.

Граничные условия общего вида

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 198
Скачать документ

План.

Сопряженный оператор.

Сопряженная однородная задача.

Условия разрешимости.

Сопряженный оператор.

дифференциальный оператор второго порядка, т.е.

(1)

функции, то имеем:

(2)

Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям
дает:

(3)

(4)

При этом соотношение (3) перепишется так:

(5)

взаимно сопряжены.

Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:

(6)

будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:

(7)

тогда и только, когда:

.

При этом:

.

, получаем так называемую формулу Лагранжа:

(8)

Правая часть этой формулы может быть записана как:

(9)

где

(10)

Отметим, что:

-невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:

(11)

Сопряженная однородная задача.

:

(12),

где

, мы можем обратить преобразование (12) и получить:

.

При этом (11) можно переписать как:

или

(13),

(14)

в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной
формы в правой части тождества (11).

Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в
соотношении (13)

и получим:

(15)

Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны
равенствам:

(16)

(17)

С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:

(18)

(19)

имеет вид:

(20)

.

Один из определителей:

матриц-блоков

, чтобы строки матрицы А были линейно независимы.

.

При этом матрица А примет вид:

(21).

.

Тогда

(22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

(22)

(23)

. При этом условия (21) и (20) принимают вид:

(24)

, получаем:

(25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают
тогда и только тогда, когда:

(26)

.

Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной
задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

(27)

,

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:

(27)

, описываемую формулой (14а) т.е.:

(28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить
какие-либо два из граничных значений через два других.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020