на тему:
“Об интегральных формулах Вилля-Шварца
для трехсвязных областей и ее применение
к краевым задачам Дирихле”.
Оглавление.
Введение.
§1. О задачах Дирихле.
а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона (классическая
формулировка).
б) Обобщенная задача Дирихле
в) Видоизмененная задача Дирихле.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей.
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
е) Задача Неймана.
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга.
б) Интегральная формула Пуассона.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового
кольца (1912).
а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля.
(u)).
§4. О некоторых изменениях теории конформного отображения к краевым
задачам.
а) Об структурном классе интегральных представлений.
б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей.
в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение задачи
Дирихле для соответствующих областей.
§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле для заданных
областей.
§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных
трехсвязных областей.
Литература.
Введение.
В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы
(классические представления) аналитических и гармонических функций в
заданных многосвязных областях.
(w).
Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового
кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца,
Кристофеля-Шварца и Чизотти для многосвязных областей.
В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического кругового
кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к решению
классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.
Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:
Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах
типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].
Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих
задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).
Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.
В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность
рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень
работ по данному исследованию (1 – 24).
(w) и задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности
кругов, для полуплоскости).
(u) для практического приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы
рассмотрели все варианты представления рядов данных функций (37) – (48)
по справочникам [19] – [22] специальных функций (а), б)).
Параграфы §4 – §6 – основное содержание самостоятельной работы автора:
рассмотрены применение теории комфорного отображения к краевым задачам –
решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).
В §5 – интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга, кругового
кольца и, наконец, §6 – интегральная формула
Чизотти-Шварца-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.
Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач и о
содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).
В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде и
параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и
однозначно.
Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями
курсовых работ и самостоятельной работы автора.
§1. О задачах Дирихле.
а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона
(классическая формулировка).
1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была
названа Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача
формулируется следующим образом.
.
Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал
установившегося движения несжимаемой жидкости, температура,
электромагнитные и магнитные потенциалы – все являются гармоничными
функциями.
Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит
определение температуры внутри пластинки при известных ее значениях на
контуре.
, а также смешанной задачи Дирихле-Неймана.
.
Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике. Различные
приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев И.А. и
Шабат Б.В. [1].
Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле
занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно
сводится основная задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи
кручения и изгиба в теории упругости. С нею же тесно связаны основные
задачи статистической теории упругости. Мы будем заниматься плоской
задачей, которая представляет для нас особый интерес как по обилию
приложений, так и по большей разработанности и эффективности методов
решения.
2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений
уравнения Лапласа
, (1)
которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с
частными производными второго порядка.
Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для
выделения одного определенного решения задают дополнительные условия,
так и для полного определения решения уравнения Лапласа требуются
дополнительные условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде
так называемых краевых условий, т.е. заданных соотношений, которым
должно удовлетворять искомое решение на границе области.
Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой
гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы
приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле:
).
К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание
температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в
некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе
области. К ней сводятся и краевые задачи других типов.
б) Обобщенная задача Дирихле.
, является слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную
задачу Дирихле [1]:
во всех точках непрерывности этой функции.
.
Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:
существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле.
Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи
Дирихле.
Можно доказать, что:
решение обобщенной задачи Дирихле существует.
решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом
Пуассона
) (2)
для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения
обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:
, (3)
– производная в направлении внутренней нормали к С,
,
, где имеет плюс.
Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области
D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е.
сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И
обратное верно.
Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача
Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с
помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.
в) Видоизмененная задача Дирихле.
с постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы
будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].
на этом множестве
, (4)
=1 – условие Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются
непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение
непрерывности.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].
, по граничному условию
u=f(t) на L, (5)
где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в случае
бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы она
оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне
определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.
в ряд.
)
.
Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая
задача, которая называется “видоизмененной задачей Дирихле”. Термин этот
введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].
Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле
для многосвязных областей.
, по следующим условиям:
Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S+;
2. она удовлетворяет граничному условию
(t) на L, (6)
, (7)
заменяются требованием ограниченности u(x,y) на бесконечности.
вполне определяются условиями самой задачи, если (произвольно)
фиксировать одну из них.
Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два
случая:
;
.
=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к другой.
=0).
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического
уравнения 2-го порядка, принимающего на перед заданные значения на
границе области, также называется задачей Дирихле, или первой краевой
задачей.
Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а затем
Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г решение задачи
Дирихле можно представить интегральной формулой
, (8)
, характеризуемой следующими свойствами:
3 или
2,
;
.
Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей
функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение
задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы
носят название формул Пуассона.
Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала –
теории гармонических функций.
Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо
интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона
, (9)
, при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в
некоторой ослабленной форме.
, для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется
ограниченность решения.
е) Задача Неймана.
Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так
называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:
, зная значения ее нормальной производной на границе С:
(10)
.
конечное число точек разрыва 1-го рода, функция и ее частные
производные первого порядка предполагаются ограниченными.
Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической
функции:
, то
, (11)
– дифференциал дуги.
Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо
выполнения соотношения
. (12)
z, > 0).
решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для
сопряженной гармонической функции.
, связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.
дает формула:
, (13)
где С – произвольная действительная постоянная.
, определяет, вообще говоря, многозначную функцию:
, (14)
:
. (15)
называются периодами интеграла (13) или циклическими постоянными.
носят название соответственно силовой функции и потенциала поля.
, представляющие собой регулярные решения системы Коши-Римана [6]:
(16)
. (17)
.
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга
, известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:
) (18)
, для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.
:
. (19)
Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как вещественная
.
, имеет вид:
, (20)
.
б) Интегральная формула Пуассона.
Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри
круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно,
интегралом Пуассона:
, (21)
[9].
Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что
,
)
представима рядом:
(22)
:
мы получаем:
(23)
Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической
функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на
самой окружности.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
и принимающую на самой окружности заданные значения [9]:
).
может быть представлена интегралом типа Пуассрна, который может быть
получен из (1).
,
, принимающую на его границе значения
.
представима интегралом Пуассона:
.
, то мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:
, (24)
переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается от ядра
интеграла Пуассона (1) только знаком.
Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду (22),
представляющей ее вне окружности:
. (25)
, то получим теорему Гаусса для внешности окружности:
, (26)
т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее
арифметическое значений на граничной окружности.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
при помощи функции
перейдут в граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую
формулу в виде [1]:
) (27)
, имеем:
и окончательно имеем:
. (28)
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
.
с вещественным коэффициентом:
. (29)
Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной
задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.
Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула
Вилля для кругового кольца [2], [3].
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле
для кругового кольца (1912).
, ограниченное окружностями
,
0.
– две интегральные формулы Пуассона для заданных трехсвязных областей.
, то
,
(Шварц, 1869),
(Вилля, 1921), (96)
(Александров-Сорокин, 1972),
– интегральными формулами типа Пуассона.
окружностей [4].
– правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для
рассмотренных областей).
– являются быстро сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то
все рассмотренные интегральные формулы можно с успехом использовать и
для приближенного решения соответствующих граничных задач.
Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы
рассмотрели только задачу Дирихле.
Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями
задачи:
решения эллиптического уравнения
, (97)
условию
, (98)
и
– задача Дирихле;
совпадет с направлением по нормали.
Литература.
М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. “Методы теории функции комплексного
переменного”. М. 1965.
Х.Т.Тлехугов. “Формула Чизотти для кругового кольца”. Труды ВЦАН Груз.
ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222.
Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. “Формула Чизотти для многосвязных круговых
областей”. ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.
Х.Т.Тлехугов. “Формула Чизотти для (n+1) – связных бесконечных
областей”. Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.
И.А.Александров, А.С.Сорокин. “Задача Шварца для многосвязных областей”.
СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.
А.В.Бицадзе. “Основы ТАФКП”. М. 1984.
Н.И.Ахиезер. “Элементы теории эллиптических функций”. М. 1970, стр.9-34;
179-190; 224-229.
В.И.Смирнов. “Курс высшей математики”. т.3 часть вторая, изд. 6. М.
1956, стр.182-184.
Л.В.Канторович, Крылов. “Приближенные методы высшего анализа”. М.-Л.,
1962, стр.584-645.
Ф.Д.Гахов. “Краевые задачи”. М. 1977. изд. 3.
И.И.Привалов. “Граничные свойства аналитических функций”. М.-Л. 1950.
Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.
В.А.Змарович. “О структурных формулах теории специальных классов АФ”.
Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.
Х.Т.Тлехугов. “О применении формулы Чизотти к приближенному отображению
с особой нормировкой”. Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1.,
стр.21-24.
Х.Т.Тлехугов. “О приближенном конформном отображении методом
растяжения”. Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.
Х.Т.Тлехугов. “Применение формулы Чизотти к приближенному отображению”.
Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540.
Н.И.Мусхелишвили, Д.З.Авазошвили. “Сингулярные и интегральные
уравнения”. М. 1956.
С.Г.Михлин. “Интегральные уравнения”. ОГИЗ. М.-Л. 1947.
Бейтмен и Эрдейн. “Высшие трансцендентные функции”. М. 1967. стр.294.
Градштейн, Рыжик. “Таблицы интегралов и произведений”. М. 1962.
стр.931-935.
М.Абрамович, И.Стиган. “Справочник по специальным функциям”. М. “Наука”,
1979. стр.442-445.
Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. “Специальные функции”. М. 1968. стр.120-143.
Д.А.Квеселова, Х.Т.Тлехугов. “Формула Дини-Шварца для кругового кольца”.
Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219.
Н.И.Мусхелишвили. “Сингулярные интегральные уравнения”. М. 1962.
стр.245-269.
PAGE
PAGE 40
(40)
(47)
(53)
(54)
(55)
(56)
(59)
(71)
(86)
(88)
(89)
(92)
(95)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
