Содержание
Введение…………………………………………………………………………………………3
§1. Предварительные сведения……………………………………5
§2. Основные факты………………………………………………………………8
§3. Теоремы Штурма……………………………………………………………18
Использованная литература…………………………………………27
Введение
Тема дипломной работы “Теорема Штурма”, связана с именем французского
математика Жака Шарля Франсуа Штурма.
Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение:
Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской
академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом
Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором
Политехнической школы в Париже.
Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической
тригонометрии при помощи пространственных координат.
Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя
данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier,
1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull.
mathem., 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной
премированной работе 1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857)
распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к
ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839
году и позже.
Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач
уравнений математической физики и связанной с этим задачей о
разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных
дифференциальных уравнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении
отличных от нуля решений дифференциальных уравнений :
-(p(t)u()(+q(t)u=(u,
удовлетворяющих граничным условиям вида:
А1u(a)+B1u((a)=0,
A2u(b)+B2u((b)=0,
(так называемых собственных функций), а также о нахождении значений
параметра ( (собственных значений), при которых существуют такие
решения. При некоторых условиях на коэффициенты p(t), q(t) задача
Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для
уравнения вида: -u((+q(x)u=(u).
Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph
Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.
Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней
алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный
правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы,
содержащие каждый по одному действительному корню данного
алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже
упоминалось выше).
Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике.
Штурм Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года.
§ 1. Предварительные сведения
Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто используемых в
математике и физике, следует выделить линейное уравнение второго
порядка, имеющее вид
u”+ g(t)u’ + f(t)u=h(t) (1.1)
или
(р (t) и’)’ + q (f) и = h(t). (1.2)
Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции
(t), g (f), h (f) и р (f) ?0, q (t), входящие в эти уравнения, являются
непрерывными (вещественными или комплексными) на некотором t-интервале
J, который может быть как ограниченным, так и неограниченным. Причина,
по которой предполагается, что р(t)??0, скоро станет ясной.
Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим,
поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде
(p(t) и’)’ + р(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3)
если определить p(t) следующим образом:
(1.4)
при некотором a?J. Частичное обращение этого утверждения также верно,
поскольку если функция р(t) непрерывно дифференцируема, уравнение (1.2)
можно записать в виде
,
а это уравнение имеет вид (1.1).
:
. (1.5)
Другими словами, решение и = и (t) уравнения (1.2) должно быть такой
непрерывно дифференцируемой функцией, что функция р(t) u'(t) имеет
непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если р(t)?? 0 и q(t),
h(t) непрерывны, к системе (1.5), а потому и к уравнению (1.2) применимы
стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем
(Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие) типы
решений, если предполагать, например, только, что функции 1/p(t), q (t),
h (t) локально интегрируемы.)
соответствует уравнение
и” + q(t) u = h(t). (1.6)
принимает вещественные значения, уравнение (1.2) может быть приведено
к такому виду с помощью замены независимых переменных
(1.7)
и потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s (t) имеет
обратную t= t (s), определенную на некотором s-интервале. После
введения новой независимой переменной s уравнение (1.2) переходит в
уравнение
(1.8)
где аргумент t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f)должен быть заменен
функцией t = t(s). Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6).
Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то уравнение (1.1)
может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и
на z:
(1.9)
при некотором a ? J. В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к
уравнению
(1.10)
которое имеет вид (1.6).
В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматриваемые уравнения
второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения,
содержащиеся в следующих упражнениях, будут часто использоваться в
дальнейшем.
§ 2. Основные факты
Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим
следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений
(2.1)
(2.2)
Для этого перепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы
двух уравнений
(2.3)
(2.4)
, A(t)- матрица второго порядка:
(2.5)
, q (t), h (t) и другие коэффициенты являются непрерывными комплексными
функциями на t-интервале J (который может быть замкнутым или
незамкнутым, ограниченным или неограниченным).
– произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (2.2)
(2.6)
, см. лемму IV. 1.1.
есть решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь
предельной точки в J.
удовлетворяет уравнению (2.1).
линейно
.
– решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и
(t) и v (t) и такая, что для их вронскиана W (t) = W (t; и, v)
выполняется тождество
. (2.7)
Поскольку матричным решением системы (2.3) является
,
detX(t)=p(t)W(t) и trA(t)=0.
(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений
, (2.8)
где f=f(t), g=g (t) – непрерывные функции на J. Если умножить второе
уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что
, (2.9)
. Соотношение (2.9) называется тождеством Лагранжа. Его интегральная
форма
(2.10)
, называется формулой Грина.
функций и(t) и v(t) с постоянными коэффициентами.
), то вронскиан любой пары решений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен
постоянной .
, то это уравнение запишется в виде
, (2.11)
а после интегрирования мы будем иметь
, (2.12)
.
, служит функция
; (2.13)
уравнения (2.1), что дает
. (2.14)
Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая
мы получаем из (2.14) частное решение
.(2.15)
Оно может быть записано в виде
, (2.16)
где
(2.17)
, но не зависит от их производных. В этом случае уравнение (2.1) и
эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе
. (2.28)
на интервале J. Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z, так что
. (2.29)
Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению
.
, мы получаем, что
(2.30)
или, в силу (2.27), что
, (2.31)
. Подстановка (2.29) будет называться также вариацией постоянных.
(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим (2.1)
с р (t) = 1:
и” + q (t) и = 0. (2.32)
Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго
порядка, вещественна и не равна нулю, так что
±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)
не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных
. (2.34)
, т. е. к уравнению
(2.35)
, определенная соотношением
, (2.36)
переводит (2.35) в уравнение
(2.37)
где
(2.38)
а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s),
обратная к функции s = s (f), определяемой из (2.36) с помощью
квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифференцирование
по t, так что q’ = dqldt.
Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта
подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к
дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция f (s)
«близка» к постоянной. Простой предельный случай такой подстановки см. в
упр. 1.1(с).
(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались
преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго
порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого
порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное
уравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий
метод. Пусть
, (2.39)
. Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде
. (2.40)
, где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется
дифференциальным уравнением Риккати.)
, то, интегрируя (2.39), мы получаем решение
(2.41)
уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J’.
-вещественное решение уравнения 2.1, и пусть
.
. Соотношения (2.42) переводят уравнение (2.1) в систему
, (2.43)
(2.44)
уравнения (2.43) известно, то соответствующее решение уравнения (2.44)
может быть найдено с помощью квадратуры.
Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что
всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J, где
непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связывающего решения
уравнений (2.1) и (2.43).
непрерывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет
ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из
J) и если – вещественное решение уравнения (2.1), то равенства
(2.45)
, имеющие локально ограниченную вариацию и
, а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства
(2.48)
(2.49)
. (2.50)
§ 3. Теоремы Штурма
.
.
. Тем самым лемма доказана.
В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения
вещественны и непрерывны на интервале J. и
. (3.2)
В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на
J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно
известно, что соотношения
(3.32)
или
(3.31)
, то уравнение (3.32) называется строгой мажорантой Штурма для (3.31)
на J.
удовлетворяет уравнению (3.12) и
(3.4)
.
с помощью соотношений
(3.5)
Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):
(3.6j)
. Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что
, и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.
.
выполняется либо (3.31), либо (3.32). Запишем (3.62) в виде
,
где
.
. Доказательство закончено.
и разделяются ими.
не являются линейно независимыми).
Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении
нулей, когда p1(t)(p2(t)>0, q2(t)(q1(t).)
Предположим, что u1(t)>0 при t1
(p2(t)u()(+q2(t)u=0, где u=u2, на u1, вычитая и интегрируя по [t1,t2],
получаем:
p(t)(u1(u2-u1u2()(0, при t1(t(t2, где p=p1=p2. Это означает, что
(u1/u2)((0; поэтому u1/u2>0 при t1
чего быть не может.
Решение:
(p1(t)u()(+q1(t)u=0, u=u1
(p1(t)u1()(+q1(t)u1=0.
Умножим левую часть равенства на u2, получим:
u2(p1(t)u1()(+q1(t)u1u2=0.
Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:
(p2(t)u()(+q2(t)u=0, u2=u
(p2(t)u2()(+q2(t)u2=0.
Умножим левую часть равенства на u1, получим:
u1(p2(t)u2()(+q2(t)u1u2=0.
Вычитаем из первого уравнения второе, получим:
u2(p1u1()(+q1u1u2-u1(p2u2()(-q2u1u2=0, p=p1=p2
u2(pu1()(+q1u1u2-u1(pu2()(-q2u1u2=0
(u2(pu1()(-u1(pu2()()+u1u2(q1-q2)=0
Упростим это уравнение,
u2(p(u1(+pu1(()-u1(p(u2(+pu2(()+u1u2(q1-q2)=0
Раскроем скобки, получим:
p(u1(u2+ pu1((u2- p(u1u2(-pu1u2((+u1u2(q1-q2)=0.
Сравнивая с формулой (2.2), получаем:
(p(u1(u2-u1u2())(+u1u2(q1-q2)=0
(p(u1(u2-u1u2())(-u1u2(q2-q1)=0
(p(u1(u2-u1u2())(=u1u2(q2-q1)=0.
Проинтегрируем это уравнение по [t1,t], получим:
u1u2(q2-q1)dt, где
u1u2>0, q2-q1(0. Значит p(u1(u2-u1u2()(0.
Т.о. (u1/u2)((0 ( u1/u2>0.
. В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и
t=(.
(.
Если (>1/4, то корни (1 и (2 – комплексные, т.е.
(-1/4 ln t)]
имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить:
c1=sinu ,c2=cosu,
то получим:
(-1/4 ln t)]=
(-1/4 ln t)].
Если (0 такую последовательность t1
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
