#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с
определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным
арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в
прос-ве R ”}Множ x(R” назыв открытым если весь Х лежит в R то для
любой точки (x(X ( ( >0 такая что U(x,() принадл Х любое открытое множ
содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл
пространству R” назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R” если
любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж
все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.}
Метрическим пространством называется пара (x,() состоящая из мн-ва Х и
действит не отриц функции ( опред на множ Х и удовл след св-вам 1
((x,y)=0 ( x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) ( x,y(X; 3) p(x,y)0 (n( =n(()(N тако что при n>n( выполн
нер-во /Хn-А/0 (n1 при n>n1 /xn-a/n1 для (2=b-r>0 ( n2 такое
что при n>n2 /xn-b/ xn>r при n>n2
пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn
док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть
последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон,
вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо
вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все
члены последовательности в нее попали, а это и означает что
последователь ность ограничена.
#4послед {xn} назыв б м п если lim(n(()xn=0 послед {xn} назыв б б п если
она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп
Док-во т.к {xn} ббп => ((>0 (n(=n(() такое что при n>n( вып
неравенство /xn/>1/( => 1//xn/n( = lim(n(() 1/xn=0
{T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а
{уn}- огранич => (M>0 такое что /уn/
{xn}- бмп =>(n(=n(() при n>n( /Xn/ при n>n(
/xnyn/=/xn/yn lim(n(()(xnyn)=0 чтд {Т} Если ?n0:??n>n0
aN?bN?cN и ??Lim aN=a, ??Lim cN=c, причем a=c, то ??Lim bN=b => a=b=c.
{Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда ? n’: ?n>n’ => cNn” => (a-E)
Если Lim xN=x, Lim yN=y, ?n0: ?n>n0 хN?yN, тогда x?y {Док-во} (от
противного): Пусть х>у => по определению предела ? n0’: ?n>n0’
|хN-х|
|хN-х|max{n0’, n0”} хN?(х-Е,х+Е)
& уN?(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: ?n>max{n0’, n0”} хN>yN –
противоречие с условием.
#5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т.
«а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется
пределом ф-ции при x(a если (E>0 ( (=((E)>0 : (x 00 ( (=((E)>0 | (x 00 ( (=((E)>0 : (x
0E {O limx(af(x)=-(} Если (E>0 ( (=((E)>0 : (x
00 ( (=((()>0 : (x |x|>(
вып |f(x)-A|0 ( (=((E)>0 : (x |x|>(
вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x)
ghb x(a+0(-0) называется число А / ((>0 ((=((()>0 при (x a(-()
при (x 00 | при
(x 00 ( ((=((E) >0 | при (x уд. 01/E (
1/f(x)
| при 0E ( 1/f(x) –бб при х(а {T} Сумма двух
б.м при x(a есть бм при x(a {Д} Пусть limx(af1(x)=0 limx(af2(x)=0 ((>0,
тогда ((1=(1(()>0 | при (х 00 | при
(x, 00 | (х (U(a,(1)( |g(x)|0 ( ( (2>0 | при (x,
00 ( ( завис от ( такое что ((()>0
такое что (х, 0/ /f(x)-A/ /((x)/=/f(x)-A/0 ( (>0 такая что (х удв 0/ /f(x)-A/=/((x)/ lim(х(а)f(x)=A {Арифмитические
операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х(а =А и
сущ lim(х(а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ
lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В(0 ; 1-e св-во тк
lim(х(а)f1(x)=A и lim(х(а)f2(x)=B => f1(x)=A+(1(x) f2(x)=B+(2(x)
где (1(2 бм ф-ии при х(а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+(1(2= A+B+((x)== где
((х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х(а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный
переход в неравенство} пусть lim(х(а)f1(x)=b1 lim(х(а)f2(x)=b2 и
b1
что (х(U(a,() /f1(x)-b1/ b1-c
(х(U(a1,(1) => f1(x)>f2(x) (o =min((1(2) =>(х(U(a1,(o) => f1(x)
00 т.к. ( limy(Ag(y)=B
( ((>0 |(y , 00 | |f(x)|(C(g(x)) (x ( E
f(x)=O(1) на E ( f(x) ограничена на Е т.е. ( С>0 | |f(x)|(C (x(E Пусть
ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за
исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при
x(a и пишут f(x)=o(g(x)), x(a , если в некоторой выколотой окрестности а
имеет место f(x)=E(x)g(x), где limx(fE(x)=0 x(=o(x), x(0 f(x)=og(x) ,
x(a E(x)=x h(x)=o(g(x)), x(a; ((x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) x(a
f(x) есть O-большое от g(x) при x(a, если ( U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a)
пишут f(x)=O(g(x)), x(a Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами x(a,
если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой
окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и
существует предел ( limx(af(x)/g(x)=1 пишут f(x)(g(x) x(a {Т} Для того,
чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно
f(x)=g(x)+o(g(x)) x(a g(x)(0 (x(a) {Док-во} Пусть f(x)(g(x) , x(a тогда
по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и ( limx(af(x)/g(x)=1 ( ( E(x),
E(x)(0 при x(a | f(x)/g(x)=1+E(x)( f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)),
x(a. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) x(a , g(x)+o(x+a)
f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limx(aE(x)=0 ( f(x)/g(x)=1+E(x) (
limx(af(x)/g(x)=1 ( f~g(x) x(a {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть
f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при x(a g(x)(0 в некоторой U(a) {O} Если
отношение f(x)/g(x) при x(a имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф-
ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само
является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при
x(a {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при
x(a, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при x(a
№9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если
(дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для (( >0 (
(=((()>0 такое что (h /h/0 такое что f(x)>c (x(U(a,()
((1)f(a)>0) f(x)0 тогда ( (>0 такое что (x(U(a() => /f(x)-f(a)/0 => /f(a)/=f(a)=>
(x(U(a() f(a)/2
(x(U(a() f(a)/2>f(x) => c = – f(a)/2 >0 => f(x)0 ( по теореме Больцана –Каши ( с((a,b) | ((c)=0 (
f(c)-C=0( f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на
этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках
этого отрезка минимального и мах значения ((.( ([a,b] | f(()=minf(x)
x([a,b]; f(()=maxf(x) x([a,b] f(()0 ((=((()>0 |
(x’,x’’(X,((x’,x’’)0 ((=( | (x’,x’’(R, |x’-x’’|0 тогда из непрерывности
ф-ии g(у) в т b следует что сущ число (>0 так что (у /у-b/0 ((х) опред на (а-(;а+() и (х((а-(;а+() => /f(x)-f(a)/ по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а
чтд.
#12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при (х(
[a,b] (у([A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=((y) также
непрерывна {Д} Пусть y0([A,B] ( x0=((y0), f(x0)=y0 x0((a,b) ; возьмём
(>0 столь малое, что [x0-(,x0+(]([a,b] Пусть y1=f(x0-() y2=f(x0+() Тогда
в силу строго возрастания ф-ции f (y((y1,y2)(x=((y)((x0-(,x0+() тогда
для у из [A,B] получаем [a,b] ( мы получили на нём (>0 удовлетв этому
условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | (у((у1,у2)
соответсвует ((y)((x0-(;x0+() Если это утверждение справедливо для мал (
то оно справедливо для +( ( ф-ция ( – непрерывна в т. н0 по определению.
{} Пусть у0=В ( х0=((y0)=b Возьмём (
|sinx|=0 (f=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh(0ax(ah-1)=0;
9)f(x)=logax a>0 a(1 непрерывна на (0,+() 10)arcsinx, arccosx – на всей
числ. пр.
#14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an}
составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn
назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп ( сумма
n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед
частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т
необход условие сходимости} если ряд (аn сход то lim(n(()an=0 док-во
если ряд (an сх то ( lim(n(()Sn=S=lim(n(()S(n-1) тогда lim(n(()an =
lim(n(()(Sn-S(n-1)) = lim(n(()Sn-lim(n(()(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий
Коши } Для сх-ти ряда ((n=1,()an ( (( >0 ( n( такое что при n>n( и (р(
Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/1 сход (=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=
1/2 ( для (=1/2 при ( n ( p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>( ( ряд
расх. Пусть (>1, (=2-1>0 расходится частичная сумма ряда
S2k=1+1/2(+(1/3(+1/4()+(1/5(+1/6(+1/7(+1/8()+…+(1/(2k-1+1)(+,,,+1/(2k)()
;
1/(n+1)(+1/(n+2)(+…+1/(2n)(>1/n(+1/n(+1/n(=n/n(=1/n(-1=1/n(m) Т.к. (lims(+(A’S((limn(+(A’n=m (
(limn(+(A=limn(+(An-n+Am ( (n=1+(an ряд сх. {Следствие} Если ряд
((1,+()an сх-ся и (n=((k=n+1,+()ak (limn(+((n=0 {Док} Пусть An=((1,n)ak,
A=limn(+(An ( A=An+(n((n=A-A1 ( limn(+((n=A-limn(+(An=0 {Т} Если ряды
((n=1,+()an и ((n=1,+()bn сх-ся и (-число, то ((n=1,+()(an+bn) сх-ся и
((n=1,+()(an сх-ся {Д} Пусть Аn=((k=1,n)ak, Bn=(k=1nbk; A=limn(+(An,
B=limn(+(Bn; (limn(+((An+Bn)=A+B, (limn(+((An=(A Т.к.
An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда ((n=1,+()(an+bn) и
(An=(a1+…+(an- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.
#16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда ((n=1..()an и ((n=1..()bn
аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и ( no такое что при n>no аn
=>((k=1..()ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел
lim(n(() an/bn =k то; 1).0 (=1 ( no такое что при n>no an/bn
из сх (bn следует сходимость (an => (aк сходится 0no an/bn>k/2 (k1; k=+(
=> при n>no аn>(k/2)bn (k из расход (bn =>(аn расх =>(ак
а>bn (k=+() ( Утв.
#17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} (an an>0 n=1,2,3…
Если а(n+1)/an ряд сход если q>=1 ряд расх
{Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1) ((n=1,+()аn cх-ся Пусть
а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n(()an(0 =>ряд расход
{Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел:
(limn(+(an+1/an=k; 1)k1 ряд расх. {Док-во} k0
|k+(n0 an+1/an
(n=1+(an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд (an>0 кор n-ой
степ(аn)1 ряд расход
{cледствие} пусть ( lim(кор n-ой степ(аn))=k; k1 – ряд
расход
#18 {O} Знакопеременными рядами называют (n=1+((-1)n-1an, an>0{Т
Лейбница} пусть дан знакоперем ряд ((-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)( lim(k(()S2k+1=lim(k(()S2k=S; Из
вышесказанного следует (lim(n(()Sn=lim(n(()S2k = lim(k(()S2k+1=S
{Док-ть самим}
{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад
со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю
#19 Ряд (n=1(an –наз абс сход если сход ряд (|an|. Если (an – cх а (|an|
– расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если
ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд (n=1+(an
-абс сх ( (n=1+(|аn| -сх-ся ( по критерию Коши ((>0 (n(| при n>n( и (p(Z
p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|1 ряд (n=1+(an- расх {Т2} Если для посл-ности
(n(|an|; k=limn(+( n(|an|; при k1 ряд (n=1+(an-
расх.
#20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет
своим пределом число z0=x0+y0 Если для ((>0 ( n( | при n>n( вып
|zn-z0|0 (n( | при n>n( =|zn-z0|=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| ( при
n>n( вып. нер-во |xn-x0|0; lny=v(x)lnu(x);
y’/y=v’(x)lnu(x)+v(x)(u’(x)/u(x); y’=uv((v’lnu+v(u’/u);
(lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных
элементарных ф-ций} 1) y=Const (y=c-c=0(lim(x(0(y/(x((C)’=0 ; 2) y=sinx
(y’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/(1-x(
6)(arccosx)’=-1/((1-x() 7) (arctgx)’=1/(1+x() 8) (arcctgx)’=-1/(1+x() 9)
(lnx)’=1/x ; 10) (x()’=((x(-1
#27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x);
f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.)
существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой
окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая
сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и
наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О}
dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что
величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо
рассматривать как постоянный множитель при взятии производной
d(y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx(; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn
) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v’ +Cn2 u(n-2)v” + … +C1n u(n-k)v(k) +
uv(n) =(k=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!((n-k)! ,
0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = (k=0nCkn u(n-k)v(k) – бином Ньютона.
формула Лейбница доказывается по индукции.
#28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены
в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x))
которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что
x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также
имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0)
Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции
Ф’(x0)=y’t(t0)(t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0)
x’(t0)(0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то
Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’
x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0(t’x|x=x0=y’’tt(t0)(x’t(t0)-y’t(t0)(xtt’’(t0)/(x’t
(t0))
#29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет производную в точке с и
достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0.
Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке
с локальный максимум. По определению производной имеем
f’(c)=lim(x(((f(c+(x)-f(c))/(x ;Так как у нас f(c)>=f (x) (x(U(с), то
для достаточно малых (x> 0 ;(f(c+(x)-f(c))/(x откуда в пределе при (x(0
получим, что f’(с)=0 поэтому,
переходя к пределу при (x(0 в этом неравенстве, получаем, что
f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.
#30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непрерывна на [а, b],
дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c(0(а,b),
такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для
всех c((a, b) производная f'(c)=0.
Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна
на [а, b], то существует точка x1( [а, b], в которой f достигает
максимума на [а, b] и существует точка х2([а, b], в которой f достигает
минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка
[а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы
постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к
интервалу (а, b). Обозначим ее через c. В ней достигается локальный
экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x)
существует для всех х((а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{}
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия
теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c))
касательная в которой параллельна оси х.
#31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и
имеет производную на интервале (а,b). Тогда существует на интервале (а,
b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)
(а0 ; 2) limx(+(f(x)=limx(a+(g(x)=0; 3)Сущ(кон)
произв f’(x) and g’(x) на [c,+() g’(x)(0 ;4)( limx(a+(f’(x)/g’(x)=k
Тогда limx(a+(f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x(+((t(0 по условию 2)
limt(0f(1/x)= limt(0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt(0f’(1/t)/g’(1/t)=k (по т1
limx(a+(f(x)/g(x)= limx(a+(f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x)
опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx(a+0f(x)=+(; limx(a+0g(x)=+(; 3)
Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’(0 ; 4) Сущесвует
(конечн или нет) limx(a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx(a+0f(x)/g(x)=k
#34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в
т.х((a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x);
f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)(/2!+…+
f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом
Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)(/2!+…+
f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с
остаточным членом Лагранжа.
Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени
n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла
Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0),
Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен
получим
Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(
n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ;
P’’n(x)=2(A2+3(2(A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2
;Pn(n)=n((n-1)((n-2)(…(An; P(x0)=A0=f(x0);
Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)(/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!;
Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x)
Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (() x0 то limx(x0rn(n-1)(x)/(x-x0)=
limx(x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу
Лапиталя получим limx(x0rn(x)/(x-x0)n= limx(x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…=
limx(x0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 (rn(x)=o((x-x0)n),x(x0
#35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена.
1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x(/2!+…+xn/n!+o(xn),
x(0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx,
f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…;
f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим
sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x(0;
cosx=1-x(/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x(0;
4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)(,
f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1((k-1)!
Подставим в формулу Тейлора (
l(1+x)=x-x(/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x(0 ; 5)f(x)=(1+x)( f(0)=1,
f’(x)=((1+x)(-1, f’’(x)=(((-1)(1+x)(-2; f(k)(x)=(((-1)…((-k+1)(1+x)(-k
;f(k)(0)=(((-1)…((-k+1);
(1+x)(=1+((x+(((-1)x(/2!+…+(((-1)…((-n+1)xn/n!+o(xn), x(0
#36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на
(a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале
необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось
f’(x)>=0 (f’(x)0 (f’(x)0, тогда f(x0+(x)-f(x0)>=0; (x(0;
((y=0 ((y/(x=0 (f’(x0)=0 (f’(x)0, f’(c)>=0 (f’(c)=0 (f(x2)-f(x1)=f(x1) (f(x2)0 x((a,b) (f’(x)0
(f’(c)0 (f(x2)-f(x1)=f(x0) или f(x)=0 | ( x((x0,x0+(] f’(x)0), а (
x((x0-(,x0] f’(x)0) то х0 является экстремумом при этом для
x(((,x0+(); f’(x)>0,a для x((x0-(,x0) f’(x)0 то xo-мин. {До} Пусть для
x((x0-(,x0) f’(x)>0 для x((x0,x0+() f”(x)x0 ( x-x0>0 x00((f>0 ( f(x)
q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x1
тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во}
(x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0(x>x1(x2-x=x2-q1x
1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0(x1
{Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром.
кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) ( f’(x)-
возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1=0 (f’’(x)=0) {(.)
перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние
касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.)
х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой
перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой
перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она
равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет
вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору
с остаточным членом в форме Пеано:
f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)(/2!+((x)(x-x0)(, ((x)(0 при x(x0 ;
f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2((x))(x-x0)(/2! ; Если предположить что f’’(x)(0 то
т.к. ((х)(0 при х(х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти
аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) ( при переходе через т.
х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой
перегиба, а это противоречит условию ( f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие
(.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды
дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,() Если при
переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во}
Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; (
лежит между х и х0) =f’(()(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа ( леж ме/ду (
и х0)=(x-x0)(f’(()-f’(x0))=(x-x0)((-x0)f’’((); Т.к. т-ка ( лежит между
х0 их то т-ки х и ( лежат по одну сторону от т. х0 ((х-х0)((-х0)>0
поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’((); Т.к. т. ( лежит между
( и х0 то т-ки х и ( лежат по одну сторону от т. х0 ( Если при переходе
через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)-
также меняет свой знак ( х0-т. перегиба.
#39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция
f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b.
Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при
неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой
гаммы соответсвующей х(+( Аналогично при х(-({}Найдём расстояние до пр
L ((x)=|f(x)-ax-b|/((1+a() Т.к. прямая L –является асимптотой то
limx(+(((x)=0( limx(+((f(x)-ax-b)=0( limx(+((f(x)/x-a-b/x)=0(
limx(+((f(x)/x-a)=0( a= limx(+(f(x)/x ; b= limx(+((f(x)-ax). Для
отыскания асимтоты необходимо вычислить limx(+(f(x)/x если этот lim
несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х(+( нет. Если этот предел
существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть
функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и
если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx(х0-0f(x)=(
limx(х0+0f(x)=( то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.
#40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке
Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках
промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две
дифференцируемые ф-ци F(x) и ((x) были первообразными для одной и той же
ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const
{Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x)
((F(x)+c)’=F’(x)=f(x)(F(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и ((x) –
первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию ((х)=F(x)-((x) для неё
(’(x)=F’(x)-(’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2(X (по теореме Лагранжа
((х2)-((х1)=(’(c)(x2-x1)=0 т.е ((x2)=((x1) (((x)=c=const {T} Если F1(x)
и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b),
где C- некоторая постоянная.
#41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции
f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается
(f(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то (f(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва}
1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то (F’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если
ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого
промежутка d((f(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х
первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке
первообразную и выполнено равенство ((f1(x)+f2(x))dx=(f1(x)dx+(f2(x)dx
{д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x),
тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к.
(F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для
f(x), то (f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле
[1/aF(ax+b)]’=1/a(aF’(ax+b)=f(ax+b);
#42 Метод замены переменой в неоп(: Пусть f(x) определена и непрерывна
на соответствующем интервале и х=((t) –непрерывно дифференцируема ф-ция
на некотором интервале изменения t, тогда
(f(x)dx=(f(((t))(’(t)dt+C=(f(((t))d(((t))+C-ф-ция интегрирования замены
переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на
некотором промежутке Х и существует (U(x)V’(x)dx тогда существует
интеграл (V(x)(U’(x)dx=U(x)(V(x)-(U(x)(V’(x)dx –ф-ла дифференцирования
по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке
Х то по правилу дифференцирования произведения получим
(U(V)’=U’V+UV’(U’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл (UV’dx по
условию Если ( ((UV)’dx=UV+C то ((U’Vdx=((UV)’dx-(UV’dx=UV-(UV’dx+C (
производную постоянную к (U’Vdx=UV-(UV’dx; Пример
(exsinxdx=exsinx-(excosxdx=|U’(x)=ex
V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-(exsinxdx); (exsinxdx=exsinx-excox-(exsinxdx;
2(exsinxdx=exsinx-excosx( (exsinxdx=(exsinx-excosx)/2
#43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n
–корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1(…((z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть
а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)(Pn(z)=(z-a)m(Qn-m(z)( a-корень кр-ти m
многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный
коофицент, тогда Pn(x)(Pn(x) x(R По доказанному: Если комплексное число
а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена
той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным
многочленом(
Pn(x)=(x-a1)(1(…((x-ar)(r((x-z1)(1(…((x-zs)bs((x-zs)(s=(x-a1)(1(…((x-ar)
(r((x(+p1x+q1)(1(…((x(+psx+qs)(s; Pj(/4-qj0. Тогда подстановка
(Эйлера) t=((ax(+bx+c) +x(a (ax(+bx+c=t(-2xt(a+ax(; x=(t(-c)/2t((a)+b
–рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а0 (ax(+bx+c)>=0) то можно
сделать замену (ax(+bx+c=xt+(c {}{}
#45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация (R(cosx,sinx)dx
достигается подстановкой t=tg(x/2) (-(
мелкости |(|0 | limn((f((njo)=(
Рассмотрим сумму ((=(I=1i(f((I)(xi=f((io)(xjo
+(I=1i(f(()(xi=f((jo)(xjo+B Зафиксируем произвольным образом
(i([xi-1,xi] i(jo lim(((f,(1,…,(0n,..,(i()=lim(f((jo)(xjo+B)=( m>0
существует n0 | (((f,(1,…,(jo(n),…,(i()>m Отсюда (, что интегральная
сумма при мелкости разбеения |(|(0 не могут стремится ни к какому
конечному результату. Предположим, что ( I=lim|(|(0((((E>0 ((E>0 | ((,
|(|M (ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.
#47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению а(a
f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред
b(af(x)dx=-a(bf(x)dx {Св-во1} a(bdx=b-a действительно ф-ция f(x)(1 на
[a,b] по этому при любом разбиении ( и любом выборе (.) (i
f((i)=1(((=(i=1i(f((i)(xi=(i=1i((x1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xi(-x(-1)
=xi(-x0=b-a ( lim|(|(0((=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр
[a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место
равенство: a(b(f(x)+g(x))dx= a(bf(x)dx+ a(bg(x)dx {док} Пусть (={xi}
i=i( i=o (i([xi-1,xi] ,тогда
(E(f+g)=(i=1i((f((i)+g((i)(xi=(i(i=1f((i)(xi+(i(i=1g((i)(xi=(((f)+(((g)
Т.к. f и g – интегриремы на [a,b] то (lim|(|(0(((f)=a(bf(x)dx;
(lim|(|(0(((g)=a(bg(x)dx ; (lim|(|(0(((f+g)=a(bf(x)dx+a(bg(x)dx т.о.
ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство
a(b(f(x)+g(x))dx=lim|(|(0(((f+g)=a(bf(x)dx+a(bg(x)dx {Св-во №3}Пусть
ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного
числа ( ф-ция ((f(x) – интегрируема на отр [a,b] и имеет место
равенство a(b(f(x)dx=(a(bf(x)dx {Св-во 4} Пусть a
|f(x)|>M) Тогда 1/f(x) – также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x)
-интегр-ма на [a,b] и (х([a,b] f(x)(0 тогда( a(bf(x)dx(0
#48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m0, а при g(x)(0 a(bg(x)dx0. |f(x)|(С (x([a,b](|(F|=|x(x+(xf(t)dt|(С(|
x(x+(xdt|=С|(x| (lim(x(0(F=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2}
Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 ([a,b] ( F(x)=
a(xf(t)dt дифференцируема в (.) х0([a,b] и имеет место равенство
F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+(x([a,b] (F=F(x0+(x)-F(x0)= a(x+(xf(t)dt-
a(x0f(t)dt= a(x0f(t)dt+ x0(x+(xf(t)dt- a(x0f(t)dt= x(x0+(xf(t)dt
|(F/(t-f(x0)|=|1/(x|, x0(x0+(xf(t)dt-f(x0)/(x=|1/(x ( x0(x0+(x
(F(t)-f(x0))dt|(1/|(x|(| x0(x0+(xf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна
в х0 то для любого E>0 ( ((>0 |при|x-x0| 0 существует b0 где а 0 |
a((f(x)dx
a(bf(x)dx выполняется условие Коши. Так как |a(b’f(x)dx|( a(b’ |f(x)|
dx то после перехода к пределу при b'(b для абсолютно сходящегося
интеграла a(b f(x)dx получим |a(b f(x)dx|( a(b |f(x)| dx {Глав зн не соб
(}Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема
на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного -((+(f(x)dx
называется v.p. ((+(f(x)dx=lim((+( -((+(f(x)dx; Главное знач совпадает
со значением ((+( по этому гл. знач имеет смысл рассматривать
несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр.
[a,c-E],[c+E,b], E>0 Гл. зн. несоб. ( наз v.p. a(bf(x)dx=limE(0
(a(C-Ef(x)dx +C+E(bf(x)dx)
#56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна,
возрастает на [1;+() Тогда ((n=1,+()f(n) и 1(+(f(x)dx сходятся или
расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале
[1,+() то она интегрируема на люблм отрезке [1,(]([1,+() ( т.к. ф-ция не
возрастает на [1,+() то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k=k(k+1f(k+1)dx ( f(k)>= k(k+1f(x)dx>=f(k+1) (
((k=1,n)f(k){=Sn}>=((k=1,n){= 1(n+1f(x)dx}
k(k+1f(x)dx>=((k=1,n)f(k+1){=Sn+1-f(1); Sn>= 1(n+1f(x)dx>=Sn+1-f(1) ;
Если 1(+(f(x)dx сх ( (M>0 | ((([1;+() 1((f(x)dx
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
