.

О некоторых применениях алгебры матриц

Язык: русский
Формат: дипломна
Тип документа: Word Doc
0 399
Скачать документ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова

Математический факультет

Кафедра геометрии и высшей алгебры

Лакунова Залина

Дипломная работа

«О некоторых применениях алгебры матриц»

Научный руководитель:

д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/В.Н.Шокуев /

Рецензент:

к.ф.-м.н.,доцент
/В.М.Казиев/

Допущена к защите
2002г.

Заведующий кафедрой

к.ф.-м.н.,доцент
/А.Х.Журтов/

Нальчик 2002

Оглавление

стр.

Введение 3

§1. О правиле Крамера 4

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9

§3. Матричный вывод формулы Кардано 17

Литература 21

Отзыв

О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».

Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.

В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в
теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических
уравнений малых степеней.

В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых
квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.

В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства
некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом
основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь
попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем
геометрическом трех положительных чисел.

В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических
уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он
опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).

Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой
З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут
быть допущены к защите.

Предварительная оценка – «хорошо»

д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА
/В.Н.Шокуев/

§1. О правиле Крамера

В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных
алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в
следующем.

(1)

Определитель которой отличен от нуля:

(2)

Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения

(3)

– матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),

(4)

– столбец (Матрица-столбец) неизвестных

– столбец свободных членов системы (1)

– ее решение)

,

имеет вид:

)

как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по
столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании.

Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об
определителе произведения матриц.

выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):

получим формулы Крамера:

)

(Правило Крамера)

-го столбца столбцом неизвестных:

(5)

равенств

,

столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв
определители от обеих частей в каждом равенстве:

имеем

.

).

имеем, используя два линейных свойства определителя:

-м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя
соответствующие свойства определителя, получим:

),

откуда и получаются формулы Крамера.

Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по
формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение
системы), производится одним из известных способов.

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.

Матрица вида:

– называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а
ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем
некоторые авторы называют также циркулянтом.

Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)

.

Прибавив первые две строки к третьей, получим:

.

из последней строки:

.

Так как

,

то

.

С другой стороны, по определению детерминанта имеем:

Следовательно, выполняется тождество

(1)

Имеет место следующее предложение.

Предложение 1. Уравнение

(2)

– вещественные положительные числа, не все равные между собой, то

(3)

между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1)
есть число положительное и, следовательно,

,

. (4)

; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех
положительных, не равных между собой чисел больше их среднего
геометрического).

f

h

i ? ?

1/4

Ae

AE

E

TH

ha

ha

N

P

f

- Ae AE i ¤

¦

?

?

¬

AE

E

TH

??%?TH

o

j

???????µ? ???? ??

h?

a$gd‰~i

gd#ji

`„Aegd#ji

`„Aegd‚_K

vo

все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.

, и мы имели бы:

– противоречие.

равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем

,

откуда

.

Таким образом, доказано что уравнение

.

Предложение 2. Уравнение

.

между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения
(1), выполняется неравенство

.

Поэтому получаем

.

.

Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является
суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических
матриц (второго порядка)

– мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство

. (5)

Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,
делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное
также является суммой двух квадратов.

:

.

.

Предположим, что задача уже решена, т.е.

, (6)

. Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность
рассмотрения матричных равенств.

и

перемножив правые части этих равенств, получим:

отсюда имеем:

(7)

(8)

. (9)

.

. Тогда из тождества

,

– целое число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем:

и Предложение 4 доказано.

– целое, то, рассуждая как и выше, можем написать:

;

– целое. В этом случае

.

§3. Матричный вывод формулы Кардано

В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для
корней кубического произведения уравнения.

Пусть дано любое кубическое уравнение

. (1)

, поэтому

, и обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению.

. (2)

Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения
сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом,
равным 1, т.е. уравнения вида

, (3)

которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое
уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить
подстановку

, (4)

получим:

, т.е.

, (5)

неизвестное, мы видим, что решение любого кубического уравнения вида

, (6)

называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем
теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что
в силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта
третьего порядка имеет место тождество

, (7)

). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением

, (8)

т.е. положим

пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему

являются корнями квадратного уравнения

т.е.

и поэтому

(9)

определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7)
равносильно уравнению

и теперь получаем:

(10)

определяются из равенства

т.е.

(11)

причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих
кубических радикалов.

Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.

ЛИТЕРАТУРА

Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.

Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления
бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.

В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.

Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г.

А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.

Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию
чисел. «Мир», М., 1980 г.

PAGE

PAGE 2

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019