Приложения производной

Лицей информационных технологий

Реферат

Производная и ее приложения

Выполнил: ученик 11А класса

Новиков А.

Проверила: Шекера Г.В.

г.Хабаровск

2004

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………….…3

1. Понятие производной……………………………………………………….………………….4

2. Геометрический смысл производной…………………….……………………….……..4

3. Физический смысл производной……………………………………………………….…….5

4. Правила дифференцирования………………………………………………………….……..6

5. Производные высших порядков……………………………………………………….……..7

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции……………………………..8

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции.

Достаточные условия экстремума функции………………..………………………….11

6.3 .Правило нахождения экстремума……………………………………………………..12

6.4.Точка перегиба графика функции………………………………………………………12

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика……………………..15

6.5. Касательная и нормаль к плоской кривой…………………………..………………..15

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной………………………………………….16

7.2. Применение производной в экономической теории…………………………..……..19

7.3. Использование производной для решения задач по экономической
теории….……21

8. Применение производной в физике…………………………………………………….…..23

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств…………………………….25

9.2. Применение производной в доказательстве тождеств………………………….……28

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических

и тригонометрических выражений……………………………………………….……29

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной……………………30

9.5. Применение производной в вопросах существования корней
уравнений………….31

Заключение………………………………………………………………………………………32

Список литературы……………………………………………………………………………..33

Введение

Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не
возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и
другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и
исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к
древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в
зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея
функциональной зависимости осознавалась интуитивно.

Уже в 16 – 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед
математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами
математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы,
отличные от методов элементарной математики.

B. Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы
произвольной природы.

В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается
изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось
оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников.
Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом
больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались
и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего
дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее
время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи
были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов
и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических
уравнений квадратных корней.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в
1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых
излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала,
объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику,
превратив ее в математику переменных величин.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические,
экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений,
включающих как параметры системы, так и скорости их изменения,
аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения,
содержащие производные, называются дифференциальными.

В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях
производной.

1. Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других
отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же
аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию,
которую называют производной функцией (или просто производной) данной
функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую
функцию f ‘ (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих
трех шагов:

1) даем аргументу x приращение ??x и определяем соответствующее
приращение функции ??y = f(x+??x) -f(x);

, который обозначаем через f ‘ (x), как бы подчеркивая тем самым, что
полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы
переходим к пределу.

Определение: Производной y ‘ =f ‘ (x) данной функции y=f(x) при данном
x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента
при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно,
этот предел существует, т.е. конечен.

при ??x(0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят,
что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не
дифференцируема в точке x=a.

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях
точки x0

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции –
точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)).
Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у;
tg?=?y/?x .

Так как АС || Ox, то (ALO = (BAC = ? (как соответственные при
параллельных). Но (ALO – это угол наклона секущей АВ к положительному
направлению оси Ох. Значит, tg? = k – угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х? 0. При этом точка В будет
приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.
Предельным положением секущей АВ при ?х? 0 будет прямая (a), называемая
касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

, по определению производной. Но tg( = k – угловой коэффициент
касательной, значит, k = tg( = f ‘(x0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в
любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя
скорость за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния,
пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t ? 0.

lim Vср (t) = ((t0) – мгновенная скорость в момент времени t0, ?t ? 0.

а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).

Итак, ((t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная
функции y = f(x) в точке x0 – это скорость изменения функции f (х) в
точке x0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной
функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости
от времени.

((t) = x'(t) – скорость,

a(f) = (‘(t) – ускорение, или

a(t) = x”(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно
найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

? = ?(t) – изменение угла от времени,

? = ?'(t) – угловая скорость,

? = ?'(t) – угловое ускорение, или ? = ?”(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно
найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) – масса,

x ( [0; l], l – длина стержня,

р = m'(х) – линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и
гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.
Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника
х”(t) + ?2x(t) = 0,

где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k – жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у” + ?2y = 0 называется уравнением гармонических
колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением
таких уравнений является функция

у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где

А – амплитуда колебаний, ? – циклическая частота,

?0 – начальная фаза.

4. Правила дифференцирования

Производная степенно-показательной функции

очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти
производную затруднительно.

и вычислим ее производную

(1)

. Из формулы (1) получаем

5. Производные высших порядков

, указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два
раза.

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную
второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем
производную третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько
производных высших порядков можно получить в случае произвольной
функции.

Например:

; …;

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании.
Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие –
переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное
количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков
выполняются для производных высших порядков.

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b),
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие
значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 >
x1.

Рис.1 (б)

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b)
функции f(x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют
одинаковые знаки.

График возрастающей функции показан на рисунке1(а).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ?
f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ).
Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ]
она сохраняет постоянное значение C

Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b )
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие
значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) x1.

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b )
функции f (x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют
разные знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство
f(x2) ? f(x1), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале
( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [
x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C.

Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале ( a, b )
функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную
производную.

Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале ( a, b ) функция
f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.

Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x0 до
x1, затем при возрастании x от x1 до x2 – возрастает, при дальнейшем
возрастании x от x2 до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую
функцию колеблющейся.

График колеблющейся функции показан на рисунке 3. Точки A, C, в
которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки
B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются
точками поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их абциссы
– критическими значениями аргумента x

В той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината
больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината
точки A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней
близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса которой равна x0,
больше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к
x0 : f (x0) > f (x0+?x).

На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная в интервале
( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она возрастает, на интервале [ x0 , x1 ]
– сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале
[ x1 , b ) – убывает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ),
значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f
(x).

Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто
максимумом.

Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f
(x0) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в
точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x,

принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .

Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .

В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината
меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и
слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и
достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке,
абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы
которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) достаточно малой окрестности точки x0 . Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) . По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x), а наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x). Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x0 . Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или экстремального значения). Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала. Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала. Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала [ x0, x3 ]. На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов. Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует. Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной. Рис. 6 На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной [f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x ? x0 и x x0 f’ (x) ????. Значит
касательная кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие
точки называются точками возврата кривой y=f(x).

Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0
экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке
x0 производная f’ (x) или равна нулю, или не существует.

Этот признак не является достаточным условием существования экстремума
функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций,
удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих
экстремума при x = x0.

Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта
функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные
условия экстремума функции.

Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b)
неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом
интервале.

Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет
неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в
этом интервале.

Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная
f ‘(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при
переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке
экстремум (максимум, если знак меняется с “+” на “-“, и минимум, если
знак меняется с “-” на “+”).

Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума
функции). Если в точке x0 первая производная f ‘(x) функции f(x)
обращается в нуль, а её вторая производная f ”(x) отлична от нуля, то в
точке x0 функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ”(x) > 0,
и максимума, если f ”(x) 0) где f(x) – ордината точки M кривой
y = f(x), y – ордината точки N касательной
y – y0 = f ‘(x0 )(x – x0 ) к данной кривой в точке A. (смотри рисунок
1, а, б).

Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала
(x0 – h, x0 + h), не совпадающей с x0, выполняется неравенство
f(x) – y 0),

то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).

Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале
(a, b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b),
то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой
кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.

Рисунок 2.

В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B
(рис. 2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к
кривой y = f(x). Пусть a и j – углы наклона касательных t1 и t2. Тогда
из рис. 2 видим, что j – внешний угол треугольника ECD, а поэтому он
больше угла a. Следовательно tg? > tg? или f ‘(x1 ) > f ‘(x2 ).

Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая
y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x
функция y = f ‘(x) убывает. Поэтому вторая производная f ”(x) функции
f(x), как производная убывающей фунции f ‘(x), будет отрицательна или
равна нулю в интервале (a, b): f ”(x)?0.

Рисунок 3.

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2
непосредственно видно, что tg? > tg? т.е. f ‘(x2 ) > f ‘(x1 ), а поэтому
в интервале (a, b) производная f ‘(x) возрастает. Тогда вторая
производная f ”(x) функции f (x), как производная возрастающей в
интервале (a, b) функции f ‘(x), будет положительна или равна нулю:
f ”(x)?0.

Докажем, что и наоборот, если f ”(x)?0 в некотором интервале (a, b),
то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если
f ”(x)?0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена
выпуклостью вниз.

   Запишем уравнение касательной y – y0 = f ‘(x0 )(x – x0 ) к кривой
y = f (x) в точке x0, где a  0 и кривая выпукла вниз,
а при x > 0   f ”(x)  0 при x0

– h

! h

thp

3/4

– h

! h

hoe

(

-ния на цену.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает равное
влияние величин полезности товара и затрат на его производства на
формирование цены. В основе рассматриваемого подхода – исследования А.
Маршалла.

Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И.
Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители,
имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и
полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение
тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную
полезность для конкретного потребителя.

В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта,
если в экономике существует n потребительских благ в объемах х1, x2,…
хn, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х1, x2,… xn).

. Они показывают, на сколько изменяется полезность всей массы благ,
достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении количества блага
i (i=1,2…n)

В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает полезность
не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен
сопоставить полезности наборов товаров.

Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный
вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось
прогрессирующее вытеснение понятия “предельная полезность” категорией
предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).

Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении
сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара
y товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того,
чтобы компенсировать потребительскую утрату единицы товара y.

Т.к. dy отрицательно, знак “-” вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой
безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по
абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой
безразличия.

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который
имеет аналог и на макроуровне.

Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на
потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как
правило, целиком используют его на потребление, так что размер
сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше
потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и
подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение
зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией
склонности к потреблению или функцией потребления.

С увеличением доходов MPS увеличивается.

, т.к. dY – результат, dL – затраты, то MPL – предельная
производительность труда.

MPk – характеризует предельную производительность капитала.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных
задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение: Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения
относительного приращения функции y к относительному приращению
переменной x при (x(0:

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов
изменится функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Можно привести и другие примеры использования производной при
фокусировке различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие
экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение
экономической интерпретации математических теорем.

7.2. Применение производной в экономической теории.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что
многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления,
спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических
теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если
дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего
или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то
производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: “Оптимальный для
производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных
издержек и предельного дохода”.

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если
MC(Qo)=MR(Qo), где MC – предельные издержки, а MR – предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R –
прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором
прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором
функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке
П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) – C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда
следует, что MR(Qo) = MC(Qo).

Другое важное понятие теории производства – это уровень наиболее
экономичного производства, при котором средние издержки по производству
товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит:
“оптимальный объем производства определяется равенством средних и
предельных издержек”.

, т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в
экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов – закон убывающей
доходности – звучит следующим образом: “с увеличением производства
дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса
(трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает”.

, где (y – приращение выпуска продукции, а (x – приращение ресурса,
уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности
формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска
продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция
полезности U= U(x), где х – товар, а U – полезность (utility). Эта
величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но
достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности
звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная
полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает.
Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности
является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей
полезности служит отправной точкой для математического исследования
теории спроса и предложения.

7.3. Использование производной для решения задач по экономической
теории.

Задача 1.

Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен
ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента.
Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может
превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут
наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения
функции У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на
концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки
максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день
минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на
предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию,
так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без
реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в
месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от
объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать
потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100
функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема
производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем
накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства
приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3.

Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара,
которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за
определенный период времени и при прочих равных условиях.

Производная меньше нуля, если P>=0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6),
т.е. при P1/2 спрос убывает все
быстрее.

Задача 4.

. Исследуем эту функцию с помощью производной.

, дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к
сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй
производной.

темп отрицательный

, а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка
убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении
цены.

Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим
график.

U'(p) + 0 – -0,47 –

U”(p) – – 0 +

U (p) возрастает

выпукла 0,3

max убывает

выпукла 0,2 точка перегиба убывает

вогнута

Вывод:

На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.

график перегибается (см. на рисунке):

8. Применение производной в физике

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших
или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.

Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее
конец находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница
начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли
с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от
стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится
на высоте 2м?

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте
y(0)= 4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.

,так как движение равноускоренное.

;

Задача 2

Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь
так, что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 – 2/3t. (m
изменяется в граммах, t – в секундах). Через сколько времени после
начала падения кинематическая энергия капли будет наибольшей?

=0 t1=0 t2=1 (t>0)

При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно
кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.

Задача 3

Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним
сопротивлением r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему
должно быть равно сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им
мощность была наибольшей?

P’(R) = 0 : r – R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R)
принимает наибольшее значение. Следовательно, потребляемая мощность
будет наибольшей при сопротивлении R =50 Ом.

Ответ: 50 Ом

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств.

Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств
основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и
знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:

монотонно убывает.

Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:

Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием
этих теорем.

верно.

(2)

неравенство (2) справедливо.

(3).

, в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.

(4).

верно. Значит неравенство (4) верно.

(5).

Тогда

. Неравенство (5) верно.

. Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):

) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи
применить указанный прием несколько раз.

(6).

Рассмотрим функцию

т.е. мы получили неравенство:

(7).

(8),

Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения
истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим
утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:

Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого
найдем производную:

9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.

Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться
одним очевидным замечанием:

Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее
производная на этом интервале постоянно равна нулю:

Задача 1. Проверить тождество:

(1)

Доказательство: Рассмотрим функцию

Вычислим ее производную (по х):

что равносильно тождеству (1).

Задача 2. Проверить тождество:

(2)

Доказательство: Рассмотрим функцию

Найдем ее производную:

,следовательно,тождество (2) верно.

В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении
постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по
которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить
возможно более простые выкладки.

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и
тригонометрических выражений.

Прием использования производной для преобразования алгебраических и
тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет
значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она
легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование
исходного выражения:

будем иметь:

Задача 2. Упростить выражение:

, будем иметь:

Задача 3. Упростить запись функции:

(2)

Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к
относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться
производной:

Задача 4. Упростить запись многочлена:

(3)

и найдём последовательно первую и вторую производные этой функции:

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.

Задача 1. Разложить на множители выражение:

(1)

, будем иметь:

(2)

Задача 2. Разложить на множители выражение:

(3)

и будем иметь:

получим:

Задача 3. Разложить на множители выражение:

постоянными, получим:

постоянными, будем иметь:

Таким образом исходное выражение (4) равно

9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.

С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение.
Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность,
нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство
монотонных функций:

имеет не более одного корня.

(1)

, положив

– возрастающая, так что данное уравнение (1) не может иметь более
одного решения.

имеет решения уравнение

(2)

Заключение

Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в
математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но
громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера
для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их
кругозор и повысит интерес к производной.

Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в
точке с абсциссой x0.

Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0
– это скорость изменения функции f (х) в точке x0

Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность
изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или
относительно другого исследуемого фактора.

Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости
по известной функции координаты от времени, ускорения по известной
функции скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших
величин.

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа,
позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических
понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью
математических формул.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то
есть при исследовании предельных величин (предельные издержки,
предельная выручка, предельная производительность труда или других
факторов производства и т. д.).

Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе
базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения
оказываются прямыми следствиями математических теорем

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по
экономической теории, физике, алгебре и геометрии.

PAGE

PAGE 32

Рис.5

Рис.2 (а)

–

Е’

–

E’

Рис.4 (б)

Рис.4 (а)

Рис. 3

Рис.2 (б)

f(x)

C(t)

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter