Содержание.
Глава I
Введение.
2
§1. Актуальность темы.
2
§2. Обзор работ.
6
Глава II
Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой
частью.
8
§1. Обоснование необходимости обобщения понятия
решения.
8
§2. Определения решения.
10
Глава III
Исследование устойчивости для дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями.
23
§1. Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова. 23
§2. Некоторые сведения теории дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием.
27
§3. Связь рассматриваемых теорий.
31
Заключение.
34
Литература.
35
Глава I
Введение.
§1. Актуальность темы.
Актуальность данной темы в значительной степени обусловлена
многочисленными приложениями теории дифференциальных уравнений с
разрывными правыми частями.
Ряд процессов в механике, электротехнике и в других областях
характеризуются тем, что правые части дифференциальных уравнений,
которые описывают их динамику, претерпевают разрывы в зависимости от
текущего состояния процесса. Стандартный пример такой динамической
системы – механическая система с сухим трением, когда сила сопротивления
может принимать одно из двух двух противоположных по знаку значений в
зависимости от направления движения. Рассмотрим эту систему подробнее.
Механическая система с сухим трением.
Как показано в [3] можно установить зависимость между работой,
затраченной на преодоление сил трения и скоростью движения. Эта
зависимость получается совершенно различной для случая движения груза
массы m в жидкости и трения о какую-либо твердую поверхность. В первом
случае (случай “жидкого трения”) работа существенно зависит от скорости
и при уменьшении скорости уменьшается и может быть сделана как угодно
малой. Во втором случае (случай “сухого трения”), наоборот, работа мало
зависит от скорости, и как бы медленно ни двигали груз, необходимо
затратить на его перемещение некоторую конечную и вполне определенную
работу, т.е. сила трения даже при сколь угодно малой скорости имеет
конечную величину. Кроме этого, учитывая, что сила трения всегда
направлена в сторону, противоположную скорости, и, значит при переходе
через нуль сила трения меняет знак на обратный, в случае “жидкого
трения” получаем, что сила трения без скачка проходит через нуль и
меняет при этом знак:
В случае же “сухого трения” при скорости, стремящейся к нулю, сила
трения с двух сторон стремится к разным конечным пределам (в частности
противоположным по знаку, но одинаковым по абсолютной величине), т.е.
при нуле претерпевает разрыв:
Т.о. математические модели механических систем с кулоновым трением,
полученные в рамках механики систем абсолютно твердых тел, представляют
собой дифференциальные уравнения, правые части которых являются
функциями, разрывными относительно обобщенных скоростей (сила трения
изменяется скачкообразно при изменении направления движения).
Ситуация, подобная вышеописанной, особенно часто возникает в системах
автоматического управления: стремление повысить быстродействие системы,
минимизировать энергетические затраты на управление, ограничить область
возможных изменений регулируемых параметров и т.п. приводит к
управляющим воздействиям в виде разрывных функций. В частности, такими
системами автоматического управления являются системы с переменной
стуктурой и со скользящими режимами.
Системы с переменной структурой и со скользящим режимом.
–мерном пространстве, по осям которого отложены координаты системы.
Т.о., каждому новому состоянию системы соответствуют все новые и новые
точки пространства и изменению состояний системы можно соподчинить
движение некоторой точки, которая называется изображающей точкой, а
пространство – фазовым пространством. При движении системы ее координаты
изменяются. И изображающая точка описывает некоторую кривую (выражающую
для данного движения зависимость скорости от координат), которая
называется фазовой траекторией. По виду этих траекторий можно судить о
свойствах рассматриваемой динамической системы, и, более того, изменять
их, деформируя фазовые траектории при соответствующем выборе
управляющих воздействий. Движение изображающей точки характеризуется
вектором фазовой скорости, который направлен по касательной к траектории
в сторону движения.
Определение систем с переменной структурой дано в работе [13]. Под
системами с переменной структурой авторы понимают системы, в которых
связи между функциональными элементами меняются тем или иным образом, в
отличие от систем с фиксированной структурой, в которых совокупность
функциональных элементов и характер связей между ними остаются
неизменными.
Одним из режимов работы таких систем является скользящий режим,
характеризуемый бесконечной частотой переключения функции управления.
Скользящий режим возникает, если в окрестности поверхности, на которой
функция управления претерпевает разрывы, фазовые траектории направлены
навстречу друг другу
После попадания на поверхность разрыва изображающая точка не может в
течение любого даже сколь угодно малого, но конечного интервала времени
двигаться по любой из траекторий, примыкающих к этой поверхности (при
любом смещении всегда возникает движение, возвращающее изображающую
точку на поверхность разрыва).
В [7] рассматривается еще случай, когда решение наоборот не может
попасть на соответствующий участок поверхности разрыва (при возрастании
времени):
Скользящие режимы обладают рядом привлекательных свойств с т.з.
построения систем автоматического управления (часто скользящие режимы
специально вводят в системы). Одна из особенностей, связанная с
независимостью их от характеристик управляемого объекта и возможностью
наделить их желаемыми свойствами, и обуславливает широкое применение
скользящих движений.
Т.о., существование теории релейных систем, систем переменной структуры,
реализация законов оптимального управления, механики, электротехники
приводят к необходимости изучения общей теории диф. уравн. с разрывными
правыми частями, для которых в общем случае неприемлемы методы
классической теории дифференциальных уравнений.
§2. Обзор работ по теории дифференциальных уравнений с разрывными
правыми частями.
Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в
книгах [3,4,7,9], а также большое число журнальных статей.
Систематическое изложение этой теории имеется в статьях А.Ф. Филиппова.
В [16] Филиппов рассмотрел диф. уравн. с однозначными разрывными правыми
частями, ввел понятие решения и доказал основные теоремы качественной
теории.
, т.е. таких уравнений, у которых правая часть не является ненпрерывной
по x функций рассмотрены в статье [5].
Теория систем автоматического управления, описываемых дифференциальными
уравнениями с разрывными правыми частями рассматривается в книгах [13,
14, 15]. В работе С.В. Емельянова [13] излагается один из разделов
теории автоматичесеого управления – теория систем с переменной
структурой, принадлежащих к классу нелинейных систем автоматического
регулирования, в которых широко используются скользящие режимы.
Скользящие режимы релейных систем изучались Ю.И Неймарком [10], Ю.И.
Алимовым [2] и др. Но появление систем с переменной структурой породило
интерес к теории скользящих режимов не только в релейных системах
общего вида [14, 15]. Содержание последних книг составляют проблемы,
связанные с исследованием систем с разрывными управляющими
воздействиями, в [14] приводится математический аппарат для исследования
разрывных динамических систем, которые не рассматриваются в классической
теории диф. уравнений. Обзор и основные направления теории диф.
уравнений с разрвными правыми частями приводятся в книге [17], которая
явилась основной при написании дипломной работы.
Во всех вышеперечисленных работах теория разрывных систем основывается
на теории дифференциальных включений. Нами было сделано предположение,
что эти системы можно свести к системам дифференциальных уравнений с
импульсным воздействием, теория которых изложена в [12]. Для этого
потребуется дать определения решения, устойчивости решения разрывной
системы в смысле системы с импульсным воздействием, сформулировать
теорему об устойчивости нулевого решения.
Глава II
Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой
частью.
Здесь из лагаются различные определения решений дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями, устанавливается связь таких
уравнений с дифференциальными включениями, указываются условия их
применимости.
§1. Обоснование необходимости обобщения понятия
решения дифференциального уравнения.
Определение1. Решением дифференциального уравнения
, которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет
этому уравнению.
Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое
определение непригодно, как показывают следующие примеры.
Пример 1.
;
:
:
,
не существует.
Пример 2.
,
:
x
0.
Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно
интегральному уравнению
В случае, когда f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1),
решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному
уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с
другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):
S
; пересекая S решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки
пересечения, в которой решение не имеет производной (в первом примере S
– это прямая t=0).
В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения
приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это
определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как
продолжится решение, попавшее на S (пример 2).
Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило
бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от
расположения линий и поверхностей разрыва.
§2. Определения решения.
Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи
, (1)
, M – множество (меры нуль) точек разрыва функции f.
задается тем или иным способом.
Определение2. Решением уравнения (1) называется решение
дифференциального включения
, (2)
т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на
интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I
.
.
состоит из единственной точки.
Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы
является определение А.Ф. Филиппова.
А. Выпуклое доопределение.
Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного
рода, а также к некоторым системам с сухим трением.
, где
.
, но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами.
Определение 3.
), т.е. всю окрестность, кроме множества мера нуль.
Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности
разрыва.
функция имеет предельные значения
.
на другую:
Рис. 1.
, определяющего скорость движения
(3)
:
Рис. 2.
и удовлетворяет уравнению (3), также считается решением уравнения (1) в
смысле доопределения А.
,
),
).
Вместе с тем множество F(t, x) можно было определить иначе. В качестве)
возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок
J:
Рис. 3.
; это приводит к тому, что кроме решения Филиппова появляются и другие
решения.
Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному
возможному определению множества F(t, x) среди всех допустимых. Это
удобно в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в
других случаях, имеет место единственность решения.
по поверхности разрыва S определяется неоднозначно.
, находим уравнение
, (4)
с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме
(начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е.
S(x(0))=0).
Пример 3.
Решить систему
. Отложим из точки М эти два вектора и соединим их концы отрезком АВ:
удовлетворяет перечисленным требованиям.
в точках ее непрерывности.
Пример 4.
В механической системе с сухим трением:
,
.
из (1), и в общем случае это множество надо задавать, используя
какие-то сведения о рассматриваемой системе.
Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу
построения множества F(t,x).
Рассмотрим систему
, (6)
– отрезок или точка).
Пусть
.
Определение 4.
).
Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является как
доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.
Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения
(управления).
1,…, r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.
, полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или
с пересечения этих поверхностей)
, (8)
определяются из системы уравнений
.
Определение 5.
удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях
– уравнениям вида (8) (при почти всех t ).
:
Рис. 4.
).
.
– дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb.
Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u –
скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных
случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной
разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к
различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ),
описываемой уравнениями
(9)
:
.
, которые являются решениями уравнения
,
в силу условия (10) дальнейшее движение будет происходить по
траекториям, лежащим на многообразии S(x)=0.
Пример 5.
Получить уравнение скольжения для разрывной системы:
, а уравнение метода эквивалентного управления (10) имеет вид:
.
):
Замечание.
движения по прямой S=0.
В. Общее дополнение.
, i=1,…, r.
.
Определение 6.
Решением уравнения (6) называется решение включения
(10)
– сегмент между этой дугой и ее хордой, заштрихованный на рисунке, а
K(t,x) – отрезок, являющийся пересечением этого сегмента с касательной к
S в точке x.
, то, вообще говоря, множество K(t, x) содержит более одной точки и
скорость движения по S определяется неоднозначно.
Сравнение определений.
Сравним определения А, Б, В.
– заштрихованный сегмент.
совпадают, тогда совпадают и все три определения А, Б, В.
Глава III
Исследование устойчивости для дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями.
§1.Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова.
Теория устойчивости создана в 90-х годах 19 в. А.М. Ляпуновым (в 1892 г.
появилась знаменитая докторская диссертация “Общая задача об
устойчивости движения”). Эта теория нашла широкое применение не только в
математике, механике, технике, но и в химии, термодинамике, синергетике.
Очень бльшую роль играет решение прроблемы устойчивости движения в
небесной механике. На теории Ляпунова базируется современная наука о
полете искусственных спутников Земли.
Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений диф.
уравнений с непрерывной правой частью приводится, например, в [4].
Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния
возмущающих факторов на движение матариальной системы (под возмущающим
фвкторами понимают силы, не учитываемые при написании движения
вследствие их малости по сравнению с основными силами); устойчивость по
Ляпунову – это близость законов изменения состояния во времени для
невозмущенного и возмущенного движений. Сводя вопрос устойчивости
невозмущенного движения к вопросу устойчивости положения равновесия,
А.М. Ляпунов связывал факт устойчивости или неустойчивости с наличием
функции V(t, x) – функции Ляпунова, производная которой по времени,
взятая согласно системе диф. уравнений, обладает определенными
свойствами. Метод функций Ляпунова является одним из наиболее
эффективных методов исследования систем автоматического управления.
Значение этого метода далеко не исчкрпывается возможностью установления
факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Но в данной
работе ограничимся только этим.
Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части
системы
. (1)
Как было показано в первой главе, уравнения (1) сводятся к диф.
включениям
(2)
Для диф. включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая
устойчивость.
Определение 1.
существует и удовлетворяет неравенству
).
Пример 1.
за бесконечное время.
Пример 2.
– решение. Для других решений имеем
асимптотически устойчиво,
устойчиво,
слабо асимптотически устойчиво,
неустойчиво.
.
(т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка) определяются
верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2):
существует и удовлетворяет включению (2). При этих t существует
(3)
Теорема 1.
.
Тогда:
включения (2) устойчиво.
асимптотически устойчиво.
Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4]
остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки сверху
функции V(t, x(t)) используют соотношение (3).
Теорема 2.
слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае
2).
Доказательство теоремы 2 приведено в [17].
, представить в виде
:
. (4)
. Тогда теоремы 1и 2 сохраняются.
Пример 3.
, то нельзя пренебрегать отысканием dV/dt на линиях поверхностях
разрыва функции f(t, x) даже в случае доопределения А.
разрывны на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части
системы. На оси Ox при доопределении А:
, и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается по
формуле (4) при h=0:
.
неустойчиво
§2. Некоторые сведения теории дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием.
При математическом описании эволюции процессов с кратковременными
возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что
эти возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к
необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями
или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.
Определение таких систем приведено [12], они задаются
а) системой диф. уравн.
(5)
б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом пространстве,
.
системы уравнений (1), до новой встречи с множеством Ft и т.д.
Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с
импульсным воздействием.
Кривую {t, x(t)} описываемую точкой Pt называют интегральной кривой, а
функцию x = x(t), которая задает эту кривую – решением системы (1).
Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность
соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме:
(6)
– это функция, удовлетворяющая уравнению (5) вне множества Ft и
имеющая разрывы первого рода в точках Ft со скачками
– состояние системы до и после скачка в момент времени t1.
расширенного фазового пространства. Тогда система (6) примет вид:
(7)
Устойчивость в системах с нефиксированными моментами
импульсного воздействия.
Определение 2.
.
Определение 3.
.
Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как и
в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу
исследования устойчивости тривиального решения некоторой новой системы
уравнений с импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в
результате которой получим систему диф. уравн. с импульсным
воздействием:
(8)
т.е. решение x=x(t) системы (7) перешло в положение равновесия системы
(8).
Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью
прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова).
Теорема 3.
Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в
некоторой области D неравенствами
(9)
то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво.
Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось
неравенство
, то нулевое решение уравнений (8) асимптотически устойчиво.
Пример 4.
Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника,
подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается
уравнениями:
,
находим
.
выполняются условия теоремы (3), следовательно, нулевое решение
исходной системы уравнений устойчиво.
§3. Связь рассматриваемых теорий.
Теория систем с разрывной правой частью может быть сведена к теории диф.
уравнений с импульсными возмущениями, а именно к системам с
нефиксированными моментами импульсного воздействия, определение которых
было дано в §2.
Пусть задана система
(10)
, фигурирующие в определении импульсной системы, для системы (10)
примут вид:
действует по закону
, то систему (10) можно записать в виде:
(11)
Второе уравнение системы (11) дает возможность решению уравнения (10)
сойти с поверхности разрыва. Т.о., диф. уравнения с разрывной правой
частью можно подвергнуть импульсному воздействию в момент прохождения
изображающей точки поверхности разрыва.
и т.д. Каждое решение x(t) будет представлять собой непрерывную
функцию.
. В этом случае система (10) сводится к диф. включению
(12)
.
.
Теорема 4. Достаточное условие отсутствия биения решений.
удовлетворяют условию Липшица, т.е.
,
и неравенству
.
и лежащего в области
,
только один раз.
Доказательство этой теоремы приведено в [12].
Теорема 5.
устойчиво по Ляпунову, то оно является устойчивым и для системы (8).
Верно и обратное.
Доказательство.
.
Решение x(t)=0 включения (12) устойчиво. Докажем, что оно будет
устойчивым и для системы (8).
Для диф. включения (12) существует определенно-положительная функция
V(t, x), удовлетворяющая неравенству
.
существует и удовлетворяет включению (12). При этих t существует и
,
т.е. выполнено первое неравенство теоремы 3.
, то указанная функция V(t, x) , будет удовлетворять и второму
неравенству :
.
Т.о., выполнены условия теоремы 3 и решение x(t)=0 системы (8)
устойчиво.
Обратно доказывается аналогично.
Заключение.
В связи с теорией релейных систем, систем с переменной стуктурой,
реализацией законов оптимального управления и иных разрывных систем
управления изучается общая теория разрывных систем. Эта теория восходит
к задачам механики, где впервые изучались системы с сухим трением в
трудах П. Пенлеве (1895 г. “Лекции о трении”) и Аппеля П.
В теории систем с разрывной правой частью учитываются как
инженерно-физические, так и чисто математические соображения. Эта теория
обеспечивает возможность математического исследования указанных систем,
т. е. включает стандартные теоремы существования решений, их
проджолжимости, теоремы качественной теории. Во второй главе приведено
определение решения разрывных систем А.Ф. Филиппова. Как было отмечено,
это определение соответствует минимальному возможному построению
множества F(t, x) среди всех допустимых. Помимо определения Филиппова
имеются и другие определения решений разрывных систем и диф. включений:
Айзермана и Пятницкого [1] Викторовского [6], Матросова [8].
Теория систем с разрывными правыми частями основывается на теории
дифференциальных включений, развитой Маршо и Зарембой (1934 г.), затем
дополненной многочисленными авторами, в частности Важевским (1961 г.) и
др. Связь этих теорий указана в §2 главы II. В третьей главе эти системы
сводятся к системам дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием. Сформулирована и доказана теорема об устойчивости таких
систем.
Литература.
Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем I, II. –
Автоматика и телемеханика, 1974, № 7, 33-47, № 8, 39-61.
Алимов Ю. И. Об устойчивости в целом равновесного состояния нелинейных
систем автоматического регулирования. – Известия вузов, Радиофизика,
1959, 2, № 6.
Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин Р.Э. Теория колебаний. – М.:
Физматгиз, 1959.
Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967.
Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. Ктеории релейных дифференциальных уравнений.
– Известия вузов, сер. матем., 1962, № 1, 3-13.
Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для
разрывного поля направлений. – Математический сборник, 1954, 34, № 2,
213-248.
Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с
неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978.
Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными
правыми частями I, II. – Диф. уравн.,1967, 3, № 3, 395-409; № 5,
869-878.
Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коледаний. –
М.: Наука, 1972.
Неймарк Ю.И. о скользящем режиме релейных систем автоматического
регулирования. – Автоматика и телемеханика, 1957, 18, № 1.
Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах. –
Диф. уравн., 1975, 11, № 6 1005-1012.
Самойленко А.М. Пересчук Н.А. Системы диф. уравн. с импульсным
возмущением. М.: Наука, 1987.
Терия систем с переменной структурой / Под ред. Емельянова С. В. – М.:
Наука, 1981.
Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. – М.:
Наука,1981.
Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной
структурой. – М.: Наука, 1974.
Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. –
Математический сборник, 1960, 51, № 1, 99-128.
Филиппов А.Ф. дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. –
М.: Наука, 1985.
Филиппов А.Ф. Система диф. уравн. с несколькими разрывными функциями. –
Математические заметки, 1980, 27, № 2, 255-266.
Филиппов А.Ф. Устойчивость для диф. уравн. с разрывными и многозначными
правыми частями. – Диф. уравн., 1979, 15, № 6, 1018-1027.
PAGE
PAGE 35
PAGE \# “‘Стр: ‘#’
ueq
x
y
V
Fтр
V
Fтр
Поверхность разрыва
Поверхность разрыва
x
t
t
S
P
x
f –
f +
G –
f +
G –
f –
P
f 0
x
S
f +
f –
P
x
S
x1
A
f –
f +
C
M
-2
x
6
B
a
c
b
G+
G –
S
x
xn
(x,t)
u – (t,x)
x1
u + (t,x)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
