Томский государственный университет
Факультет прикладной математики и кибернетики
Кафедра теории вероятности и математической статистики
ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ В
ГАК
Зав. каф. ТВ и МС, д-р тех. наук, профессор
____________
«__» ________ 2002г.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В СЕТЯХ
СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА
(Дипломная работа)
Научный руководитель
д-р тех. наук, профессор
__________
Автор работы
__________
Томск 2002
Содержание
Введение………………………………………………………………………….. 3
Исследование нестационарной сети случайного доступа с динамическим
протоколом в условиях большой загрузки …………….. 6
Исследование неоднородной нестационарной сети случайного
доступа с динамическим протоколом в условиях перегрузки………… 19
Исследование нестационарной сети случайного доступа со
статическим протоколом в условиях большой задержки……………… 28
Исследование стационарного режима в сети с динамическим протоколом
случайного множественного доступа для конечного
числа станций……………………………………………………………. 41
4.1. Асимптотический анализ распределения вероятностей состояний
сети…………………………………………………………………. 45
4.2. Численный метод анализа распределения вероятностей………. 52
4.3. Определение области применимости асимптотических формул 55
Заключение………………………………………………………………………. 60
Список использованной литературы………………………………………….. 62
Введение
В последнее время во многих областях производства возникает
необходимость использования процессов распределенной обработки
информации, причем на самых различных уровнях: от отдельного учреждения
до целой сети предприятий, охватывающей огромные расстояния. Поэтому
вполне естественно наблюдаемое ныне бурное развитие сетей связи,
позволяющих соединять в единые системы различные устройства
вычислительной техники. При этом научные исследования, направленные на
улучшение функционирования сетей, ведутся в двух направлениях: повышения
физических характеристик канала передачи и создания эффективных сетевых
протоколов, позволяющих использовать физические возможности канала
оптимальным образом.
При оптимизации и проектировании сетей передачи данных наиболее
действенным инструментом является использование математического
моделирования. Для того чтобы исследовать уже существующие сети связи
специалисты по сетям используют различные анализаторы протоколов, но
такие методы не позволяют получать вероятностно-временные характеристики
для еще не существующих сетей, находящихся на стадии проектирования. В
этих случаях необходимо использовать средства моделирования, с помощью
которых разрабатываются адекватные модели, описывающие процессы,
протекающие в сетях, и проводится всесторонний анализ этих процессов.
Исследование поведения систем связи из-за случайных влияний возможно
только с помощью случайных процессов [1]. Выбор случайных процессов,
используемых для описания и анализа систем, зависит от структуры и типа
системы, от предположений о независимости или зависимости случайных
величин, от вида их функций распределения. Поэтому для исследования
таких систем часто используется аппарат теории массового обслуживания
[2]. Использование этого аппарата позволяет построить математические
модели изучаемой сети связи [3] и провести теоретические исследования
параметров функционирования реальной системы.
В классической литературе различают два основных класса систем массового
обслуживания [2]: системы с потерями (без очереди) и системы с
ожиданиями, а также комбинация этих двух типов – система с ожиданием и
потерями (например, система с ограниченным числом мест для ожидания в
бункере) [4]. Математические модели спутниковых сетей связи с
протоколами случайного множественного доступа формируют третий класс СМО
– системы с повторными вызовами. Развитие сетей с множественным доступом
началось с появления работы Абрамсона, в которой описано
функционирование территориально-распределенных терминалов, соединенных
центральной ЭВМ по радиоканалам. Эта система получила название ALOHA.
Особенностью протоколов множественного доступа является то, что на
множестве станций не вводится изначальной строгой очередности. Каждая
станция после появления у нее готового пакета вправе его передавать
сразу же, как только обнаружит канал свободным. При этом не исключена
возможность, что она попадет в конфликт, то есть ее пакет столкнется с
пакетом другой станции. В подобных случаях станция прекращает передачу и
генерирует случайную задержку, после которой вновь пытается занять
канал.
Асимптотические методы [5] играют важную роль при исследовании
различных математических моделей, в том числе таких, которыми
описывается функционирование различных типов систем массового
обслуживания. Точные формулы для решений удается получить, как правило,
лишь в исключительных ситуациях, характеризующихся наложением
ограничений на статистическую природу процессов, управляющих системой
(таковыми обычно являются входящий поток требований и процесс
обслуживания). Однако часто, применяя различные асимптотические методы
можно получить удовлетворительное для практики приближенное
(асимптотическое) решение задачи при весьма широких предположениях
относительно входа и обслуживания даже при отсутствии явного вида
распределений характеристик.
имеют вполне определенный смысл, вытекающий из постановки задачи.
Часто таким параметром считают время t, и нас интересует поведение тех
или иных характеристик СМО в достаточно удаленный от начала момента
функционирования системы момент времени. В СМО существенное значение
имеет поведение загрузки системы, особенно когда загрузка стремится к
критической. Асимптотический метод применяется, если интенсивность
повторения заявки в системах с повторными вызовами стремится к нулю. Во
всех случаях можно найти асимптотическую плотность распределения
вероятностей основных стохастических параметров, обусловливающих
функционирование исследуемой системы.
В качестве предельных процессов в теории массового обслуживания чаще
других возникают диффузионные марковские процессы [6].
Предложенный метод анализа марковизируемых систем [7] обычно имеет два
этапа. На первом этапе удается определить асимптотическое среднее
исследуемых характеристик системы, а на втором – распределение
вероятностей значений отклонений рассматриваемых характеристик от их
асимптотических средних.
1. Исследование нестационарной сети случайного доступа с динамическим
протоколом в условиях большой загрузки
Рассмотрим спутниковую сеть связи, управляемую динамическим протоколом
случайного множественного доступа с оповещением о конфликте. Архитектура
такой сети состоит из большого числа территориально-распределенных
абонентских станций (АС), которые передают сообщения через
геостационарный спутник-ретранслятор. Так как спутниковый канал связи
совместно используют все АС, то возможно совпадение времени ретрансляции
сообщений от двух или более АС, при этом сообщения искажаются и требуют
повторной передачи. Такая ситуация называется конфликтом.
Предполагается, что спутник-ретранслятор имеет возможность обнаружения
возникающих конфликтов и реализации сигнала оповещения. Абонентские
станции способны воспринимать (идентифицировать) сигнал оповещения о
конфликте, так, чтобы в каждой АС по прошествии заданного времени
распространения сигнала можно было определить, правильно приняты
переданные сообщения или нет.
Сообщения, поступающие на спутник-ретранслятор во время распространения
сигнала оповещения о конфликте, считаются искаженными. Все искаженные
сообщения поступают в источник повторных вызовов (ИПВ). После
определения АС того, что посланное сообщение попало в конфликт, АС
производит случайную задержку, после которой вновь реализует передачу. В
динамическом протоколе предлагается использовать случайную задержку
повторной попытки, распределенную экспоненциально с параметром,
зависящим от количества сообщений, находящихся в ИПВ. Динамические
протоколы, как правило, не реализуемы. Но могут приближенно оценивать
функционирование адаптивных протоколов, в которых количество заявок в
ИПВ заменяется некоторым оценочным числом.
В качестве математической модели сети связи, управляемой динамическим
протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте,
рассмотрим однолинейную СМО. Прибор (спутник-ретранслятор) может
находиться в одном из трех состояний:
Каждая заявка в момент поступления в систему встает на прибор и
немедленно начинает обслуживаться. Если за время ее обслуживания другие
заявки не поступали, то она после окончания обслуживания покидает
систему и в дальнейшем не рассматривается. Если же за время ее
обслуживания поступает другая заявка, то возникает конфликтная ситуация
и начинается этап оповещения о конфликте, длительность которого
распределена по экспоненциальному закону.
(i – число заявок в ИПВ в момент времени t), и могут вновь попасть в
конфликтные передачи. После успешной передачи заявка покидает систему.
, как для первичных, так и для повторных вызовов.
. Структура такой СМО имеет вид рис. 1.1.
с бесконечным числом состояний.
Рис. 1.1 – Модель системы массового обслуживания
Математическая модель исследуемого протокола множественного доступа
построена, проведем ее анализ, получим аналитические выражения,
определяющие зависимости для основных ее характеристик.
введем следующие обозначения
,
вероятность того, что в момент времени t прибор находится в состоянии k
и в ИПВ находится i заявок.
.
состояние системы может измениться таким образом (рис. 1.2):
;
;
состояние системы не изменится.
возможны следующие переходы (рис. 1.3):
;
;
;
состояние системы не изменится.
(рис. 1.4):
;
;
состояние системы не изменится.
.
состояний системы:
следовательно, в нестационарном режиме, эти вероятности удовлетворяют
системе дифференциально-разностных уравнений
,
, (1.1)
,
,
, для которых в системе существует стационарный режим).
.
Тогда систему (1.1) перепишем
,
, (1.2)
Получим вид решения системы (1.2), которую будем решать в три этапа.
. Будем иметь
,
, (1.3)
.
и получим
,
, (1.4)
.
– асимптотическая плотность распределения вероятностей нормированного
числа заявок в ИПВ.
Введем обозначения
(1.5)
и выглядят так
(1.6)
.
. Для этого перейдем ко второму этапу.
в следующем виде
, (1.7)
(ограничиваясь двумя слагаемыми), будем иметь
,
, (1.8)
. Получим
,
(1.9)
такого вида
,
, (1.10)
Нетрудно заметить, что ранг матрицы однородной системы алгебраических
уравнений, соответствующей (1.10) равен двум. Следовательно, для того,
чтобы система была разрешима, необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы
этой системы был равен двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство
. (1.11)
С учетом того, что
равенство (1.11) принимает вид
. (1.12)
, т. е. пропускная способность исследуемой сети связи равна
асимптотической вероятности того, что обслуживающий прибор
«обслуживает», на рис. 1.5 продемонстрирован этот результат.
Рис. 1.5
Таким образом, мы выяснили, что система (1.10) разрешима. Ее решение
можно записать так
,
– произвольная функция, (1.13)
.
Перейдем к третьему этапу.
, получим
,
(1.14)
, получим
(1.15)
(1.16)
получим уравнение Фоккера-Планка
, (1.17)
где
и свойств этой функции уравнение (1.17) приобретет вид
(1.18)
записывается следующим образом
(1.19)
, это не удается сделать.
Предположим, что сеть связи функционирует в стационарном режиме, тогда
(1.17) перепишется в виде
(1.20)
имеет вид
(1.21)
2. Исследование неоднородной нестационарной сети случайного доступа с
динамическим протоколом в условиях перегрузки
, где Т – некоторый интервал времени, в течение которого функционирует
сеть связи. Структура сети изображена на рис. 2.1.
Рис. 2.1 – Модель системы массового обслуживания
В нестационарном режиме распределение
удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений вида
(2.1)
.
.
.
Первое приближение
.
Тогда уравнения (2.1) перепишем
(2.2)
Решим систему уравнений (2.2) в два этапа.
будем иметь
(2.3)
.
и получим
(2.4)
асимптотическая плотность распределения нормированного числа заявок в
источнике повторных вызовов.
Обозначим
(2.5)
(2.6)
.
, для этого перейдем ко второму этапу.
, получим
(2.7)
Просуммируем левые и правые части уравнений системы (2.7) и получим
равенство
. (2.8)
С учетом того, что
равенство (2.8) принимает вид
. (2.9)
Уравнение (2.9) является однородным линейным уравнением с частными
производными первого порядка. Для того чтобы его решить составим
уравнение
,
Общее решение уравнения (2.9) имеет вид
, (2.10)
– произвольная дифференцируемая функция, аналитическое выражение
которой найдем из начальных условий.
– число заявок в источнике повторных вызовов в начальный момент
времени.
.
имеет смысл асимптотического среднего.
Из приведенных рассуждений вытекает еще одно важное следствие, а именно
совпадает с пропускной способностью системы.
Перейдем ко второму приближению, в котором будем искать распределение
отклонения от асимптотического среднего.
Второе приближение
.
. С учетом этого система (2.1) примет вид
(2.11)
Решение системы уравнений (2.11) аналогично решению системы (2.2), но
проводится в три этапа.
, получим
(2.12)
.
, получим
(2.13)
асимптотическая плотность распределения отклонения числа заявок в
источнике повторных вызовов от асимптотического среднего.
в форме
(2.14)
. Получим
(2.15)
вида
,
, (2.16)
Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость и
ранг матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений
(2.16)существовало, необходимо выполнение равенства
(2.17)
известна, решение можно записать в виде
,
(2.18)
. Перейдем к третьему этапу.
, получим
(2.19)
в форме (2.14) и просуммируем левые и правые части уравнений, будем
иметь
(2.20)
уравнение Фоккера-Планка
, (2.21)
где
Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8]
является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым
средним и дисперсией
. (2.22)
3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим
протоколом в условиях большой задержки
. Структура такой СМО имеет вид рис. 3.1.
Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания
показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.
, описывающего функционирование сети
(3.1)
.
Первое приближение
.
. Тогда система (3.1) примет вид
(3.2)
Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.
, будем иметь
(3.3)
.
и получим
(3.4)
– асимптотическая плотность нормированного числа заявок в источнике
повторных вызовов.
Обозначим
(3.5)
Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства
(3.6)
.
. Для этого перейдем ко второму этапу.
, получим систему
(3.7)
. Тогда будем иметь
. (3.8)
С учетом того, что
равенство (3.8) принимает вид
. (3.9)
.
Второе приближение
–
4
8
:
R
T
l
n
r
?
?
E_
hT)P h{z
h?w·CJ aJ h{z
8
:
T
l
n
p
r
?
c
o
aR
O
????????????B
????????????P??
c
?
e
i
?
o
,6”??AEOeUUeTHu2
P
R
b
–
A
AE
I
?
O
i
gdAE!
B
?AE…AE h•
hue8 hue
hue
hue
hue
j hue
hue
??
???????????????????’? ???? ??
gdAt?
gdxhj
qi hI
$
„o
^„o
qi
qi
hB
ha
h
jeW h
j*
dh`„Aea$gdy}z
dh@&`„?a$gdAd?
gdAd?
gdAd?
`„Aegdy}z
hAd?CJ aJ ! h
j
$
dha$gdAd?
j
j
j
¶
jHR h?@
j(O h?@
hAd?CJ aJ ! h
jET h?@
j
$
o
$
o
j
ja” hFP
dh^„`„?gdAd?
jyU h«
jmae h«
j©
j?
?CJ aJ ! h
?CJ aJ ! h
h?@
h?@
.
.
Будем иметь
(3.10)
Решение системы (3.10) аналогично решению системы (3.2), но проводится
в три этапа.
и найдем решение в виде
(3.11)
– асимптотическое распределение нормированного числа заявок в
источнике повторных вызовов в окрестности асимптотического среднего.
Перейдем ко второму этапу.
форме
(3.12)
и для них справедливы равенства (3.7).
.
(3.10) запишем
(3.13)
вида
,
, (3.14)
известна, решение системы (3.14) можно записать так
(3.15)
Перейдем к третьему этапу.
уравнения (3.10) запишем следующим образом
(3.16)
(3.17)
получим уравнение Фоккера-Планка
(3.18)
и коэффициентом диффузии
.
в общей форме
, (3.19)
– винеровский процесс с нулевым средним и единичным коэффициентом
диффузии, в нашем случае оно приобретает вид
. (3.20)
, (3.21)
для его приращения справедливо
.
) и получим
(3.22)
. Учитывая свойства винеровского процесса, получим
(3.23)
Найдем дисперсию.
, тогда получим
будем иметь
Тогда в окончательном варианте дисперсия равна
(3.24)
Теперь можно записать решение уравнения Фоккера-Планка (3.18), которое
имеет вид
(3.25)
, которая определяется конечным уравнением
, (3.26)
.
Возможны три варианта:
, тогда точек покоя не существует (рис. 3.5).
.
.
распределение нормированного числа заявок в ИПВ является нормальным
[1] и имеет вид
, (3.27)
Рис. 3.5
Рис. 3.6
Рис. 3.7
4. Исследование стационарного режима в сети с динамическим протоколом
случайного множественного доступа для конечного числа станций
Рассматривается сеть связи, состоящая из конечного числа малых
абонентских станций, центральной станции и спутника ретранслятора.
Спутник, приняв сообщение от периферийной станции передает его на
центральную. Так как спутниковый канал связи совместно используют все
станции, то возможно совпадение времени ретрансляции сообщений, при этом
сообщения искажаются (попадают в конфликт) и требуют повторной передачи.
Архитектура подобных сетей связи позволяет реализовать протоколы
случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, в которых
для избежания искажения других сообщений, центральной станцией
рассылается сигнал оповещения о конфликте. Сообщения, попавшие в
конфликт, должны будут переданы абонентскими станциями повторно после
случайной задержки для избежания повторных конфликтов.
, если обслуживающий канал осуществляет успешную передачу.
) распределенную задержку. Структура такой СМО имеет вид рис. 4.1.
Рис. 4.1 – Модель системы массового обслуживания
.
описывает состояние обслуживающего канала в момент времени t и
принимает три значения:
показывает число заявок в ИПВ в момент времени t .
.
состояние системы может измениться таким образом:
;
;
состояние системы не изменится.
возможны следующие переходы:
;
;
к прибору обратится одна из заявок с ИПВ, произойдет конфликт, и обе
заявки переместятся в ИПВ, следовательно,
;
состояние системы не изменится.
:
;
;
состояние системы не изменится.
.
является марковским, распределение которого
в стационарном режиме удовлетворяет системе уравнений
(4.1)
4.1. Асимптотический анализ распределения вероятностей состояний сети
.
Первое приближение
. В новых обозначениях система (4.1) примет вид
(4.2)
Получим вид решения системы (4.2), которую будем решать в два этапа.
. Тогда система (4.2) перейдет в систему
(4.3)
решение которой имеет вид
(4.4)
– асимптотическая плотность распределения вероятностей нормированного
числа заявок в ИПВ.
, для этого перейдем ко второму этапу.
, получим
(4.5)
Сложив все уравнения системы, будем иметь
(4.6)
, прейдем к такому равенству
(4.7)
в форме (4.4) и получим
(4.8)
следовательно
(4.9)
где С – некоторая постоянная.
может принимать какое-либо ненулевое значение лишь в тех точках, в
которых выражение в скобках равно нулю.
, везде равную нулю, за исключением точек, являющихся корнями уравнения
после преобразований это выражение принимает вид
(4.10)
. Этим условиям удовлетворяет лишь функция вида
,
.
, и в ее окрестности достаточно долго флуктуируют значения этого
процесса. В этом случае назовем сеть моностабильной.
Второе приближение
.
В новых обозначениях система (4.1) примет вид
(4.11)
Систему (4.11) будем решать в три этапа.
, тогда система (4.11) перейдет в систему
(4.12)
решение которой имеет вид
(4.13)
– корня уравнения (4.10).
.
будем искать в форме
(4.14)
(4.15)
.
, получим
(4.16)
по формуле (4.14), при этом учитываем, что из системы (4.12) следуют
равенства
(4.17)
известна) вида
(4.18)
Заметим, что ранг соответствующей однородной системы равен двум.
Следовательно, для того, чтобы решение системы (4.18) существовало,
необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы также равнялся
двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство
(4.19)
откуда следует, что
(4.20)
, получим
(4.21)
известна, то решение системы (4.18) примет вид
(4.22)
, будем иметь
(4.23)
Сложив левые и правые части системы уравнений (4.23) получим
(4.24)
получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида
(4.25)
где
(4.26)
Решение уравнения (4.25) можно найти в виде
(4.27)
4.2. Численный метод анализа распределения вероятностей
. В силу конечности числа АС это удается сделать.
.
:
;
не поступят заявки, и состояние системы не изменится.
:
;
не поступят заявки из внешнего источника и из ИПВ, и состояние системы
не изменится.
:
;
ни одна из них не обратится к прибору и состояние системы не
изменится;
Теперь можно записать конечно-разностные уравнения
(4.28)
,
которые в стационарном режиме принимают вид
,
, (4.29)
.
уравнения, которые имеют вид
(4.30)
(4.31)
Кроме того, должно выполняться условие нормировки
(4.33)
Решение системы уравнений (4.30) – (4.32), удовлетворяющее условию
нормировки (4.33) можно записать следующим образом
(4.34)
4.3. Определение области применимости асимптотических формул по
результатам численного анализа
Таким образом, исходная система уравнений (4.1), описывающая состояние
исследуемой сети связи, была исследована численно и аналитически с
использованием асимптотического метода.
наблюдается качественное отличие результатов численного исследования
исходной системы. Объяснить это, используя только численный метод, очень
сложно.
предполагаемая аналитическим исследованием, прослеживается для
численного решения системы, то есть аналитические выкладки
подтверждаются точным численным решением системы (рис. 4.4, рис. 4.5,
рис. 4.6). Доказательством неплохого совпадения результатов исследований
служат таблицы вероятностно-временных характеристик системы.
Вероятностно-временные характеристики:
– среднее число требований в системе, определяется по формуле
(4.35)
, (4.36)
.
Формула (4.35) используется при численном исследовании, при
аналитическом исследовании используется формула (4.36).
используется формула
, (4.37)
определяется по формуле (4.35) или (4.36) в зависимости от метода
исследования.
– среднее число попыток до успешной передачи сообщения, определятся по
формуле
. (4.38)
– среднее время доставки сообщения, по теореме Литла определяется по
формуле
. (4.39)
– производительность сети, определяется по формуле
. (4.40)
– вероятность успешной передачи сообщения с нулевым временем ожидания,
определяется по формуле
(4.41)
Таблица 1. Вероятностно-временные характеристики
0,22 0,241 0,242 0,251
Таблица 2. Вероятностно-временные характеристики
0,341 0,342
Таким образом, используя полученную информацию об исследовании системы,
мы можем управлять ее функционированием, добиваясь нужных нам
характеристик путем изменения параметров, влияющих на состояние системы.
Численное исследование позволило установить следующее: в системе,
построенной на основе протокола с оповещением о конфликте для конечного
числа АС можно пренебречь различием предельной и допредельной моделей.
Заключение
В данной работе проведено исследование функционирования нестационарных
сетей связи случайного доступа с оповещением о конфликте для конечного и
бесконечного числа абонентских станций. Рассмотрен динамический и
статический протокол случайного множественного доступа.
В первом разделе проведено исследование нестационарной сети случайного
доступа с динамическим протоколом в условиях большой загрузки.
Определена точная верхняя граница загрузки сети, при которой существует
стационарный режим. Исследование показало, что плотность распределения
нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов удовлетворяет
уравнению Фоккера-Планка с постоянными коэффициентами. Предложен метод
его решения с помощью преобразования Лапласа.
Во втором разделе проведено исследование неоднородной нестационарной
сети случайного доступа с динамическим протоколом в условиях перегрузки.
В первом приближении получено асимптотическое среднее, во втором
распределение отклонения в окрестности асимптотического среднего,
которое удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка с нулевым коэффициентом
переноса и является нормальным.
В третьем разделе проведено исследование нестационарной сети случайного
доступа со статическим протоколом в условиях большой задержки. В первом
приближении получено асимптотическое среднее, во втором распределение
отклонения в окрестности асимптотического среднего, которое
удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка и является нормальным.
Рассмотрены точки покоя.
В четвертом разделе исследовано функционирование сети случайного
множественного доступа с динамическим протоколом для конечного числа
абонентских станций. В п. 4.1. изложены два этапа асимптотического
анализа. На первом этапе удалось определить асимптотическую «предельную»
точку, в окрестности которой «концентрируется» искомая плотность
распределения вероятности, а на втором этапе – нашли распределение
отклонения в окрестности «предельной» точки. На этом этапе получено
асимптотически нормальное распределение, что является аналогом известных
в теории вероятностей законов больших чисел и центральных предельных
теорем. Особенностью рассматриваемой СМО, является то, что
алгебраические уравнения, описывающие ее функционирование, имеют точное
численное решение, которое изложено в п. 4.2. Поэтому в п. 4.3.
проводится аналогия между численным и асимптотическим решением и
определяется область применимости асимптотических формул.
Список использованной литературы
Радюк Л.Е., Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов –
учебное пособие. Томск: Издательство Томского университета, 1988.
Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового
обслуживания. М: Наука, 1987.
Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М: Мир, 1979.
Кениг Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания. М: Радио и
связь, 1981.
Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания.
М: Наука, 1980.
Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения.
Киев: Наукова думка, 1968.
Назаров А. А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск:
Издательство Томского университета, 1991.
Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. М: Наука,
1969.
Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения .М:
Советское радио, 1971.
Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М: Наука, 1966.
Ги К. Введение в локальные вычислительные сети. М: Радио и связь, 1986.
Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных. М: Мир, 1989.
Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения.
М: Наука, 1969.
Шохор С. Л. Математические модели локальных вычислительных сетей с
динамическими протоколами случайного множественного доступа и их
исследование//Автореферат диссертации. Томск, 2001.
Одышев Ю. Д. Исследование сетей связи, управляемых протоколом случайного
множественного доступа «Адаптивная АЛОХА»//Автореферат диссертации.
Томск, 2001.
Туенбаева А. Н. Исследование математических моделей сетей связи со
статическими протоколами случайного множественного доступа//Автореферат
диссертации. Томск, 2001.
PAGE
PAGE 6
i
(
S
G
(
i
i
(
N
i
(4.32)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
