.

Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
1 894
Скачать документ

на тему:

“Об интегральных формулах Вилля-Шварца

для трехсвязных областей и ее применение

к краевым задачам Дирихле”.

Оглавление.

Введение.

§1. О задачах Дирихле.

а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона (классическая
формулировка).

б) Обобщенная задача Дирихле

в) Видоизмененная задача Дирихле.

г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей.

д) Общая формулировка задачи Дирихле.

е) Задача Неймана.

§2. О задачах Шварца-Пуассона.

а) Интеграл Шварца для круга.

б) Интегральная формула Пуассона.

в) Интеграл Пуассона для внешности круга.

г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.

д) Задача Дирихле для кругового кольца.

§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового
кольца (1912).

а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля.

(u)).

§4. О некоторых изменениях теории конформного отображения к краевым
задачам.

а) Об структурном классе интегральных представлений.

б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей.

в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение задачи
Дирихле для соответствующих областей.

§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле для заданных
областей.

§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных
трехсвязных областей.

Литература.

Введение.

В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы
(классические представления) аналитических и гармонических функций в
заданных многосвязных областях.

(w).

Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового
кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца,
Кристофеля-Шварца и Чизотти для многосвязных областей.

В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического кругового
кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к решению
классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.

Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:

Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах
типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].

Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих
задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).

Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.

В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность
рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень
работ по данному исследованию (1 – 24).

(w) и задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности
кругов, для полуплоскости).

(u) для практического приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы
рассмотрели все варианты представления рядов данных функций (37) – (48)
по справочникам [19] – [22] специальных функций (а), б)).

Параграфы §4 – §6 – основное содержание самостоятельной работы автора:
рассмотрены применение теории комфорного отображения к краевым задачам –
решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).

В §5 – интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга, кругового
кольца и, наконец, §6 – интегральная формула
Чизотти-Шварца-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.

Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач и о
содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).

В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде и
параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и
однозначно.

Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями
курсовых работ и самостоятельной работы автора.

§1. О задачах Дирихле.

а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона

(классическая формулировка).

1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была
названа Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача
формулируется следующим образом.

.

Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал
установившегося движения несжимаемой жидкости, температура,
электромагнитные и магнитные потенциалы – все являются гармоничными
функциями.

Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит
определение температуры внутри пластинки при известных ее значениях на
контуре.

, а также смешанной задачи Дирихле-Неймана.

.

Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике. Различные
приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев И.А. и
Шабат Б.В. [1].

Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле
занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно
сводится основная задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи
кручения и изгиба в теории упругости. С нею же тесно связаны основные
задачи статистической теории упругости. Мы будем заниматься плоской
задачей, которая представляет для нас особый интерес как по обилию
приложений, так и по большей разработанности и эффективности методов
решения.

2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений
уравнения Лапласа

, (1)

которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с
частными производными второго порядка.

Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для
выделения одного определенного решения задают дополнительные условия,
так и для полного определения решения уравнения Лапласа требуются
дополнительные условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде
так называемых краевых условий, т.е. заданных соотношений, которым
должно удовлетворять искомое решение на границе области.

Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой
гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы
приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле:

).

К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание
температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в
некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе
области. К ней сводятся и краевые задачи других типов.

б) Обобщенная задача Дирихле.

, является слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную
задачу Дирихле [1]:

во всех точках непрерывности этой функции.

.

Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:

существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле.

Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи
Дирихле.

Можно доказать, что:

решение обобщенной задачи Дирихле существует.

решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом
Пуассона

) (2)

для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения
обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:

, (3)

– производная в направлении внутренней нормали к С,

,

, где имеет плюс.

Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области
D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е.
сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И
обратное верно.

Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача
Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с
помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.

в) Видоизмененная задача Дирихле.

с постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы
будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].

на этом множестве

, (4)

=1 – условие Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются
непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение
непрерывности.

г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].

, по граничному условию

u=f(t) на L, (5)

где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в случае
бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы она
оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне
определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.

в ряд.

)

.

Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая
задача, которая называется “видоизмененной задачей Дирихле”. Термин этот
введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].

Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле

для многосвязных областей.

, по следующим условиям:

Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S+;

2. она удовлетворяет граничному условию

(t) на L, (6)

, (7)

заменяются требованием ограниченности u(x,y) на бесконечности.

вполне определяются условиями самой задачи, если (произвольно)
фиксировать одну из них.

Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два
случая:

;

.

=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к другой.

=0).

д) Общая формулировка задачи Дирихле.

. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического
уравнения 2-го порядка, принимающего на перед заданные значения на
границе области, также называется задачей Дирихле, или первой краевой
задачей.

Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а затем
Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г решение задачи
Дирихле можно представить интегральной формулой

, (8)

, характеризуемой следующими свойствами:

3 или

2,

;

.

Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей
функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение
задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы
носят название формул Пуассона.

Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала –
теории гармонических функций.

Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо
интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона

, (9)

, при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в
некоторой ослабленной форме.

, для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется
ограниченность решения.

е) Задача Неймана.

Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так
называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:

, зная значения ее нормальной производной на границе С:

(10)

.

конечное число точек разрыва 1-го рода, функция и ее частные
производные первого порядка предполагаются ограниченными.

Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической
функции:

, то

, (11)

– дифференциал дуги.

Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо
выполнения соотношения

. (12)

z, > 0).

решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для
сопряженной гармонической функции.

, связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.

дает формула:

, (13)

где С – произвольная действительная постоянная.

, определяет, вообще говоря, многозначную функцию:

, (14)

:

. (15)

называются периодами интеграла (13) или циклическими постоянными.

носят название соответственно силовой функции и потенциала поля.

, представляющие собой регулярные решения системы Коши-Римана [6]:

(16)

. (17)

.

§2. О задачах Шварца-Пуассона.

а) Интеграл Шварца для круга

, известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:

) (18)

, для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.

:

. (19)

Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как вещественная

.

, имеет вид:

, (20)

.

б) Интегральная формула Пуассона.

Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри
круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно,
интегралом Пуассона:

, (21)

[9].

Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что

,

)

представима рядом:

(22)

:

мы получаем:

(23)

Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической
функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на
самой окружности.

в) Интеграл Пуассона для внешности круга.

и принимающую на самой окружности заданные значения [9]:

).

может быть представлена интегралом типа Пуассрна, который может быть
получен из (1).

,

, принимающую на его границе значения

.

представима интегралом Пуассона:

.

, то мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:

, (24)

переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается от ядра
интеграла Пуассона (1) только знаком.

Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду (22),
представляющей ее вне окружности:

. (25)

, то получим теорему Гаусса для внешности окружности:

, (26)

т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее
арифметическое значений на граничной окружности.

г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.

при помощи функции

перейдут в граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую
формулу в виде [1]:

) (27)

, имеем:

и окончательно имеем:

. (28)

д) Задача Дирихле для кругового кольца.

.

с вещественным коэффициентом:

. (29)

Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной
задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.

Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула
Вилля для кругового кольца [2], [3].

§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле

для кругового кольца (1912).

, ограниченное окружностями

,

0.

– две интегральные формулы Пуассона для заданных трехсвязных областей.

, то

,

(Шварц, 1869),

(Вилля, 1921), (96)

(Александров-Сорокин, 1972),

– интегральными формулами типа Пуассона.

окружностей [4].

– правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для
рассмотренных областей).

– являются быстро сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то
все рассмотренные интегральные формулы можно с успехом использовать и
для приближенного решения соответствующих граничных задач.

Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы
рассмотрели только задачу Дирихле.

Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями
задачи:

решения эллиптического уравнения

, (97)

условию

, (98)

и

– задача Дирихле;

совпадет с направлением по нормали.

Литература.

М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. “Методы теории функции комплексного
переменного”. М. 1965.

Х.Т.Тлехугов. “Формула Чизотти для кругового кольца”. Труды ВЦАН Груз.
ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222.

Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. “Формула Чизотти для многосвязных круговых
областей”. ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.

Х.Т.Тлехугов. “Формула Чизотти для (n+1) – связных бесконечных
областей”. Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.

И.А.Александров, А.С.Сорокин. “Задача Шварца для многосвязных областей”.
СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.

А.В.Бицадзе. “Основы ТАФКП”. М. 1984.

Н.И.Ахиезер. “Элементы теории эллиптических функций”. М. 1970, стр.9-34;
179-190; 224-229.

В.И.Смирнов. “Курс высшей математики”. т.3 часть вторая, изд. 6. М.
1956, стр.182-184.

Л.В.Канторович, Крылов. “Приближенные методы высшего анализа”. М.-Л.,
1962, стр.584-645.

Ф.Д.Гахов. “Краевые задачи”. М. 1977. изд. 3.

И.И.Привалов. “Граничные свойства аналитических функций”. М.-Л. 1950.

Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.

В.А.Змарович. “О структурных формулах теории специальных классов АФ”.
Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.

Х.Т.Тлехугов. “О применении формулы Чизотти к приближенному отображению
с особой нормировкой”. Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1.,
стр.21-24.

Х.Т.Тлехугов. “О приближенном конформном отображении методом
растяжения”. Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.

Х.Т.Тлехугов. “Применение формулы Чизотти к приближенному отображению”.
Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540.

Н.И.Мусхелишвили, Д.З.Авазошвили. “Сингулярные и интегральные
уравнения”. М. 1956.

С.Г.Михлин. “Интегральные уравнения”. ОГИЗ. М.-Л. 1947.

Бейтмен и Эрдейн. “Высшие трансцендентные функции”. М. 1967. стр.294.

Градштейн, Рыжик. “Таблицы интегралов и произведений”. М. 1962.
стр.931-935.

М.Абрамович, И.Стиган. “Справочник по специальным функциям”. М. “Наука”,
1979. стр.442-445.

Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. “Специальные функции”. М. 1968. стр.120-143.

Д.А.Квеселова, Х.Т.Тлехугов. “Формула Дини-Шварца для кругового кольца”.
Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219.

Н.И.Мусхелишвили. “Сингулярные интегральные уравнения”. М. 1962.
стр.245-269.

PAGE

PAGE 40

(40)

(47)

(53)

(54)

(55)

(56)

(59)

(71)

(86)

(88)

(89)

(92)

(95)

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020