Интеграл Пуассона.
Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические,
комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также
суммируема на (-(,(( и
cn ( f(g ) = cn ( f )( cn ( g ) , n
= 0, (1 , (2 , … ( 1 )
где ( cn ( f )( — коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
-i n tdt , n = 0, ((((((((
Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию
n ( f ) r((n ( ei n x , x ((((((((((( ,
( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого
фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х( равны
, ( 3 )
где
, t ( ((((((((((( (
4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( (
, называется ядром Пуассона , а интеграл (3) — интегралом Пуассона
.
Следовательно,
, 0(((r ( ( , t (((((((((( . ( 5 )
Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = (cn( f ) , n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим
:
,
( 6 )
где
( z = reix ) ( 7 )
аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что
для любой действительной функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3)
определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x
( [ -(, ( ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) =
0 задается формулой
. ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) – гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z
((((((((( ( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда
( z = reix , ( z ( ( ( ) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr (t) – действительная функция, то равенство
(10) достаточно проверить в случае, когда u (z) – аналитическая функция:
, ( z ( ( (+ ( .
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции (r (x) при r(( ,
отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
;
;
в) для любого (>0
Теорема 1.
;
если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
, пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона ,
находим
.
Следовательно,
.
. Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий “максимальная функция” и “оператор слабого
типа”, которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
.
Теорема 2 (Фату).
. Тогда
.
Доказательство.
, ( 13 )
где С – абсолютная константа , а M ( f, x ) – максимальная функция для
f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К – абсолютная константа).
– такое число, что
.
.
,что
,
( 14 )
.
Согласно (13) при x( (-2(((()
для каждого x( [-(( (] и (14)
Из последней оценки получим
при n((.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
пути.
f (x) = f (y) , если x,y ( [-2(,2(] и x-y=2() и f (x) = 0 ,
если (x( ( (( .
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
