1.Мн-во операций над мн-вами
Мн-во – совокупность объектов, обладающих определенным св-вом.
Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов,
принадлежащих как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, A?B={2})
Объединением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов,
принадлежащих хотя бы одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5}
AuB={1,2,3,5}Разностью С двух мн-в А и В н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов
мн-ва А и не принадл. В(Разностью мн-ва целых чисел и мн-ва четных чисел
явл. Мн-во нечетных чисел) Если А подмн-во В, то разность В\А н-ся
дополнением А до В. Дополнением мн-ва А н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов
универсального мн-ва не принадлежащих мн-ву А.
2.Мн-во вещ.чисел, основные св-ва точных граней
Наиболее употребительные числовые мн-ва: N-мн-во натуральных чисел
Q-мн-во рациональных чисел R-мн-во вещественных чисел C-мн-во
комплексных чисел (Cегмент: [a,b]={x|a
7. Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними
Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует
номер N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е.
((A>0)((N=N(A))((n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной.
Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б.
Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ? (сколь бы
малым мы его ни взяли) существует номер N=N(?) такой, что при всех n>N
выполняется нер-во |An|0)((N=N(?))( (n>N):|An|0 найдется такой номер N, для любого n >N:(xn-a(N находятся в этой
(-окрестности.
9.Основные св-ва сход. Постей
Теорема «Об единственности пределов»
Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от
противного)
{xn} имеет два разл. Предела a и b, а(b. Тогда согласно определению
пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за
исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая
окрестность в точке b. Возьмем два радиуса (= (b-a)/2, т.к. эти
окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все
эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.
Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»
Пусть посл-ть {xn}(а ( >о N:(n>N(xn-a(N =>
что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству(xn(( c = max
{(a-((,(a+((,(xn(,…,(xn-1(}
Теорема «Об арифметических дейсьвиях»
Пусть посл-ть {xn}(a,{yn}(b тогда арифметические операции с этими
посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:
а) предел lim(n(()(xn(yn)=a(b
б) предел lim(n(()(xn(yn)=a(b
в) предел lim(n(()(xn/yn)=a/b, b(0
Док-во: а)xn(yn=(а+(n)((b+(n)=(a(b)+((n((n) Правая часть полученная в
разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в
левой части xn+yn имеет предел равный a(b. Аналогично др. св-ва.
б) xn(yn=(а+(n)((b+(n)=ab+(nb+a(n+(n(n
(n(b – это произведение const на б/м
а((n(0, (n(n(0, как произведение б/м.
=> поэтому в правой части стоит сумма числа а(b+ б/м посл-ть. По т-ме О
связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn(yn сводится к
a(b
10. Предельный переход в нер-вах.
11. Монотонные пос-ти
Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1x2>…>xn>xn+1>…;
невозр., если x1(x2(…(xn(xn+1(…
Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго
монотонными
Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере.
Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие
ограничены сверху.
12. Число е
Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) .
Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и
сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и
обозначается символом е(2,7128…
Док-ем формулу lim(n->?)(1+1/n)^n(в степени n)=е
1) yN монотонно растет
2) yN
противоречие
13. Th о вложенных промежутках
Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков
[a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…
Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:
1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]([an,bn],
(n=1,2,…;
2) Длины отрезков (0 с ростом n, т.е. lim(n(()(bn-an)=0. Посл-ть с
указанными св-вами наз-ют вложенными.
Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с
принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех
отрезков к которой они стягиваются.
14.Понятие ф-ии, способы задания, классификация
15.Предел ф-ии в точке(Гейне,Коши,правый,левый) Предел ф-ии на
бесконечности
16. Th о пределе ф-ии
17. Первый замечательный предел
Из рисунка видно, что площадь кругового сектора
,
Последнее утверждение:
18. Второй замечательный предел
lim(n(()(1+1/n)^n=e Док-во:
x(+( n x:n=[x] => n(x
((х)((х)(0 при х(х0
Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл.
понятие:
1) Если отношение 2-х б/м ((х)/((х)(0 при х(х0 то говорят что б/м (
имеет более высокий порядок малости чем (.
2) Если ((х)/((х)(A(0 при х(х0 (A-число), то ((х) и ((х) наз-ся б/м
одного порядка.
3) если ((х)/((х)(1 , то ((х) и ((х) наз-ся эквивалентными б/м
(((х)~((х)), при х(х0.
4) Если ((х)/(^n(х)(А(0, то ((х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно
((х).
Аналогичные определения для случаев: х(х0-, х(х0+, х(-(, х(+( и х((.
20. Б-б ф-ии, связь с б-м
Опр. Ф-ия y=f(x) называется бесконечно большой в точке а, если ее предел
в этой точке равен бесконечности. (f(x)-б-б)=lim(x->a)(f(x))=?
Свойства :Пусть y=f(x) и y=g(x) – бесконечно большие ф-ии в точке а.
Ф-ия ((х) имеет предел в точке а, отличный от 0
Ф-ия ((х) и ((ч) – бесконечно малые
Тогда справедливы следующие утверждения:
Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.
Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и
наоборот.
21.Сравнение б-м ф-ии, сравнение б-б ф-ии
22.Определение непрерывности в точке, на отрезке.
Опр1.Ф-ия у=f(x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0)(f(x))=f(x0)
Опр2.Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений
аргумента Х: х1,х2,х3….,хn,…. Сходящейся к Х0 соответствующая пос-ть
значений ф-ии: f(x1), f(x2),f(x3),….,f(xn),… сходится к числу f(x0),
т.е. (({xn}->x0, xn?X):{f(xn)}->f(x0)
Опр3. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ?>0 найдется
отвечающее ему положительное число ? такое что для всех х,
удовлетворяющих условию |x-x0|0, т.е. lim(?x->0)(
?y)=0
23.Th о сумме, разн, пр, частн непрер ф-ии
Th Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда ф-ии f(x)±g(x),
f(x)g(x),f(x)\g(x) также непрерывны в этой точке(для частно g(x0)?0)
Докво.Т.к. ф-ия f(x) непрерывна в точке х0, то lim(x->x0)(g(x))=g(x0).
Тогда по теореме о пределах ф-ии пределы ф-ии f(x)+g(x),f(x)g(x) b
f(x)\g(x) существуют и соответственно равны
f(x0)±g(x0),f(x0)g(x0),f(x0)\g(x0)(g(x0)?0).Но эти величины равны
соответствующим значениям ф-ии в точке х0.Следовательно, согласно
определению ф-ии f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)\g(x) непрерывны в точке х0
24.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода
Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками
разрыва ф-ии.
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва
1-го , и 2-го рода.
а) если в т-ке х0 ( оба односторонних предела, которые совпадают между
собой f(x0+)= f(x0-), но ( f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой
устранимого р-рыва.
Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так
чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию
положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др.
т-ках, то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 ( оба 1-стороних предела f(x0(), которые не равны
между собой f(x0+)(f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.
в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не ( или
бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.
25.Th об устойчивости знака непрерывной ф-ии
26.1 Th Больцано-Коши (th о прохождении ф-ии через нулевое значение при
смене знаков)
Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка
значение разных знаков f(a) f(b), то ( т-ка с((a,b),в которой ф-ия
обращается в0.
Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом
деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.
Пусть f(d)(0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков.
Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот
отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или
найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая
этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна
которых (a-b)/2^n(0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются
к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить,
что f(c)(0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой ( окрестности, т-ке с f
имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с
достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный
знак на концах этих отрезков.
27.2 Th Больцано-Коши(Th о прохождении непрерывной ф-ии через любое
промежуточное значение)
28.1 Th Вейерштрасса(Th об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии)
Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда
f(x) огран. на этом отрезке, т.е. ( с>0:(f(x)((c (x((a,b).
Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от
противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки
[a;c][c;b] f(x) неогр.
Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая
процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор.
оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех
отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка
[an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она
непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против.
Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно
большим 0.
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить
на др. пр-ки
29. 2 Th Вейерштрасса(Th о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих
точных граней)
Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом
отрезке, т.е. ( т-ка max X*:f(x*)(f(x) (x([a,b], т-ка min X_:f(x_)(f(x)
(x([a,b].
R
T
V
?
¶
T
V
¶
/) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это
мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при
х([a,b])=M(-(). Для опр. докажем [a,b] f(x)
достигает макс. на [a,b], т.е. ( х*:f(x)=M. Допустим противное, такой
т-ки не ( и сл-но f(x)
!0
(x([a,b]
Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в
правой части стоит “C”
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить
на др. пр-ки
30.Th о непрерывности сложной ф-ии
31.Th о непрерывности обратной ф-ии(без док-ва, примеры)
Пусть ф-ия y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором
промежутке Х и пусть У-множество ее значений. Тогда на множестве У
обратная ф-ии x=?(y) одназначна, строго монотонна и непрерывна.
32.Понятие производной
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Пусть
?x – приращение
аргумента в точке x0, а ?y=f(x0+?x)-f(x0)– соответствующее приращение
функции. Составим
отношение ?y/(поделить)?x этих приращений и рассмотрим его предел
при?x->0. Если указанный
, то есть
.
Операция вычисления производной называется дифференцированием, а
функция, имеющая
производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет
производную в
каждой точке интервала (a,b), то она называется дифференцируемой на этом
интервале.
33.Геометрический смысл производной
а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x),
дифференцируемой в
точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0(x0,y0) и M(x0+?x, y0+?y)
графика прямую l, и пусть
B(угол Бэтта) – угол ее наклона к оси х. Тогда (1)?y/(деленный)?x=tg
B(бэтта)
Рис. 13.
Если ?x стремится к нулю, то ?y также стремится к нулю, и точка M
приближается к точке M0, а
прямая l – к касательной l0(эль нулевая), образующей с осью x угол
?(альфа). При этом
равенство (1) принимает вид: (2) f ’(x0)=tg?’ откуда следует, что
производная функции в точке
равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
34.Понятие дифференцируемости ф-ии
дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке сможет быть
представлено в виде:
, А – const.
Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и достаточно, чтобы
в этой точке существовала производная.
Доказательство: (необходимость)
35.Непрерывность и диф.
36.Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с
помощью dy
Опр. Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но
?х, часть приращенная ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала
ф-ии используют символ dy.
– б.м. одного порядка малости.
**************
для независимых переменных.
37.Правила диференц суммы,разн,произв,частн
;
– постоянная;
;
;
находится по формуле
,
где индексы указывают, по какому аргументу производится
дифференцирование.
38.Вычислен производных элемент.ф-ий: x^n,nЄN,cos,sin,tg ,ctg,
loga(основание)Х(а>0,a?1,x>0)
39.Th о произв сложной ф-ии
Пусть:
– дифф. в точке y0 .
– дифф. в точке х0 .
– дифф. в точке х0 и справедлива формула:
Доказательство:
.
40.Производная ф-ий x^?, ?ЄR(прием логарифм. Диф)
41.Th о производной обратной ф-ии
Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует
в точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)
Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1
g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)
Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (???) в
(а,b) тогда ? обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно
отображает (а,b) в (???). Если f диф-ма в точке x0?(???) и f’(x0)?0, то
g диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN?y0, yN?y0 =>
? посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN
g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO ? 1/f’(xo)
при n????получили при xN?xO g(yN)-g(yO)/yN-yO?1/f’(xO) =>
g’(уO)=1/f’(xO)
42.Произв ф-ии: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a?1)
1) x??rcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при
условии, что Sin’y0, будет ?y:?x ?0, поэтому
При ?х при сравнении с ф-лой
приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако
теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм»
выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены.
Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+(x=b+> тогда ф-ла
(7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.
(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)
Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию
g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) ( (x-a)
Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) g(a)=g(b)=0
Все усл. Ролля соблюдены, поэтому ( т-ка С на (a,b) g‘(c)=0
g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных
приращений.
49.Th Коши(обобщенная формула конечн.приращен)
Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке
[a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом
промежутке g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c (
(a,b), что выполняется равенство (1)
Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ? 0,т.к. из
равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g'(х)
обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что
противоречит условию g'(х)?0. Образуем вспомогательную функцию:
К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема
в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в
соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить
непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c ( (a,b),
, такая, что F'(c)=0. Вычисляем:
Подставляем x=c:
После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) (0), мы
приходим к формуле (1)
50.Усл. монотонности ф-ии по интервалам(монотонной,строгомонот ф-ии)
51.Правило Лопиталя (без док-ва,примеры)
Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x(a)f(x)= lim(x(a)g(x), то
lim(x(a)f(x)/g(x)= lim(x(a)f‘(x)/g‘(x), когда предел ( конечный или
бесконечный.
Раскрытие (/(. Второе правило.
Если lim(x(a)f(x)= lim(x(a)g(x)=(, то lim(x(a)f(x)/g(x)=
lim(x(a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x((,x(-(,x(+(,x(a-,x(a+.
Неопред-ти вида 0(, (-(, 0^0, 1^(, (^0.
Неопр. 0(, (-( сводятся к 0/0 и (/( путем алгебраических преобразований.
А неопр. 0^0, 1^(, (^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x)
сводятся к неопр вида 0
52.Стационарные точки (достаточн.усл.экстремума)
53.Экстремум ф-ии, недиф. В данной точке.
Th пусть ф-ия f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с
за исключением,может быть,самой точки с.Тогда, если в пределах указанной
окрестности f’(x)>0 слева от точки с и f’(x)0 справа от точки с, то ф-ия имеет в точке с локальный
минимум.
Если ф-ия имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то
экстремума в точке с нет.
(док-во такое же как в вопросе «Стационарные точки, первое достаточное
условие локального экстремума)
54.Два достаточных условия экстремума.
55.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)
Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку
ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.
y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не
превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства
хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)(f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) (
x,x0((a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып.
ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и
вогнутой.
56.Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки)
Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся
т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная
меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет
локальный экстремум.
Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке
имеет т-ки графика по разные стороны.
57.Достаточное усл. Точек перегиба
58.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты.
В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви,
оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она
неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют
асимптотами.
в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен
бесконечности.
Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная
асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а
числитель не равен нулю.
********************
Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:
необходимо и достаточно существование конечных пределов:
Доказательство: Пусть:
Пусть:
Следовательно существует асимптота.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
