.

Приближенное решение уравнений

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
1 500
Скачать документ

Управление образования администрации г. Норильска средняя школа №36

Научная работа по математике

тема : “Приближенное вычисление корней в уравнениях”.

Выполнили: Мамедалиева Ирада и

Павлова Галина

ученицы 11″А” класса

средней школы №36

Научный руководитель:

учитель математики

средней школы № 36

Крайняя В.В..

Норильск 2000 г.

Содержание.

Введение.

Приближённое решение уравнений :

2.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).

Способ касательных (или способ Ньютона).

Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и
касательных).

Заключение.

Список литературы.

Приложение :

а) рисунок № 1

б) рисунок № 2

в) рисунок № 3

г) рисунок № 4

д) рисунок № 5

е) рисунок № 6

ж) рисунок № 7

Приближённое решение уравнений.

Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения
алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в
XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и
выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных
степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому
имеют малую практическую ценность.

В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано,
что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при
помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого
простого по виду уравнения, как:

х^5-4х-2=0

Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения
уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения
уравнений – алгебраических и неалгебраических (или, как их называют,
трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее
заданной степенью точности, что для практических целей вполне
достаточно.

На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти
о вычислении действительных корней.

Пусть нужно решить уравнение:

f(x)=0
(1)

Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет
собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)

C осью Ох (рисунок №1)

С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся
установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого
корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого
рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы,
отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью.
Об этом и пойдёт речь.

Итак, пусть корень Е уравнения (1) “зажат” между двумя его приближениями
а и b по недостатку и по избытку а< E0, f“(х)>0 (рисунок №3), – в
остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1
лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем
с отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом для нового приближённого
значения корня получаем:

x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)

( в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1 ); значение x2 оказывается
между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое
x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим
последовательность а0

Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):

х1=1-91,7-1)* f(1)/ f(1,7)- f(1)=1,588;

так как f(1,588)=-0,817<0, то, применяя вторично способ хорд к промежутку (1,588; 1,7), найдём второе приближённое значение корня:х2= 1,588-(1,7-1,588) f(1,588)/ f(1,7)- f(1,588)=1,639;f(1,639)=-0,051<0.Теперь найдём третье приближённое значение:х3=1,639-(1,7-1,639) f(1,639)/ f(1,7)- f(1,639)=1,642;f(1,642)=-0,016<0.Теперь найдём четвёртое приближённое значение:х4=1,642-(1,7-1,642) f(1,642)/ f(1,7)- f(1,642)=1,643;f(1,643)=0,004>0

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

2.2 Способ касательных (или способ Ньютона).

В том из концов дуги АВ (рисунок №5), в котором знаки f(х) и f“(х)
совпадают, проводим касательную и за первое приближённое значение корня
принимаем абсциссу х1` точки Д пересечения этой касательной с осью Ох.
Обратимся вновь к первому случаю, соответствующему первому рисунку №2
(f`(x)>0, f“(x)>0), – в остальных случаях рассуждают опять-таки
аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид:

y-f(b)=f`(b)(x-b),

и поэтому в точке Д:

-f(b)=f`(b)(x1`-b),

откуда:

x1`=b-f(b)/f`(b).

Из рисунка видно, что x1` лежит между Е и b. С отрезком [a, x1`]
поступаем так же, как с отрезком [a, b] ( рисунок №5), и в результате
для нового приближённого значения корня получим:

х2` = x1`- f( x1`)/ f`( x1`).

Значение х2` оказывается между Е и x1`. Рассматриваем отрезок [a, х2`] и
находим новое приближение х3` и т. д. В результате получим
последовательность:

b> x1`> х2`> х3`>…>xn`>…>E (7)

все более точных приближённых значений корня, причём:

xn+1`= xn`- f(xn`)/ f`( xn`) (8)

Эта формула справедлива для всех четырёх случаев, изображённых на
рисунке 32. Для оценки погрешностей полученных приближений можно опять
воспользоваться формулой (5), как и в первом случае, легко
устанавливается сходимость последовальности x1`, х2`, х3`,…,xn`,… к
значению Е

Пример №2. Методом касательных найдём положительный корень уравнения

x^4-2x-4=0

с точностью до 0,01.

Решение:

В этом уравнении f(х)=х^4-2x-4, f`(х)=4х^3-2,а f“(х)=12x^2.Так как f(х)
и f“(х) при х0 = 1,7 имеют один и тот же знак, а именно:

f(1,7)=0,952>0 и f“(1,7)>0, то применяем формулу:

x1`= х0- f(х0)/ f`( х0), где f`(1,7)=4*1,7^3-2=17,652. Тогда

x1=1,7- 0,952/17,652=1,646.

Применяем второй раз способ касательных:

х2= x1- f(x1)/ f` (x1), где f(x1)= f(1,646)=0,048, f` (1,646) =15,838;

x^2=1,646-0,048/15,838=1,643;

f(1,643)=0,004, f` (1,643)=15,740;

х3=1,643-0,004/15,740=1,6427.

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

2.3 Комбинированный способ

(комбинированное применение способов хорд и касательных).

Этот способ состоит в одновременном использовании способов хорд и
касательных. Остановим своё внимание опять на случае, отвечающем первому
рисунку №2. Значения x1 и x1`, вычисляем по прежним формулам, т. е.
принимаем:

x1=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a),
(10)

x1`=b-f(b)/f`(b), причём: x10 изображён на
рисунке №7. Из этого рисунка видно, что уравнение имеет положительный
единственный корень, лежащий на отрезке 10,f“(x)>0 т.
е. знак производных сохраняется. Применяем комбинированный способ:

f(a)=f(1)=-0,2, f(b)=f(1,1)=0,31051, f`(b)=f`(1,1)=6,3205.

Формулы (10) дают:

x1=1+0,1*0,2/0,51051=1,039,

x1`=1,1-0,31051/6,3205=1,051

При этом x1`- x1=0,012, т. е. точность недостаточна. Совершаем второй
шаг:

f(1,039)=-0,0282;f(1,051)=0,0313,f`(1,051)=5,1005.

По формулам(11):

х2=1,039=0,012*0,0282/0,0595=1,04469,х2`=1,051-0,0313/5,1005=1,04487.

При этом х2`- х2=0,00018, т. е. точность достаточна. Таким образом:

1,04469

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019