Управление образования администрации г. Норильска средняя школа №36
Научная работа по математике
тема : “Приближенное вычисление корней в уравнениях”.
Выполнили: Мамедалиева Ирада и
Павлова Галина
ученицы 11″А” класса
средней школы №36
Научный руководитель:
учитель математики
средней школы № 36
Крайняя В.В..
Норильск 2000 г.
Содержание.
Введение.
Приближённое решение уравнений :
2.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
Способ касательных (или способ Ньютона).
Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и
касательных).
Заключение.
Список литературы.
Приложение :
а) рисунок № 1
б) рисунок № 2
в) рисунок № 3
г) рисунок № 4
д) рисунок № 5
е) рисунок № 6
ж) рисунок № 7
Приближённое решение уравнений.
Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения
алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в
XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и
выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных
степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому
имеют малую практическую ценность.
В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано,
что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при
помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого
простого по виду уравнения, как:
х^5-4х-2=0
Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения
уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения
уравнений – алгебраических и неалгебраических (или, как их называют,
трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее
заданной степенью точности, что для практических целей вполне
достаточно.
На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти
о вычислении действительных корней.
Пусть нужно решить уравнение:
f(x)=0
(1)
Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет
собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)
C осью Ох (рисунок №1)
С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся
установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого
корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого
рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы,
отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью.
Об этом и пойдёт речь.
Итак, пусть корень Е уравнения (1) “зажат” между двумя его приближениями
а и b по недостатку и по избытку а0, f“(х)>0 (рисунок №3), – в
остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1
лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем
с отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом для нового приближённого
значения корня получаем:
x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)
( в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1 ); значение x2 оказывается
между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое
x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим
последовательность а
Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):
х1=1-91,7-1)* f(1)/ f(1,7)- f(1)=1,588;
так как f(1,588)=-0,8170
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.
2.2 Способ касательных (или способ Ньютона).
В том из концов дуги АВ (рисунок №5), в котором знаки f(х) и f“(х)
совпадают, проводим касательную и за первое приближённое значение корня
принимаем абсциссу х1` точки Д пересечения этой касательной с осью Ох.
Обратимся вновь к первому случаю, соответствующему первому рисунку №2
(f`(x)>0, f“(x)>0), – в остальных случаях рассуждают опять-таки
аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид:
y-f(b)=f`(b)(x-b),
и поэтому в точке Д:
-f(b)=f`(b)(x1`-b),
откуда:
x1`=b-f(b)/f`(b).
Из рисунка видно, что x1` лежит между Е и b. С отрезком [a, x1`]
поступаем так же, как с отрезком [a, b] ( рисунок №5), и в результате
для нового приближённого значения корня получим:
х2` = x1`- f( x1`)/ f`( x1`).
Значение х2` оказывается между Е и x1`. Рассматриваем отрезок [a, х2`] и
находим новое приближение х3` и т. д. В результате получим
последовательность:
b> x1`> х2`> х3`>…>xn`>…>E (7)
все более точных приближённых значений корня, причём:
xn+1`= xn`- f(xn`)/ f`( xn`) (8)
Эта формула справедлива для всех четырёх случаев, изображённых на
рисунке 32. Для оценки погрешностей полученных приближений можно опять
воспользоваться формулой (5), как и в первом случае, легко
устанавливается сходимость последовальности x1`, х2`, х3`,…,xn`,… к
значению Е
Пример №2. Методом касательных найдём положительный корень уравнения
x^4-2x-4=0
с точностью до 0,01.
Решение:
В этом уравнении f(х)=х^4-2x-4, f`(х)=4х^3-2,а f“(х)=12x^2.Так как f(х)
и f“(х) при х0 = 1,7 имеют один и тот же знак, а именно:
f(1,7)=0,952>0 и f“(1,7)>0, то применяем формулу:
x1`= х0- f(х0)/ f`( х0), где f`(1,7)=4*1,7^3-2=17,652. Тогда
x1=1,7- 0,952/17,652=1,646.
Применяем второй раз способ касательных:
х2= x1- f(x1)/ f` (x1), где f(x1)= f(1,646)=0,048, f` (1,646) =15,838;
x^2=1,646-0,048/15,838=1,643;
f(1,643)=0,004, f` (1,643)=15,740;
х3=1,643-0,004/15,740=1,6427.
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.
2.3 Комбинированный способ
(комбинированное применение способов хорд и касательных).
Этот способ состоит в одновременном использовании способов хорд и
касательных. Остановим своё внимание опять на случае, отвечающем первому
рисунку №2. Значения x1 и x1`, вычисляем по прежним формулам, т. е.
принимаем:
x1=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a),
(10)
x1`=b-f(b)/f`(b), причём: x1
рисунке №7. Из этого рисунка видно, что уравнение имеет положительный
единственный корень, лежащий на отрезке 1
е. знак производных сохраняется. Применяем комбинированный способ:
f(a)=f(1)=-0,2, f(b)=f(1,1)=0,31051, f`(b)=f`(1,1)=6,3205.
Формулы (10) дают:
x1=1+0,1*0,2/0,51051=1,039,
x1`=1,1-0,31051/6,3205=1,051
При этом x1`- x1=0,012, т. е. точность недостаточна. Совершаем второй
шаг:
f(1,039)=-0,0282;f(1,051)=0,0313,f`(1,051)=5,1005.
По формулам(11):
х2=1,039=0,012*0,0282/0,0595=1,04469,х2`=1,051-0,0313/5,1005=1,04487.
При этом х2`- х2=0,00018, т. е. точность достаточна. Таким образом:
1,04469
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
