, что выпуклый га-угольник (п ~> 4) можно разделить на п — 2
трапеции.

62. Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромб АВВЕ и равносторонний
треугольник ВСВ. Найдите угол АСЕ.

63. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны
диагоналям некоторого пятиугольника.

64. Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон.

65. Постройте пятиугольник по положению середин всех его диагоналей.

66. АВСВЕР — шестиугольник, середины сторон которого К, Ь, М, К, О, Р.
Докажите, что центры масс треугольников КМО и ШР совпадают.

67. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у которого градусные меры
трех углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника
есть две равные.

68. Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответственно
параллельные сторонам треугольника, попарно пересекаются вне
треугольника. Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что
образуется равносторонний шестиугольник. Найдите его периметр.

69. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин
его параллельных сторон одинаковы.

Площадь прямоугольника

70. Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапеции а. Другая боковая
сторона равна сумме оснований. Найдите площадь прямоугольника, стороны
которого равны основаниям названной трапеции.

71. Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окружность касается его
сторон в точках А, В, С, В. Найдите площадь четырехугольника АВСВ.

72. Длины сторон прямоугольника а и Ь. Как разрезать его на две части,
из которых можно сложить квадрат, если:

а) о = 8 см» Ъ = 18 см; б) о == 9 см, Ь === 16 см?

73. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах,
причем периметр (в сантиметрах) и площадь (в квадратных сантиметрах)
выражены одинаковыми числами. Найдите площадь прямоугольника.

74. Расстояния внутренней точки М от трех вершин квадрата АВСВ такие: МА
== 7 см, МВ = 17 см, МС == 23 см. Найдите площадь квадрата.

75. Даны три параллельные прямые, средняя из которых удалена от двух
других на о и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого
находятся на этих прямых.

76. В окружность радиуса Д вписан прямоугольник периметра Р. Найдите
площадь прямоугольника.

Площадь параллелограмма

77. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам —
Н\ и Н 6 8.

86. Найдите углы треугольника, у которого 8 (о2 + Ь2).

87. Докажите, что в каждом треугольнике

— аЬ + Ь2).

88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами На,
Ъ.ь, Нс: (а + Ь + с)

•+ь+

89. Длины двух сторон треугольника а и Ь, биссектрисы углов при третьей
стороне пересекаются под углом 15°. Найдите площадь треугольника.

90. Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что
площадь их общей части больше половины площади каждого прямоугольника.

91. Докажите, что площадь четырехугольника не больше произведения полу
сумм длин противоположных сторон.

92. Около квадрата АВСВ описана окружность. Найдите на ней такую точку
М, чтобы произведение МА • МВ • МС • МВ имело наибольшую возможную
величину.

93. Площадь параллелограмма АВСВ равна О. Вершина М параллелограмма АМКВ
делит ВС так, что ВМ : МС ===3:5. Найдите площадь общей части
параллелограммов.

94. Площадь четырехугольника , длины его сторон а, Ь, с, 4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости.
Докажите, что все эти точки лежат в одной плоскости.

Параллельность прямых в пространстве

12. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда
любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую.

13. Точки А, В, С, В лежат вне плоскости параллелограмма К^МN, причем К
— середина АВ, Ь — середина ВС, М — середина СО. Является ли N серединой
отрезка А07

14. Середины пяти сторон шестиугольника находятся в одной плоскости.
Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости.

15. На двух пересекающихся плоскостях 6 и о дано по точке. Как построить
через эти точки прямые, которые не пересекают ни одной из названных
плоскостей?

16. Через прямую I проходят две плоскости а и а. Две параллельные прямые
пересекают эти плоскости: одна в точках А и В, другая — в точке С и еще
одной, которую требуется построить.

17. Точки А, В, С, О не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины
шести отрезков с концами в этих точках являются серединами трех
параллелограммов.

18. Точка М лежит вне плоскости правильного шестиугольника АВСОЕР. Верно
ли, что прямая, проходящая через середины отрезков МВ и МС, параллельна:
а) АО; б) СО?

19. По условию задачи 18 определите, каким сторонам или диагоналям
шестиугольника параллельна прямая, проходящая через середины отрезков МА
и МС.

20. Точка М находится вне плоскости правильного пятиугольника АВСОЕ.
Каким сторонам или диагоналям пятиугольника параллельна прямая,
проходящая через центры масс треугольников МАВ и МАЕ7

21. М и N—центры граней АВВ\А\ и ВСС\В\ куба АВСОА\В\С\0\. Каким ребрам
или диагоналям граней куба параллельна прямая МН?

22. АВСОЕР — замкнутая ломаная, не все звенья которой находятся в одной
плоскости. Отрезки, соединяющие середины звеньев ВС и АР, СО и ЕР равны
и параллельны. Параллельны ли звенья АВ и ОЕ’!

23. АВСТ) — квадрат со стороной 6 см. Точка М удалена от каждой вершины
квадрата на 7 см. Определите расстояние от середины отрезка МА до
середин всех сторон квадрата.

24. Периметр правильного шестиугольника АВСОЕР равен Р. Точка О,
находящаяся вне плоскости шестиугольника, соединена отрезком с каждой
его вершиной. Из центра масс треугольника ОАВ проведены до пересечения в
точках М), Мч, Мз, М^, Мв, Мб с плоскостью шестиугольника прямые,
соответственно параллельные ОА, 0В, ОС, 00, ОЕ, ОР. Найдите периметр и
площадь шестиугольника М\МчМгМ^МъМ^.

25. Три плоскости попарно пересекаются. Докажите, что линии их
пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.

26. АВСО — квадрат со стороной 6 см, прямые АМ и СТ параллельны. На них
по одну сторону от квадрата отмечены такие точки М и Т, что МА : ТС
==4:3. На каких расстояниях от вершин квадрата находится точка, в
которой прямая МТ пересекает плоскость квадрата?

Параллельность прямой и плоскости

27. Плоскости б и а пересекаются. Докажите, что через каждую точку
плоскости б можно построить прямую, которая либо параллельна плоскости
()

115. Квадраты АВСВ и АВС\В\ имеют площади по 32 см2. Зная, что
расстояние между СВ и С\В\ равно 8 см, докажите, что плоскости квадратов
взаимно перпендикулярны.

116. Перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой I. Отрезок АВ
имеет концы на этих плоскостях и образует со своими проекциями углы в
30° и 45е. Найдите угол между направлениями I и АВ.

117. АВСО квадрат, плоскость МАО перпендикулярна плоскости квадрата,
ММ \\ АО На АВ дана точка Т. Как построить через эту точку прямую,
образующую равные углы с АВ и Мт

118. Периметры равносторонних треугольников АВС и АВО равны по 24 см,
плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. Постройте общий
перпендикуляр медиан АО и ОМ этих треугольников и найдите его длину.

119. Плоскости квадрата АВСО и равностороннего треугольника АВМ взаимно
перпендикулярны, АВ == а. Постройте общий перпендикуляр прямой АС и
медианы МО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.

Прямоугольные координаты в пространстве

120. Три вершины ромба находятся в точках (8; 9; 10), (3, 3″ 2), (8; 7,
1). Найдите координаты четвертой вершины.

121. Три вершины параллелограмма находятся в точках (3; 1- 8), (4; 7;
1), (3; 5, 8). Найдите координаты четвертой вершины.

122. Середины сторон треугольника находятся в точках ( 2; 5; 1), (1, 3;
4), (2 0; 4). Найдите координаты вершин треугольника.

123. Координаты вершин А, С, Е правильного шестиугольника АВСОЕР: (—3;
7; 5), (7; 2; 1), (2; 3; 6). Найдите координаты остальных вершин и
центра шестиугольника.

124. Суммы аппликат противоположных вершин трапеции равны. Докажите, что
средняя линия трапеции параллельна плоскости ху или находится в этой
плоскости.

125. Лежат ли на одной прямой точки -А(5; —1; 4), В(4;

3; 1), С(3; 7; —2)?

126. Докажите, что отрезки АВ и СО, концы которых находятся в точках
А(»; —1; 4), В(2; 8; 7), С(5; 0; 1), 0(8; 6; 13), пересекаются и при
этом делятся в отношении 1:2.

127. На ребрах АА^,В\С^ СО куба АВСОА\В\С\0\ найдите по точке, чтобы
сумма квадратов расстояний между этими точками была минимальной.

128. Через точку М(1; 5; 3) проведена прямая, которая параллельна
плоскости ху и пересекает отрезок с концами -А(4; 2; 1) и В(7; 11; 7).
Определите координаты точки пересечения.

129. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов расстояний от точек с
координатами (1; 2; 4), (4; 5; 1), (7; 2; 1).

Векторы в пространстве

130. АВСО — прямоугольник, точка М находится вне его плоскости.
Докажите, что МА2 + МС2 •==- МВ2 + МО2

131. Точка М находится вне плоскости треугольника АВС, центр масс
которого — Т. Точка К делит отрезок МТ так, что МК == 3 КТ. Докажите,
что АК + ВК + СК + МК = 0.

132. Если направление АВ образует с направлениями СО, СЕ, ОЕ равные
углы, то прямая АВ перпендикулярна плоскости СОЕ. Докажите.

133. Верно ли, что, если М. — центр правильного многоугольника А\АчА^…
Ап, то МА\ + МАг + МАз +•••+ МАп == = О?

134. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от
всех вершин данного правильного многоугольника.

135. Точка М отстоит от центра куба АВСОА \В\С\0\ на 7 см. Найдите длину
вектора МА + МВ + МС 4- МО + МА ] + + МВ1 + МС\ + М0\.
___

136. По условию задачи 135 найдите длину вектора МР\ +

+ МР2 +-МРз + М?4 + М?5 + МРб, ГДе ?1, ?2, рз, Л, Р^

Ре — центры граней куба.

137. Через центр масс Т треугольника АВС проведена. прямая, на ней
отмечены такие точки А\, В\, С\, что аа[ || II ВВ) || СС\. Докажите,
что: а) ла) + ВВ1 + СС\ == 0;

б) ТА^ + ТВ, + ТС\ == 0.

138. Докажите, что прямую, проходящую через точки А и В, можно
определить, как совокупность точек М, удовлетворяющих условию АМ = р АВ,
где —оо<: n n. i : _1_ _ __>А\В\С\1)\. Постройте сечение куба плоскостью,
проходящей через середины ребер АВ и ВС параллельно диагонали В^\.

35. Стороны основания треугольной призмы 25, 39, 56 см. Сечение,
проходящее через центр наибольшей боковой грани и боковое ребро, имеет
форму квадрата. Найдите площадь поверхности призмы.

36. В правильной четырехугольной призме сторона основания 2 см, высота 4
см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух
смежных сторон основания и центр призмы (рис. 58).

37. Длина каждого ребра правильной шестиугольной призмы
АВС^ЕРА\В\С\^\Е\1:^’\ 4см. Найдите площадь сечения, которое проходит
через вершины А и С параллельно диагонали призмы ВЕ^.

38. В правильной четырехугольной призме АВСВА^В\С\В\ боковая грань и
сечение АВ\С равновелики. Найдите угол между плоскостью названного
сечения и боковым ребром призмы.

39. Плоскость пересекает боковые ребра прямой треугольной призмы
АВСА\В\С\ так, что сечением оказался равносторонний треугольник КЬМ
периметра 36 см. Известно, что АК = 16 см, ВЬ= 11 см, СМ = 5 см. Найдите
угол между медианой КВ сечения и плоскостью основания (рис. 59).

40. В правильной четырехугольной призме построены два параллельных
сечения: одно через середины двух смежных сторон основания и центр
призмы, другое — через диагональ основания (рис. 60). Найдите отношение
площадей сечений.

Параллелепипед

41. Сечение призмы плоскостью, пересекающей все боковые ребра —
параллелограмм. Докажите, что эта призма — параллелепипед.

42. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда I, диагональ его вдвое
меньше периметра основания. Определите площадь основания
параллелепипеда.

84

43. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат площади
сечения с вершинами в концах ребер, исходящих из одной вершины, в 8 раз
меньше суммы квадратов площадей всех граней параллелепипеда.

44. Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух
смежных граней куба втрое меньше диагонали куба.

45. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме
квадратов его ребер.

46. Расстояния от центра параллелепипеда до его вершин 18, 15, 11, 10
см. Зная, что длины трех ребер (в сантиметрах) выражаются
последовательными целыми числами, определите периметры граней
параллелепипеда.

47. Боковое ребро параллелепипеда 10 см, периметр основания 56 см.
Расстояния от вершин одного основания до центра другого основания 18,
17, 10, 9 см. Найдите стороны основания.

48. Диагонали параллелепипеда АВСОА \В \С \В\ пересекаются в точке О.
Периметры треугольников ОАА\, ОАВ и ОАО равны 36, 37, 29 см, АЛ, == 17
см, АВ = 11 см, АО = 6 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

49. Боковое ребро параллелепипеда 3 см, стороны основания 10 и 11 см.
Зная, что длины диагоналей (в сантиметрах) выражены последовательными
четными числами, найдите площади диагональных сечений.

50. Длины ребер параллелепипеда 9, 13, 14 см, длины его диагоналей (в
сантиметрах) выражаются последовательными четными числами. Найдите
расстояния от центра параллелепипеда до вершин.

51. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда 192 см2. Если бы
каждое измерение его было на 1 см больше, площадь поверхности равнялась
бы 274 см2. Определите длину диагонали параллелепипеда.

52. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть
правильным пятиугольником.

53. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный
параллелепипед, у которого длина диагонали и?

54. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь параллелепипед, у
которого сумма длин всех ребер 48 см?

Пирамиды

55. Могут ли середины всех высот треугольной пирамиды находиться в одной
плоскости?

56. Сумма плоских углов при всех вершинах пятиугольной призмы равна
сумме плоских углов при всех вершинах пирамиды. Определите число ребер
этой пирамиды.

57. Плоские углы при каждой вершине пирамиды равны между собой.
Определите форму основания пирамиды.

58. Какова бы ни была треугольная пирамида, можно построить треугольник,
стороны которого равны суммам скрещивающихся ребер этой пирамиды.
Докажите.

59. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер
треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке.

60. Докажите, что сумма квадратов отрезков, которые соединяют середины
скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, в 4 раза меньше суммы
квадратов ребер этой пирамиды.

61. Могут ли все грани пирамиды оказаться прямоугольными треугольниками?

62. Плоские углы при вершине пирамиды — прямые. Докажите, что сумма
квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания
пирамиды.

63. Основание пирамиды — параллелограмм, стороны которого 16 и 22 см.
Расстояние от вершины пирамиды до центра основания 4 см. Зная, что длины
боковых ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными
числами, найдите длины боковых ребер пирамиды.

64. Два боковых ребра пирамиды 13 и 14 см, угол между ними 60°, а между
их проекциями 120°. Найдите высоту пирамида.

65. Основание пирамиды — параллелограмм, периметр которого 48 см. Центр
основания удален от вершины пирамиды на 7,5 см, боковые ребра пирамиды
9, 11, 12, 13 см. Найдите стороны основания.

66. Может ли развертка полной поверхности пирамиды оказаться: а)
равносторонним треугольником; б) квадратом;

в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиугольником; д)
трапецией?

6Т. Докажите, что центры всех граней правильной призмы являются
вершинами двух равных правильных пирамид с общим основанием.

6в. Докажите, что только при п == 3 развертка полной поверхности

п-угольной пирамиды может оказаться выпуклым многоугольником.

©9. Если плоские углы при вершине пирамиды — прямые, то высота пирамиды
проходит через точку пересечения высот основания. Докажите.

Т®. Основание пирамиды — квадрат. Двугранные углы при основании пирамиды
относятся, как 1:2:5:2. Найдите величины этих углов.

71. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды МАВС имеет длину I и
образует со стороной основания, которую пересекает, угол в 75°. Паук
начал ползти из вершины А и, побывав на всех боковых гранях пирамиды,
вернулся в ту же точку (рис. 61). Определите наименьшую возможную длину
пути паука.

72. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды МАВСВЕР равна а,
угол между боковым ребром и стороной основания, которую оно пересекает,
80°. Паук начал ползти по поверхности пирамиды из точки А и, побывав на
всех боковых гранях, вернулся в точку А. Определите наименьшую возможную
длину пути паука.

73. Из каждой вершины основания правильной четырехугольной пирамиды,
площадь основания которой равна О, опущены перпендикуляры на плоскости
граней, не содержащих этих вершин. Точки пересечения этих
перпендикуляров — К, Ь, М, N (рис. 62). Докажите, что эти точки лежат в
одной плоскости, и найдите площадь четырехугольника К^МN.

74. Если боковые ребра треугольной пирамиды попарно взаимно
перпендикулярны и имеют длины а, Ъ, с, то высота пирамиды Н связана с
ними соотношением: Н 2 + с~2. Докажите.

75. Если суммы квадратов скрещивающихся ребер треугольной пирамиды
равны, то высоты пирамиды пересекаются в одной точке Г Докажите

.

Площадь поверхности пирамидах

76. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, их длины
2, 4, 16 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

77. Площадь основания треугольной пирамиды равна 56 см2. Боковые ребра
взаимно перпендикулярны, их длины составляют арифметическую прогрессию с
разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

78. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная
пирамида, у которой 5 ребер имеют длину а?

79. Двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной
четырехугольной пирамиды 120°, площадь основания О. Определите площадь
боковой поверхности пирамиды.

80. В правильной шестиугольной пирамиде площадь каждого диагонального
сечения равна О. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности
пирамиды.

81. Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и
высоту. Может ли площадь боковой поверхности призмы быть меньше площади
боковой поверхности пирамиды? Если да,’ то при каком условии?

82. Может ли площадь одной боковой грани пирамиды быть равной сумме
площадей остальных боковых граней? Может ли она превысить названную
сумму площадей? Подкрепите свои соображения примерами.

83. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды
равна сумме площадей основания и диагональных сечений. Найдите величину
плоского угла при вершине пирамиды.

84. Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь
поверхности которой О, проведены параллельно боковым ребрам пирамиды
прямые ОА\, ОВ\, ОС\, ОВ\ (рис. 63). Найдите площадь поверхности
пирамиды ОА1В\С\В\.

Сечение пирамиды

85. Плоский угол при вершине правильной пирамиды — прямой. Как построить
сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, чтобы
оно было равносторонним треугольником?

86. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое
ребро 30 см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его
площадь.

87. Площадь малого осевого сечения правильной четырехугольной пирамиды
О. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно стороне основания и
делит эту сторону в отношении 1:5.

88. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания 10 см, а
боковое ребро 13 см. Найдите площадь сечения, проходящего через центр
основания параллельно боковой грани.

89. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды МАВСО равна а,
боковое ребро I. Постройте сечение через середины сторон основания АВ и
ВС параллельно ребру МВ и определите площадь сечения.

90. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 12 см, а
боковое ребро 11 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону
основания перпендикулярно противолежащей боковой грани.

91. Периметр основания правильной треугольной пирамиды 45 см, боковое
ребро 14 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середину
медианы основания перпендикулярно этой медиане.

92. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и
среднюю линию параллельной боковой грани про-

о ведено сечение. Докажите, что его площадь больше — площади

основания.

93. Через сторону основания правильной шестиугольной пирамиды и среднюю
линию параллельной боковой грани про-

ведена плоскость. Докажите, что площадь сечения больше —

площади основания.

94. Основание пирамиды МАВСВ — ромб с диагоналями АС = 24 см, ВО ==
21см. Боковое ребро МА == 18 см перпендикулярно плоскости основания.
Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину А и середину
ребра МС параллельно диагонали ВО основания (рис. 64)..

Параллельные сечения пирамиды

95. Построены два сечения пирамиды плоскостями, перпендикулярными
боковому ребру. Относятся ли площади этих сечений как квадраты их
расстояний от вершины пирамиды?

96. Площадь основания пирамиды 128 см2. Площади двух сечений,
параллельных основанию, 18 и 50 см2, расстояние между плоскостями
сечений 12 см. Найдите высоту пирамиды.

97. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 35 и 28
см. В пирамиду вписан куб так, что его 4 вершины лежат на основании
пирамиды, а 4 — на апофемах пирамиды. Найдите ребро куба.

98. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см.
Высота пирамиды Н == 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан
куб так, что 4 вершины его лежат на основании пирамиды, а 4 — на боковых
гранях, причем боковые грани куба параллельны катетам основания (рис.
65). Найдите ребро куба.

Усеченная пирамида

99. Докажите, что диагонали правильной четырехугольной усеченной
пирамиды пересекаются в одной точке.

100. Площади оснований усеченной пирамиды 75 и 147 см2. Найдите площадь
сечения, проходящего через середины всех боковых ребер.

101. Диагональ правильной четырехугольной усеченной пирамиды имеет длину
15 см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части в 4 и 5
см. Найдите площади оснований усечённой пирамиды.

102. Отрезок 00\ = 27 см, соединяющий центры оснований правильной
четырехугольной усеченной пирамиды, разделил ее диагональ на части в 20
и 25 см. Найдите площади оснований.

103. Сторона меньшего основания, боковое ребро и сторона большего
основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют
арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Высота усеченной пирамиды 7
см. Найдите площади оснований.

104. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде отрезок, соединяющий
середину малой диагонали большего основания с центром другого основания,
параллелен одному из боковых ребер. Как относятся площади оснований
усеченной пирамиды?

105. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований 2 и 5
дм, высота 1 дм. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону
меньшего основания параллельно боковому ребру.

106. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды
относятся, как 1 : 3. Периметр боковой грани равен

периметру одного из оснований. Найдите угол между боковым ребром и
плоскостью основания.

107. Центр каждого основания правильной треугольной усеченной пирамиды
соединен с вершинами другого основания (рис. 66). Найдите длину линии,
которая соединяет попарно точки пересечения построенных отрезков, если
периметры оснований усеченной пирамиды равны Р и Р\.

Площадь поверхности усеченной пирамиды

108. Стороны основания правильней шестиугольной усеченной пирамиды 5 и
11 см. Расстояние между параллельными сторонами оснований, не лежащими в
одной грани, 19 см. Найдите площадь поверхности усеченной пирамиды.

109. Сечение, проходящее через середины всех боковых ребер правильной
пирамиды, разделило ее на части, площади полных поверхностей которых
относятся, как 3 : 11. Определите двугранный угол при основании
пирамиды.

110. Периметры оснований правильной треугольной усеченной пирамиды 18 и
36 см. Расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей
стороны другого основания 7 см. Найдите площадь боковой поверхности
усеченной пирамиды.

111. Периметры оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды
АВСВЕРА\В1С\В\Ё\Р\ 28 и 124 см. Расстояние от вершины А \ меньшего
основания до прямой СЕ равно 17 см. Найдите площадь боковой поверхности
усеченной пирамиды.

112. Основания усеченной пирамиды — ромбы с отношением сторон 3 : 4 и
длинами сторон 15 и 25 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно
плоскости основания и равно меньшей диагонали меньшего основания.
Найдите площадь поверхности усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

113. Докажите, что тетраэдр с вершинами в центрах масс граней
правильного тетраэдра — правильный. Как относятся площади поверхностей
этих тетраэдров?

114. В каком отношении делятся при пересечении высоты правильного
тетраэдра?

115. Для каких п можно построить сечение октаэдра плоскостью, являющееся
правильным ге-угольииком?

116. Докажите, что градусные меры двугранного угла правильного тетраэдра
и угла между смежными гранями октаэдра в сумме составляют 180°.

117. Точка О — середина высоты МО правильного тетраэдра МАВС. Докажите,
что лучи ОА, 0В, ОС попарно взаимно перпендикулярны.

Движения

118. Сколько центров симметрии имеют две параллельные плоскости? Какую
фигуру образуют все эти центры?

119. Постройте фигуру, симметричную данной треугольной пирамиде
относительно центра масс ее: а) основания; б) данной боковой грани.

120. Постройте фигуру, симметричную дайной правильной га-угольной
пирамиде (п == 4; 6; 3) относительно середины: высоты пирамиды.

121. АВСВА\В\С\В\ — параллелепипед, точка М 6 ал. Постройте отрезок МN,
у которого середина находится на плоскости СС\А, а точка N лежит на
ребре СВ.

122. Постройте отрезок с концами на ребрах АВ и МС и серединой на высоте
МО правильной пирамиды МАВС.

123. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь
плоскостью так, чтобы сечение имело центр симметрия.

124. Напишите уравнение плоскости, которая симметрична плоскости х + у
-\- г — 3=0 относительно точки М (2; 2; 2).

125. Дан квадрат АВСВ с вершинами А (4; 0; 0) и В (8; 3; 0), плоскость
которого параллельна осж Ог. Найдите координаты вершин квадрата, который
симметричен данному относительно точки (2; 2; 2).

126. МАВСВ — правильная пирамида. Постройте фигуру, симметричную
относительно плоскости основания: а) средней линии боковой грани (два
случая); б) отрезку, соединяющему центры масс граней МАВ и МВС; в) грани
МАО.

127. АВСА\В\С\ — правильная приема. Постройте фигуру, симметричную
относительно плоскости АВВ\: а) отрезку В^’, б) данному отрезку с
концами на ЕС и А\С\.

13В. Все ребра пирамиды МАВСВ равны. Найдите на плоскости ее основания
точку, равноудаленную от точек Р и У, лежащих на МА и МС.

129. Точки В и Е находятся на боковых гранях правильной пирамиды МАВС.
Найдите на плоскости АВС точку с наименьшей возможной суммой расстояний
от В и Е.

130. Точки В и Е находятся на высоте треугольной пирамиды МАВС.
Постройте на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от точек В и
Е.

131. Точки В та Е находятся на стороне основания правильной пирамиды
МАВС. Найдите на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от В и
Е.

132. На гранях АВВ\А\ и ВСС\В{ правильной треугольной приемы АВСА\В\С\
даны точки В и Е. Постройте равнобедренный треугольник, у которого
вершина находится на ВВг, концы основания — на АВ и ВС, а боковые
стороны проходят через В и Е.

133. Точки В и Е находятся на гранях МАВ и МВС правильной пирамиды
МЛ.ВС. Постройте равнобедренный треугольник с вершиной на МВ, концами
основания на АВ и ВС, чтобы боковые стороны содержали В у. Е.

134. Точки Е и Р находятся на гранях МАВ и МСО правильной
четырехугольной пирамиды МАВСО. Постройте равнобокую трапецию, у которой
одно основание лежит на основании пирамиды, концы другого — на ребрах МВ
и МС, а боковые стороны содержат точки Е и Р.

135. АВСВЕРА\В\С\В\Е\Р\ — правильная призма. Постройте на ее поверхности
все точки, принадлежащие плоскости симметрии плоскостей: а)АА\В та
СС\Р’, б) АА\В и АА\Е; в) АА\В и АА\В; г) АА^В и ВВ\С; д) АА^С и ВВ^Р;
е) АА^В и ВВ\Е;

ж) АА ,С и ВВ\Р.

Равенство пространственных фигур

136. Равны ли две треугольные призмы, если три стороны основания и
боковое ребро одной равны трем сторонам основания и боковому ребру
другой? Если нет, то какое нужно дополнительное условие, чтобы
утверждать, что призмы равны?

137. Две пирамиды имеют равные высоты, их общее основание — квадрат
АВСО. Докажите, что эти пирамиды равны, если их вершины ортогонально
проектируются: а) в точки А и С; б) середины двух сторон квадрата.

138. авсва\в[с\в\ — куб. Докажите, что пирамиды АВСВ\ и 1)В\С\В\ равны.

139. Сформулируйте несколько признаков равенства правильных призм.
Обоснуйте эти признаки.

140. Сформулируйте несколько признаков равенства правильных пирамид.
Обоснуйте эти признаки.

141. Докажите, что две треугольные призмы равны, если их боковые грани
соответственно равны.

142. Равны ли две прямые треугольные призмы, если все диагонали их
боковых граней соответственно равны?

143. МАВСВЕР — правильная пирамида. Докажите равенство пирамид: а) МАВС
и МВЕР; б) МВСЕ и МАРВ.

144. АВС^ЕРА^В^С^^^Е^Р^ — правильная призма. Равны ли пирамиды: а) С^ВСВ
и ЕЕ\В\Р^, б) А^АВР и С\СВЕ;

в) ВАА^В и А^СС^ВЧ

Цилиндр

145. Какую фигуру образуют все точки, удаленные от данной прямой I на. а
и равноудаленные от данных точек А и В?

146. Постройте изображение вписанных в окружность правильного
восьмиугольника и правильного двенадцатиугольника.

147. Изобразите вписанный в окружность прямоугольный треугольник с
отношением катетов 2 : 3.

148. Изобразите две равные хорды окружности, пересекающиеся в данной
точке М под прямым углом.

149. Изобразите две равные хорды окружности, пересекающиеся в данной
точке М под углом в 60°.

150. Постройте касательную к данному эллипсу в данной точке этого
эллипса.

151. Постройте изображения описанных около окружности ромба с углом 45°
и равнобокой трапеции с углом 45° при большем основании.

152. Вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований цилиндра, у
которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Зная, что стороны
прямоугольника относятся, как 1 : 4, найдите его площадь.

153. Диагональ осевого сечения цилиндра равна сумме его радиуса и
высоты. Найдите отношение сторон осевого сечения цилиндра.

154. Диаметр барабана лебедки 530 мм, его длина 727 мм. За время работы
на барабан наматывается 225 м троса диаметра 17 мм. Во сколько слоев
наматывается трос?

155. Около данного цилиндра опишите правильную четырехугольную пирамиду,
высота которой вдвое больше высоты цилиндра.

156. Высота и основание равнобедренного треугольника 8 и 6 см. Цилиндр
касается всех сторон треугольника, его образующие наклонены к плоскости
треугольника под углами по 30°. Найдите радиус цилиндра.

157. Найдите радиус равностороннего цилиндра, у которого ось лежит на
диагонали куба с ребром а, а каждая из окружностей оснований касается
трех граней куба, имеющих общую вершину.

Конус

158. В равносторонний конус, образующая которого I, вписана правильная
шестиугольная призма, боковая грань которой — квадрат. Найдите площади
диагональных сечений призмы.

159. Диагональ октаэдра с ребром а является высотой конуса, на
поверхности которого находятся 4 ребра октаэдра (рис. 67). Найдите
площадь осевого сечения конуса.

160. Радиус основания конуса 9 см, высота 7 см. Какую наибольшую площадь
может иметь сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?

161. Наибольшая возможная площадь сечения конуса плоскостью, проходящей
через вершину конуса, вдвое больше площади осевого сечения. Найдите угол
между образующей и плоскостью основания конуса.

162. В конус вписана правильная треугольная призма, все ребра которой
равны а. Четыре вершины призмы лежат на

окружности основания, а две на боковой поверхности конуса (рис. 68).
Найдите высоту конуса.

163. Ребро куба АВСВА\В\С\В\ равно а. Диагональ АС\ содержит высоту
равностороннего конуса с вершиной А. Окружность основания конуса
касается трех граней куба с общей точкой С1. Найдите образующую конуса.

164. Основание конуса находится на грани АВСВ куба АВСВА\В\С\В\, у
которого ребро а. Вершина конуса находится в центре грани А\В\С\В\.
Найдите радиус основания конуса, зная, что боковая поверхность касается
прямой, которая проходит через: а) В\ и середину ВС; б) В и середину
ВС\; в) середины ВС и ВЁ1 (рис. 69).

Усеченный конус

165. Какую фигуру образуют середины диагоналей всех осевых сечений
усеченного конуса?

166. Какую фигуру образуют середины всех отрезков, у каждого из которых
концы находятся на окружностях оснований усеченного конуса?

167. Радиусы оснований усеченного конуса 25 и 16 см. В осевое сечение
этого усеченного конуса можно вписать окружность. Определите ее радиус.

168. Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится

осью усеченного конуса на части в 13 — и 26 — см. Зная,

что образующая усеченного конуса 26 см, найдите радиусы оснований.

169. Два конуса, у которых радиусы оснований 10 и 15 см, имеют общую
высоту, их плоскости оснований не совпадают. Найдите длину окружности,
по которой пересекаются поверхности этих конусов.

Сфера и шар

170. Какую фигуру образуют основания перпендикуляров, опущенных из
данной точки А на все плоскости, проходящие через данную точку В?

171. Из точки М к данному шару можно провести три взаимно
перпендикулярные касательные. Какую фигуру образуют все такие точки М?

172. Какую фигуру образуют вое точки, удаленные на о от данной сферы
радиуса Ь?

173. Какую фигуру образуют центры всех сфер радиуса В, касающихся: а)
данной плоскости 6^ б) двух данных плоскостей?

174. Даны плоскость б и точка М вне ее. Какую фигуру образуют центры
сфер радиуса В, которые проходят через точку М и касаются плоскости б?

175. Докажите, что касательные, проведенные из данной точки к данной
сфере, имеют равные длины.

176. Плоскость 6 касается шара в точке А. На продолжении диаметра АВ = а
взята такая точка С, что ВС == Ь, в ней помещен точечный источник света.
Найдите площадь тени шара на плоскость 6.

177. Диаметры АВ, СВ, ЕР сферы взаимно перпендикулярны. Каждый из них
разделен на п равных частей, через точки деления проходят плоскости,
перпендикулярные к этому диаметру. На сколько частей эти плоскости
разделили сферу, если: а) п == 4; б) п == 6; в) п –=- 5; г) п == 8?

178. В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпендикулярных
сечения, радиусы которых откосятся, как 2 : 3. Зная, что общая хорда
этих сечений 2 см, найдите площади сечений.

179. В шаре построены два взаимно перпендикулярных сечения, площади
которых 185л и 320я см2. Определите радиус шара, если общая хорда этих
сечений имеет длину 16 см.

180. Изобразите вписанную в сферу треугольную пирамиду, боковые ребра
которой взаимно перпендикулярны.

181. В сферу радиуса Н вписана правильная шестиугольная призма. Радиус
сферы, проведенный в вершину призмы, образует с плоскостью боковой грани
угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

182. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды — прямой,
сторона основания а. Найдите радиус описанной сферы.

183. Докажите, что радиус сферы, описанной около пирами-

ды, у которой высота Н, а каждое боковое ребро I, равен —. т

Установите, при каком соотношении между I и Н центр описанной сферы
находится внутри пирамиды.

184. У треугольной пирамиды МАВС: МА == ВС ===16 см, МВ == АС =з 19 см,
МС == АВ == 21 см. Определите радиус описанной сферы.

185. Радиусы окружностей, описанных около основания и около боковой
грани правильной треугольной пирамиды, 8 и 7 см. Найдите радиус
описанной сферы.

186. В прямую четырехугольную призму можно вписать шар. Верно ли, что
суммы площадей ее противолежащих боковых граней равны?

187. Скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно равны. Докажите, что центры
описанной и вписанной сфер совпадают.

188. Все ребра четырехугольной пирамиды равны а. Найдите радиус сферы,
которая касается всех ребер пирамиды.

189. Каждое ребро тетраэдра имеет длину а. Найдите радиус сферы, которая
касается всех ребер тетраэдра.

190. В конус, у которого радиус основания 9 см, а образующая 15 см,
вписан шар. Найдите длину линии, по которой касаются их поверхности.

95

Сфера и ее уравнение

191. Радиусы двух шаров 17 и 25 см. Длина линии, по которой пересекаются
поверхности шаров 30л см. Определите расстояние между центрами шаров.

192. Имеется обломок шара. На основании каких построений и измерений вы
могли бы определить его радиус?

193. Установите взаимное расположение сфер х2 + у2 + + г2 = 4 и х2 + у2
+ г2 – 24ж – 12у + 16г – 168 = 0.

194. Установите взаимное расположение сферы х2 + у2 + 4- 22 == 16 и
плоскости 2х — 2у + 2 — 12 == 0.

195. Напишите уравнение сферы, которая проходит через точки (2; 3; 4) и
(3; —1; 5) и касается плоскости ху.

Объем прямоугольного параллелепипеда

196. Как, разрезав на две части, сложить куб из прямоугольного
параллелепипеда, измерения которого: а) 4, 6, 9 см;

б) 9, 12, 16 см; в) 16, 20, 25 см?

197. На какое наименьшее число частей можно разрезать куб, чтобы из этих
частей можно было сложить призму, основание которой: а) прямоугольная
трапеция; б) равнобокая трапеция?

198. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого расстояния
от центра до ребер равны 13, 20, 21 см.

199. На ребрах АА\ и ВВ\ прямоугольного параллелепипеда АВСВА\В\С\В\
даны точки М и N. Постройте плоскость, которая проходит через эти точки
и делит параллелепипед на равные части.

200. Решите задачу 199 для случая, когда точки даны на смежных боковых
гранях.

201. Длины ребер четырех кубов (в сантиметрах) выражены
последовательными целыми числами. Объем одного куба равен сумме объемов
остальных. Определите длины ребер этих кубов.

202. Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипедов с данной
длиной диагонали наибольший объем имеет куб, используя теорему:
«Произведение трех положительных чисел, сумма которых постоянна, имеет
наибольшую величину, когда эти числа равны».

203. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого периметры
трех граней 36, 40, 48 см.

204. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина
диагонали 81 см, а измерения относятся, как 7 : 14 : 22.

Объем прямого параллелепипеда

205. В прямом параллелепипеде АВС^А\В\С^^\ диагонали АС\ и В^\ взаимно
перпендикулярны и равны 6 и 8 дм. Зная, что ВС == 3 дм, найдите объем
параллелепипеда.

96206. Двугранный угол между боковыми гранями прямого параллелепипеда
60°, площади диагональных сечений 56 и 72 см2, длина бокового ребра 4
см. Найдите объем параллелепипеда.

207. Расстояния от центра прямого, параллелепипеда до основания и
боковых граней 9, 8, 6 см. Периметр основания Р = == 70 см. Определите
объем параллелепипеда.

208. Площадь поверхности прямого параллелепипеда 176 см2. Расстояния от
центра параллелепипеда до его граней 1, 2, 3 см. Найдите объем
параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда

209. Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами о и Ь.
Боковое ребро равно I и образует со сторонами основания углы в 45° и
60°. Найдите объем параллелепипеда.

210. Каждая грань параллелепипеда — ромб с диагоналями 6 и 8 дм. Плоские
углы при одной вершине — острые. Найдите объем параллелепипеда.

Объем призмы

211. Площадь основания правильной четырехугольной призмы О. Длины
диагоналей двух граней относятся, как 1 : 3.

Найдите объем призмы.

212. Железобетонная силосная башня из стандартных плит имеет форму
правильной призмы, у которой расстояние от прямой, проходящей через
центры оснований, до стен 3,65 м. Зная, что объем стен составляет 6,45 %
полезного объема,

определите толщину стен.

213. Даны две одноименные правильные призмы. У одной сторона основания
а, боковое ребро Ь, у другой сторона основания Ь, боковое ребро а (а >
Ь). У какой из призм объем больше?

214. Две одноименные правильные га-угольные призмы равновелики. У какой
из них больше площадь боковой поверхности

215. Поперечное сечение канала — трапеция (без верхнего основания), дно
и стенки канала длиной по о. При какой величине угла между дном и
стенками канала его пропускная способность будет наибольшей?

216. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы ‘О. Плоскость
проходит через боковое ребро и делит призму на части, объемы которых
относятся, как 1 : 3. Найдите площадь сечения.

217. Высота правильной шестиугольной призмы Н. Угол между двумя равными
диагоналями призмы, проведенными из одной вершины, 30°. Найдите объем
призмы.

218. Основание прямой призмы — трапеция, периметр которой 58 см. Площади
параллельных боковых граней 96 и 264 см2, а площади двух других боковых
граней 156 и 180 см2. Найдите объем призмы.

219. Основанием прямой призмы является трапеция, площадь которой 306
см2. Площади параллельных боковых граней 40 и 300 см2, а площади других
боковых граней 75 и 205 см2. Найдите объем призмы.

220. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность
радиуса 65 см. Площади боковых граней относятся, как 63 : 52 ; 39 : 16.
Диагональ наименьшей боковой грани 40 см. Найдите объем призмы.

221. В цилиндр высоты 12 см вписана шестиугольная призма, у которой три
стороны, взятые черве одну, имеют длины по 3 см, остальные стороны
основания — по 5 см. Найдите объем призмы,

222. В цилиндр высоты 8 см вписана восьмиугольная призма, у которой
длины четырех сторон основания, взятых через одну, по 2 см, а остальных
сторон основания — по 3 см. Найдите объем призмы.

223. В сферу радиуса Л вписана правильная треугольная призма. Радиус
сферы, проведенный в вершину призмы, наклонен к плоскости боковой грани
под углом к. Найдите объем призмы.

Объем пирамиды

234. Стороны основания треугольной пирамиды 15, 16, 17 см. Каждое
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в 45°, Найдите
объем пирамиды.

226, Длина каждого бокового ребра пирамиды 65 см. Ее основание —
трапеция с длинами сторон 14, 30, 50, 30 см. Найдите объем пирамиды.

236. Длин» каждого бокового ребра пирамиды 35 см, стороны основания 20,
34, 60, 66 см. Найдите объезд пирамиды.

227. Высота правильной вдестиурол&ной пирамиды Я, Расстояние от середины
высоты де бокового ребра у 4 раза меньше стороны основания. Найдите
объем пирамиды.

228. Длина пятке ребер треугольной пирамиды не более 2 см. Докажите, что
объем пирамиды не более 1 см3.

229. Докажите, что объем треугольной пирамиды меньше

— квадратного корня из произведения длин всех ребер пирамиды.

230. Стороны основания усеченной ‘ треугольной призмы 28, 45, 53 см, а
боковые ребра перпендикулярны основанию и равны 13, 14, 15 см. Найдите
объем усеченной призмы (рис. 70).

Если плоскость, не параллельная плоскости основания призмы, пересекает
все боковые ребра призмы, то полученные части приемы будем называть
усеченными призмами.

231. Докажите, что объем усеченной треугольной призмы равен произведению
площади перпендикулярного сечения на среднее арифметическое длин боковых
ребер.

232. Стороны основания прямого параллелепипеда 6 и 8 см, угол между ними
30°. Плоскость отсекает на трех боковых ребрах отрезки в 8, 10, 11 см.
Найдите объем той части призмы, которая заключена между основанием и
плоскостью сечения.

233. Основание прямой призмы — трапеция, у’ которой стороны АВ == СО ==
13 см, ВС = 18 см, АТ> == 28 см. Плоскость проходит через точку С и
отсекает на ребрах ВВ\ и ВВ\ отрезки по 9 см. Найдите объем части призмы
между основанием и проведенным сечением.

234. В параллелепипеде АВСВА\В\С\0\ точка К — середина ребра АА\, точка
М — середина ребра СС\, ВВ\ = а, КВ\ == Ъ, МВ\ == с, причем ВВ\, КВ\ и
МВ1 попарно взаимно перпендикулярны. Найдите объем параллелепипеда.

235. Развертка поверхности пирамиды — квадрат со стороной а. Найдите
объем пирамиды.

236. Длины сторон основания треугольной пирамиды 32, 34, 34 см.
Периметры двух равных боковых граней по 150 см, третьей — 162 см.
Найдите объем пирамиды.

237. Даны тетраэдры МАВС и М\А \В\С\, у которых трехгранные углы с
вершинами М и М1 равны. Докажите, что объемы этих тетраэдров относятся,
как произведения длин ребер равных трехгранных углов.

238. Через сторону основания и среднюю линию противолежащей боковой
грани правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите
отношение объемов частей, на которые плоскость разделила пирамиду.

239. Через сторону основания и середину высоты правильной
четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение объемов
частей, на которые при этом разделилась пирамида.

240. Развертка пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 18 см
и высотой, проведенной к основанию, 12 см. Найдите объем пирамиды.

241. Докажите» что объем правильной пирамиды меньше

та

-у куба длины ее бокового ребра.

242. Каждое боковое ребро пирамиды МАВСВ равно I. Известно, что ^ АМВ =
/-. ВМС == ^. АМС == 90°, ^ АМО == = ^ СМВ. Найдите объем пирамиды.

243. Основание пирамиды — трапеция (или треугольник) со средней линией
АВ, вершина пирамиды М, О — середина стороны, параллельной средней
линии. Докажите, что объем

пирамиды равен — произведения площади сечения МАВ на з

расстояние от точки О до плоскости МАВ (рис. 71).

244. Основания многогранника лежат в параллельных плоскостях, все
остальные грани — треугольники или трапеции, все вершины которых лежат
на основаниях. Докажите,

что объем многогранника V = — ((?1 + Ог + 4о), где Я — расстояние между плоскостями оснований, 61 и Оч — площади оснований, а о — площадь сечения, проходящего через середины всех ребер, не принадлежащих основаниям (рис. 72). 245. Найдите объем чердачного помещения, у которого основание — прямоугольник 6 X 12 м, высота 1,5 м, длина гребня 9 м. Объемы подобных тел 246. У двух правильных треугольных пирамид двугранные углы при основаниях равны по 60°. Высота одной пирамиды равна стороне основания другой. Как относятся объемы этих пирамид? 247. При каком построении плоскость рассекает прямоугольный параллелепипед с измерениями 2, 4, 9 см на два подобных параллелепипеда? Найдите объемы этих параллелепипедов. 248. Через центр масс основания треугольной пирамиды проходит плоскость, параллельная боковой грани. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит пирамиду. 249. Объем правильной четырехугольной пирамиды МАВСО равен V. В результате параллельного переноса вершина А переместилась в центр основания. Найдите объем общей части обоих положений пирамиды. 250. Найдите отношение объемов частей, на которые правильная треугольная пирамида делится плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани. 251. Решите задачу 249 для правильной четырехугольной пирамиды. 252. Площади оснований усеченной пирамиды относятся, как 1 : 49. Площадь сечения, параллельного плоскостям оснований, равна полу сумме площадей оснований. Как относятся объемы частей, на которые это сечение разделило усеченную пирамиду? Объем цилиндра 253. Бездымный порох изготовляется в виде цилиндра, в котором 7 цилиндрических каналов с осями, параллельными оси цилиндра, и радиусами, в 11 раз меньшими радиуса цилиндра (рис. 73). Какая часть пороха сгорит после того, как горение перестанет быть прогрессивным? 100 254. Корыто полуцилиндрической формы наполнено водой. Какая часть воды выльется, если корыто наклонить на 30° так, чтобы образующие цилиндра оставались горизонтальными? 255. Какой из вписанных в данную сферу цилиндров имеет наибольший объем? Объем конуса 256. А.В == 10 см и СВ •= 14 см— хорды основания конуса, вершина которого М. Плоскости МАВ и МАС наклонены к плоскости основания конуса под углами 30° и 45°. Определите объем конуса. 257. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса соответственно равны 5,10,13 см. Построены два конуса, у которых вершины — центры оснований усеченного конуса, а основания совпадают с основаниями усеченного конуса. Найдите объем общей части этих конусов. 258. Около треугольной пирамиды, у которой периметры боковых граней 180, 194, 196 см, описан конус. Зная, что высота конуса лежит на одной из боковых граней пирамиды, определите объем конуса. 259. Образующая конуса I. Какую наибольшую величину может иметь его объем? Объем тела вращения 260. Равносторонний треугольник периметра Р вращается вокруг прямой, которая находится в плоскости треугольника, проходит через его вершину вне треугольника под углом 15° к его стороне. Определите объем тела вращения. 261. Найдите объем тела, образованного вращением квадрата со стороной а вокруг прямой, которая находится в плоскости квадрата, проходит через его вершину вне квадрата под углом ст к стороне квадрата. 262. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 и 89 см, а диагонали относятся, как 41 : 50, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем тела вращения. 263. Найдите объем тела, образованного вращением ромба со стороной 15 см и отношением диагоналей 3 : 4 вокруг прямой, которая проходит в плоскости ромба через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба. 264. Равнобедренный треугольник с основанием 30 см и высотой 20 см вращается вокруг боковой стороны. Найдите объем тела вращения. Объем шара и его сегмента 265. Расстояние между центрами трех шаров, которые попарно касаются,— 6, 8, 10 см. Определите объемы этих шаров. 266. Четыре шара радиуса Л расположены так, что каждый касается остальных. Найдите объем шара, который касается всех этих шаров. 267. Найдите объем шара, вписанного в тело, образованное вращением прямоугольного треугольника с катетами 21 и 28 см вокруг гипотенузы. 268. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если отношение объема конуса к объему вписанного шара: а) 9 : 4; б) 8 : 8. 269. В цилиндр вписан конус, а в конус — шар. Объемы конуса и шара вместе составляют 40 % объема цилиндра. Найдите величину угла при вершине осевого сечения конуса. 270. В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее — шар. Зная, что объем шара в 24 раза меньше объема цилиндра, найдите плоский угол при вершине пирамиды. 271. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду, грани которой лежат на координатных плоскостях и ва плоскости 12з; + Зу + 42 — 24 == 0. 272. В шар вписаны равносторонний цилиндр и равносторонний конус. Докажите, что У^,== -\/Ущ • Уу . 273. Около шара описаны равносторонний цилиндр и равносторонний конус. Докажите, что Уц == "УКи • у» • 274. Докажите, что объем шарового сегмента равен яй2 (л — -з- )> где и —
радиус шара, а Н — высота сегмента.

275. В конус, у которого радиус основания 6 см, а образующая 10 см,
вписан шар. Через линию касания этих тел проведена плоскость. Найдите
отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит шар.

276. Шар радиуса 9 см плавает в воде, высота выступающей из воды части 6
см. Найдите плотность материала, из которого сделан шар.

277. Сосуд в форме полушара наполнен водой. Какая часть воды выльется,
если сосуд наклонить на: а) 30°; б) 45°?

278. Высота равностороннего конуса равна Н и является диаметром шара.
Найдите объем той части шара, которая лежит вне конуса.

Площадь поверхности цилиндра

279. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Боковые ребра
являются осями цилиндрических поверхностей

радиуса -^-. Вычислите площадь поверхности тела, ограниченного
названными цилиндрическими поверхностями и основаниями призмы.

102

280. В цилиндр вписана четырехугольная призма, у которой периметры
боковых граней 30, 45, 56, 64 см. Зная, что одно из диагональных сечений
призмы содержит ось цилиндра, найдите площадь полной поверхности
цилиндра.

281. Длина ребра куба а. Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали
куба. Каждая окружность основания цилиндра касается трех граней куба.
Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.

Площадь поверхности конуса

282. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Площади их
полных поверхностей относятся, как 7 : 4. Найдите угол между образующей
и плоскостью основания конуса.

283. В конус вписана четырехугольная пирамида, у которой периметры
боковых граней 78, 94, 104, 112 см. Одно из диагональных сечений
пирамиды содержит высоту конуса. Найдите площадь поверхности конуса.

284. Квадрат АВСВ площадью 120 см2, согнув, поместили на поверхности
конуса. При этом диагональ АС совпала с образующей, а диагональ ВО
оказалась на боковой поверхности конуса и концы ее совпали (рис. 74).
Определите объем и площадь поверхности конуса.

285. Радиус полушара Н. На основании полушара построен конус, каждая
образующая которого делится поверхностью полушара в отношении 1 : 2,
считая от вершины. Найдите площадь поверхности этого конуса.

286. В сферу радиуса Л вписан конус наибольшего возможного объема.
Определите площадь поверхности этого конуса.

287. Радиус основания конуса Л. Сфера касается основания конуса и делит
каждую образующую конуса на три равные части. Найдите площадь
поверхности конуса.

Площадь поверхности шара

288. Ребро куба а. Найдите площадь сферы, которая проходит через все
вершины одной грани и касается параллельной грани куба.

289. В куб, длина ребра которого а, вписана сфера. Найдите площадь
сферы, которая касается вписанной сферы и трех граней куба.

290. Развертка боковой поверхности треугольной пирамиды — квадрат со
стороной а. Найдите площадь сферы, вписанной в эту пирамиду.

291. Докажите, что площадь сферической поверхности шарового сегмента 8
== 2этЛН, где Л — радиус шара, а Н — высота сегмента.

292. Высота правильного тетраэдра Н = 12 см. Точка, равноудаленная от
всех вершин тетраэдра, является центром сферы радиуса 4 см. Определите
площадь той части сферы, которая находится внутри тетраэдра.

293. Радиусы двух шаров а и 2а. Центр меньшего шара находится на
поверхности большего. Найдите объем и площадь поверхности общей части
этих шаров.

294. Около сферы описана правильная шестиугольная призма. Через боковое
ребро призмы проведена плоскость, разделившая призму на части с
отношением объемов 1 : 5. Как относятся площади частей, на которые эта
плоскость разделила сферу?

295. Около сферы описана правильная треугольная призма. Через боковое
ребро призмы проходит плоскость, которая делит призму на части с
отношением объемов 1 : 2. Как относятся площади частей, на которые эта
плоскость делит сферу?

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter