План.
Сопряженный оператор.
Сопряженная однородная задача.
Условия разрешимости.
Сопряженный оператор.
дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
(1)
функции, то имеем:
(2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям
дает:
(3)
(4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
(5)
взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
(6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
(7)
тогда и только, когда:
.
При этом:
.
, получаем так называемую формулу Лагранжа:
(8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
(9)
где
(10)
Отметим, что:
-невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:
(11)
Сопряженная однородная задача.
:
(12),
где
, мы можем обратить преобразование (12) и получить:
.
При этом (11) можно переписать как:
или
(13),
(14)
в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной
формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в
соотношении (13)
и получим:
(15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны
равенствам:
(16)
(17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
(18)
(19)
имеет вид:
(20)
.
Один из определителей:
матриц-блоков
, чтобы строки матрицы А были линейно независимы.
.
При этом матрица А примет вид:
(21).
.
Тогда
(22)
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:
(22)
(23)
. При этом условия (21) и (20) принимают вид:
(24)
, получаем:
(25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают
тогда и только тогда, когда:
(26)
.
Условие разрешимости.
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной
задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
(27)
,
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
(27)
, описываемую формулой (14а) т.е.:
(28)
При этом соотношение (27) принимает вид:
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить
какие-либо два из граничных значений через два других.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
