Министерство образования Российской Федерации
Ставропольский Государственный университет
Кафедра математического анализа
Курсовая работа на тему :
«Дзета-функция Римана»
Выполнил: студент 2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович
Ставрополь, 2004 г.
Введение.
Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных
дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное
представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний
пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная,
степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей
математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда
добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы
(гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это
понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под
функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то
множества X ставится в соответствие один или несколько элементов
множества Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y
– значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно
значение, функция называется однозначной, если более одного – то
многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В
простейшем случае множество X может быть подмножеством поля
действительных R или комплексных C чисел. Тогда функция называется
числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.
Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным,
графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать
в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое
нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может
быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к
различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней
наук.
и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством
или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества
уже почти 150 лет.
Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из
приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной
Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов
развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу
Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и
способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году
американский The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за
решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число
также попала гипотеза Римана.
Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и
интересным, и полезным.
Глава 1.
Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции
Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в
вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.
Определение. Дзета-функцией Римана ?(s) называют функцию, которая любому
действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда
(1)
если она существует.
Основной характеристикой любой функции является область определения.
Найдём её для нашей функции.
, который, очевидно, расходится как при t>0, так и при t=0. То есть
значения s?0 не входят в область определения функции.
, которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно
убывающей. Возникает три различных возможности:
, поэтому ряд (1) расходится и промежуток (0;1) не входит в область
определения дзета-функции;
, то есть при s=1 дзета-функция Римана также не определена;
. Ряд (1) сходится.
. На этом промежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой
бесконечное число раз.
при s>s0 монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит,
по признаку Абеля для s>s0 ряд (1) сходится равномерно. Используя
теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в
любой точке s>s0 дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s0 ?(s)
непрерывна на всей области определения.
Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём
производную дзета-функции Римана:
(2).
применима вышеуказанная теорема.
Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции
производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
.
Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для
этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки
s=1.
.
, докажем некоторые вспомогательные оценки.
. Применяя вышесказанное к ряду (1), найдём, что
необходимая функция
. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем
.
, вытекает доказываемое утверждение.
.
, где k – натуральное число.
.
.
. Отсюда немедленно следует искомая формула
– k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и
для них составлены обширные таблицы.
Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика
дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей
области определения.
Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил
замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда
тоже принимают за определение:
, где pi – i-е простое число
(4).
, где символ * означает, что суммирование
распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не
считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые
числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством
обладают, то
(5).
. Из (5) получаем
(6).
, что и требовалось доказать.
.
, что и завершает доказательство.
На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для
действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной
интерес представляет случай изложенный во второй главе.
Глава 2.
Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были
получены в предположении, что её аргумент s – действительное число.
Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения
стали возможны лишь после включения в область определения функции
комплексных чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого
аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её
свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него функция
получила своё название.
действительная часть числа x) ряд
(1) сходится абсолютно.
при ?>1, имеем абсолютную сходимость ряда (1).
. Сумма же равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама
является аналитической функцией.
Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без
изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства
претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к
абсолютным величинам.
корней.
&
hg
hg
hg
hg
hg
hg
hg
hg
hg
??
# hx
hx
hx
hx
hx
hx
jI? h?.
h?.
h?.
h?.
h?.
h?.
h?.
h?.
hYG
, следовательно, дзета-функция в нуль не обращается.
.
Для этого нам понадобится формула
, отсюда легко следует равенство (2).
. Прибавим по единице в обе части равенств:
(3).
с вычетом, равным единице.
.
является ограниченной функцией. Значит,
(4).
.
, поэтому из (3) имеем
.
Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо
разложение в ряд
(6).
Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана
(7),
.
.
. Отсюда без труда получается наше утверждение.
Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими
способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство
(8). Из него можно получить два небольших следствия.
.
.
Глава 3.
Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в
математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в
теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении
распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о
серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за
рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой
функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.
Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое
элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в
следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел,
обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится
ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является
простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит
предположению. Значит, количество простых чисел не может быть конечным.
(1). Если бы количество простых чисел было конечным,
то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный
результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.
.
, мы сейчас получим равенство
(2).
.
, то увидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.
.
В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик
Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в
пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических
таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных
логарифмов.
. Тогда
.
.
. Значит,
(4).
, используем следующую лемму.
.
.
, что и требовалось доказать.
и теорема доказана.
Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции
Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку
использованной литературы.
Список использованной литературы.
Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том
II. М.,1970 г.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.,1999 г.
Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.
М.,1987 г.
Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.
PAGE
PAGE 1
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
