МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Лакунова Залина
Дипломная работа
«О некоторых применениях алгебры матриц»
Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/В.Н.Шокуев /
Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент
/В.М.Казиев/
Допущена к защите
2002г.
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент
/А.Х.Журтов/
Нальчик 2002
Оглавление
стр.
Введение 3
§1. О правиле Крамера 4
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9
§3. Матричный вывод формулы Кардано 17
Литература 21
Отзыв
О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.
В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в
теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических
уравнений малых степеней.
В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых
квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства
некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом
основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь
попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем
геометрическом трех положительных чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических
уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он
опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой
З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут
быть допущены к защите.
Предварительная оценка – «хорошо»
д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА
/В.Н.Шокуев/
§1. О правиле Крамера
В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных
алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в
следующем.
(1)
Определитель которой отличен от нуля:
(2)
Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения
(3)
– матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),
(4)
– столбец (Матрица-столбец) неизвестных
– столбец свободных членов системы (1)
– ее решение)
,
имеет вид:
)
как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по
столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании.
Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об
определителе произведения матриц.
выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):
получим формулы Крамера:
)
(Правило Крамера)
-го столбца столбцом неизвестных:
(5)
равенств
,
столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв
определители от обеих частей в каждом равенстве:
имеем
.
).
имеем, используя два линейных свойства определителя:
-м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя
соответствующие свойства определителя, получим:
),
откуда и получаются формулы Крамера.
Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по
формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение
системы), производится одним из известных способов.
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.
Матрица вида:
– называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а
ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем
некоторые авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)
.
Прибавив первые две строки к третьей, получим:
.
из последней строки:
.
Так как
,
то
.
С другой стороны, по определению детерминанта имеем:
Следовательно, выполняется тождество
(1)
Имеет место следующее предложение.
Предложение 1. Уравнение
(2)
– вещественные положительные числа, не все равные между собой, то
(3)
между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1)
есть число положительное и, следовательно,
,
. (4)
; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех
положительных, не равных между собой чисел больше их среднего
геометрического).
f
h
i??
1/4
Ae
AE
E
TH
ha
ha
N
P
f
-AeAEi¤
¦
?
?
¬
AE
E
TH
??%?TH
o
j
???????µ? ???? ??
h?
a$gd‰~i
gd#ji
`„Aegd#ji
`„Aegd‚_K
vo
все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.
, и мы имели бы:
– противоречие.
равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем
,
откуда
.
Таким образом, доказано что уравнение
.
Предложение 2. Уравнение
.
между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения
(1), выполняется неравенство
.
Поэтому получаем
.
.
Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является
суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических
матриц (второго порядка)
– мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство
. (5)
Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,
делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное
также является суммой двух квадратов.
:
.
.
Предположим, что задача уже решена, т.е.
, (6)
. Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность
рассмотрения матричных равенств.
и
перемножив правые части этих равенств, получим:
отсюда имеем:
(7)
(8)
. (9)
.
. Тогда из тождества
,
– целое число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем:
и Предложение 4 доказано.
– целое, то, рассуждая как и выше, можем написать:
;
– целое. В этом случае
.
§3. Матричный вывод формулы Кардано
В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для
корней кубического произведения уравнения.
Пусть дано любое кубическое уравнение
. (1)
, поэтому
, и обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению.
. (2)
Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения
сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом,
равным 1, т.е. уравнения вида
, (3)
которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое
уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить
подстановку
, (4)
получим:
, т.е.
, (5)
неизвестное, мы видим, что решение любого кубического уравнения вида
, (6)
называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем
теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что
в силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта
третьего порядка имеет место тождество
, (7)
). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением
, (8)
т.е. положим
пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему
являются корнями квадратного уравнения
т.е.
и поэтому
(9)
определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7)
равносильно уравнению
и теперь получаем:
(10)
определяются из равенства
т.е.
(11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих
кубических радикалов.
Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.
ЛИТЕРАТУРА
Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления
бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.
Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г.
А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.
Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию
чисел. «Мир», М., 1980 г.
PAGE
PAGE 2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
