.

Интеграл Пуассона

Язык: русский
Формат: курсова
Тип документа: Word Doc
0 547
Скачать документ

Интеграл Пуассона.

Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические,
комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также
суммируема на (-(,(( и

cn ( f(g ) = cn ( f )( cn ( g ) , n
= 0, (1 , (2 , … ( 1 )

где ( cn ( f )( — коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

-i n tdt , n = 0, ((((((((

Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию

n ( f ) r((n ( ei n x , x ((((((((((( ,
( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого
фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х( равны

, ( 3 )

где

, t ( ((((((((((( (
4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( (
, называется ядром Пуассона , а интеграл (3) — интегралом Пуассона
.

Следовательно,

, 0(((r ( ( , t (((((((((( . ( 5 )

Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что

c-n ( f ) = (cn( f ) , n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим
:

,
( 6 )

где

( z = reix ) ( 7 )

аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что
для любой действительной функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3)
определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x
( [ -(, ( ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) =
0 задается формулой

. ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) – гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z
((((((((( ( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда

( z = reix , ( z ( ( ( ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона Pr (t) – действительная функция, то равенство
(10) достаточно проверить в случае, когда u (z) – аналитическая функция:

, ( z ( ( (+ ( .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции (r (x) при r(( ,
отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

;

;

в) для любого (>0

Теорема 1.

;

если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

, пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона ,
находим

.

Следовательно,

.

. Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий “максимальная функция” и “оператор слабого
типа”, которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение 2.

называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

.

Теорема 2 (Фату).

. Тогда

.

Доказательство.

, ( 13 )

где С – абсолютная константа , а M ( f, x ) – максимальная функция для
f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К – абсолютная константа).

– такое число, что

.

.

,что

,

( 14 )

.

Согласно (13) при x( (-2(((()

для каждого x( [-(( (] и (14)

Из последней оценки получим

при n((.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

пути.

f (x) = f (y) , если x,y ( [-2(,2(] и x-y=2() и f (x) = 0 ,
если (x( ( (( .

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020