МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Нагоева Фатима Хазреталиевна
Дипломная работа
«О неопределенных бинарных квадратичных формах»
Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/У.М.Пачевв /
Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент
/ /
Допущена к защите
«_______» 2002г.
Зав. кафедрой
к.ф.м.н., доцент /А.Х. Журтов/
Нальчик 2002 г.
Оглавление
стр.
Введение 3
§1. Предварительные сведения о бинарных квадратичных 4
формах
§2. О периодах неопределенных бинарных квадратных
форм 13
§3. Об оценке сверху числа приведенных неопределимых
бинарных квадратичных форм 21
§4. О диагональных формах и оценке снизу числа
классов в ряде 27
Литература 35
Введение
суммой двух квадратов.
Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком
Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности,
он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была
доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного
дискриминанта. Затем эта теория была значительно расширенна Гауссом,
который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить
доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от
его предшественников в этой области.
Перейдем теперь к краткой характеристике содержания нашей работы,
посвященной некоторым вопросам теории неопределенных бинарных
квадратичных форм.
Вначале нашей работы приводятся предварительные общие сведения о
бинарных квадратичных формах. Во втором параграфе, посвященном периодам
неопределенных квадратичных форм поставлены и решены два вопроса о
двусторонних формах (теоремы 1,2). В третьем параграфе дается
элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных
неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта.
Наконец, в последнем параграфе устанавливаем, что диагональные формы
одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны (теорема
3) и применяем этот результат к оценке снизу для числа классов в каждом
роде неопределенных квадратичных форм (теорема 4).
§1. Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм.
В данном параграфе мы дадим те общие понятия и свойства, касающиеся
бинарных квадратичных форм, на которые будем опираться в дальнейшем
изложении.
Определение 1. Бинарной квадратичной формой называется однородный
многочлен второй степени от двух переменных, т.е. выражение вида
(1)
– вещественные числа.
так, что
, т.е.
.
целых чисел) более предпочтительной является запись вида (1).
являются целыми числами.
Мы будем в основном рассматривать только классические квадратичные
формы и называть их просто численными.
называются собственно эквивалентными, если существует линейная
подстановка переменных
(2)
, т.е. такая, что выполняется равенство
(3)
Из (3) и (2) следуют соотношения
(4)
.
.
Предложение 1. Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и
тот же дискриминант.
, при которых выполнены соотношения (4). Из них получаем
,
т.е. предложение 1 доказано.
Заметим, что обратное утверждение вообще говоря неверно, т.е. из того,
что бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант еще не
следует, что они эквивалентны. Следующий общий факт приведем без
доказательства.
Предложение 2. Отношение собственной эквивалентности бинарных
квадратичных форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности и
транзитивности.
.
.
Предложение 3. Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют
одно и то же множество целых чисел.
эквивалентны. Тогда существует унимодулярная целочисленная подстановка
переменных:
и, значит,
.
, получим
,
.
Предложение 3 доказано.
.
В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество
бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы
форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного
целочисленного преобразования переменных (2).
бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные
формы.
она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория
неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от
теории определенных форм и мы будем рассматривать в данной работе только
неопределенные формы.
вещественны, различны и иррациональны.
.
Определение 7. Неопределенная квадратичная форма
.
получаем
,
.
. Обратимся теперь к условиям
. Из них следуют
(*)
Аналогично имеем
(**)
. Тогда из неравенств (*) и (**) следуют
.
. Наконец, покажем, что
.
.
Обратно, система неравенств
называется приведенной, если
или
Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.
собственно эквивалентна некоторой приведенной форме.
Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби,
а в [2] понятие соседней формы.
, т.е.
и несобственно примитивной, если
. В остальных случаях форма называется не примитивной.
называется порядком форм.
не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то
порядок состоит из нескольких классов.
)- несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются
собственно примитивными и несобственно примитивными.
Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных
приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.
Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм
с заданным дискриминантом конечно.
Доказательство см. [2,п.185].
§2. О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений
Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается
от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс
первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с
положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных
задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные
свойства периодов неопределенных форм.
Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой
теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см.
[1,2]).
-некоторое целое число.
.
.
Из определения соседних форм непосредственно следует
Предложение 1. Соседние формы собственно эквивалентны.
.
различны между собой.
.
Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их
определения (см. [2]).
,… представлены следующим образом
все будут положительны.
Отсюда получается следующее свойство периодов.
всегда четно.
Доказательство предложения 3 см. [1,2].
.Именно, этот период будет таков:
.
Отсюда получается следующее свойство периодов.
Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные
формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.
Доказательство (см. [2] разд. V, п.187) основано на том их свойстве,
что периоды либо совпадают либо они попарно не пересекаются и каждая
форма попадет только в один из периодов.
разбиваются на следующие шесть периодов:
;
;
;
;
;
.
Видим что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в
периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.
Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние
формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл
различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных
бинарных квадратичных форм.
в смысле композиции классов.
).
Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным,
называется двусторонним классом.
Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается
Предложение 5. Каждая форма двустороннего класса несобственно
эквивалентна самой себе.
>
@
V
$
&
(
*
,
6
V
X
o
&??ETHa
4
@
Z
r
Ue
a
ae
–
J
t
ae
o
??
?????????????-????????????-????-??
„@
„?^„@
Y
j
j
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
??????
.
несобственно эквивалентна самой себе.
Предложение 5 доказано.
, называется двусторонней.
Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении
двусторонних классов.
Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере
одна двусторонняя форма.
Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта
содержатся две и только две приведенные двусторонние формы.
Доказательство этих предложений имеются в [1,2].
Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа.
Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит
некоторому двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема
Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому
двустороннему классу .
подстановкой
– двусторонний класс.
Теорема 1 доказана.
В связи с предложением 7 возникает еще следующий вопрос: могут ли быть в
периоде форм двустороннего класса приведенные двусторонние формы
соседними друг другу? Следующее утверждение дает необходимое условие
того, что двусторонние приведенные формы будут соседними.
.
.
Теорема 2 доказана.
следующие четыре периода по две соседние двусторонние формы
.
Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние
формы будут соседними в очень малом числе случаев и в большинстве
случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда
приведенные двусторонние формы будут соседними по-видимому является
очень трудным и мы его не рассматриваем.
§3. Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных
квадратичных форм.
О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о
числе классов неопределенных квадратичных форм известно очень мало. Для
числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле.
Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому
математику Зигелю.
,
. Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства
функции числа положительных делителей натурального числа и мы их
приведем вначале.
.
.
Из этого предложения 1 легко выводится следующее
, то
.
Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории
чисел (напр. см. [4,6]).
делителя натурального числа имеет место неравенство
.
, и пусть
. Тогда ясно, что
. (1)
Но так как справедливо неравенство
, (2)
то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие
соотношения
.
Предложение 3 доказано.
имеет место неравенство
,
.
. Тогда имеем
.
.
.
, получим
.
Поэтому
.
, получим неравенство
.
Предложение 4 доказано.
в нужной для нас форме.
имеет место следующая оценка сверху
,
.
Доказательство. Имеем
.
. Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде
.
Оцениваем теперь сумму
,
.
Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического
анализа
,
где
есть так называемая постоянная Эйлера.
Предложение 5 доказано.
Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.
справедливо неравенство
,
.
,
.
. Тогда
.
Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим
.
Теорема доказана.
§4. О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде.
В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде
неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем
соответствующие понятия.
. В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так
называемого символа Лежандра.
, которое определяется следующим соотношением
Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам
понадобятся.
.
(свойство периодичности).
(свойство мультипликативности)
.
Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на
ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и
тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного
класса форм Гаусс понимает следующее.
имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть
или характером класса этой формы.
. Чтобы решить вопрос о точном числе родов Гаусс вводит в рассмотрение
операции композиции классов и композиции родов квадратичных форм. Не
вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе
родов и о числе классов в каждом роде.
определяется следующими условиями:
,
,
,
.
Теорема 2 (Гаусс). Каждый род собственно примитивного порядка содержит
одно и то же число классов, т.е.
,
-число родов.
Перейдем теперь после такого предварительного обсуждения к изложению
результатов данного параграфа. Следующая теорема устанавливает
существование неэквивалентных диагональных квадратичных форм данного
дискриминанта.
не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же
дискриминанта.
Доказательство. Допустим, что диагональная форма
(1)
собственно эквивалентна другой диагональной форме
(2)
.
Имеем
(3)
где
(4)
Подставляя (3) в (1), получим
.
была тоже диагональной, то
. (5)
перепишется в следующем виде
. (6)
, то
, (7)
или что то же самое
;
;
(8)
откуда с учетом (5), полученное соотношение (8) перепишется в виде
,
что противоречит условию (4).
Значит наше допущение о том, что диагональная форма эквивалентна другой
диагональной форме того же дискриминанта неверно.
Теорема 3 доказана.
Полученную теорему 3 можно применить к оценке снизу числа классов в роде
неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного
порядка.
выполнены условия:
,
в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство
.
равен
.
по условию имеем
.
в главном роде справедлива оценка снизу
.
В силу теоремы 2 Гаусса такая же оценка справедлива и для числа классов
всех остальных родов.
Теорема 4 доказана.
ЛИТЕРАТУРА.
Венков Б.А. Элементарная теория чисел. М-Л., 1937, с. 218
Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959, с. 978
Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. Изд-во «Мир»,
М., 1974, с. 187
Виноградов И.М. Основы теории чисел. Изд-во «Наука», М., 1972 с. 267
Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.,
«Наука», 1980, с. 144
Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966, с. 384
PAGE
PAGE 35
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
