Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования
элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные
тригонометрические функции.
Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их
графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
y = arcsin(1/x)
Д(f): | 1/x | ? 1 ,
| x | ? 1 ,
( – ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
Функция нечетная
( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )
Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и
y є [-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)
Д(f): ( – ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
Д(f): [-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]
f(x) возрастает на пр. [-1;0]
Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0.
f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0.
Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( – ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух
промежутках:
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )
u=1/(x2-1) -1 ? + ?
y=arctg(u) – ?/4 ? ?/2
Тригонометрические операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются
алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения
какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций
получается алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций:
sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x
(справедливо только для x є [-1;1] )
tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x
(справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:
y=x и y=sin(arcsin(x))
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших
тригонометрических операций над аркфункциями.
Аргумент
1 / x x
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи
рассуждений, приведенных ниже:
Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x)
, на которой косинус неотрицательный.
Значит, имеем
следует:
Имеем
Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством
выведения формул.
Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:
Пример №3. Пользуясь …
Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
Пример №5. Положив в формулах
, получим:
Получим:
принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.
Соотношения между аркфункциями
Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими
из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из
соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того
же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся
преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же
полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (-?/2;
?/2).
имеет синус, равный sin? и заключена, так же как и ?, в интервале
(-?/2; ?/2), следовательно
Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса:
А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы
быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
Так, например:
Аналогично:
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых
содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
через арктангенс.
, тогда
и расположена в интервале (-?/2; ?/2).
имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2; ?/2).
Следовательно,
(1)
(в интервале ( -1 : 1 )
через арксинус.
(2)
следует тождество
(3)
Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в
различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и
арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение
тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция
(дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при
помощи любой аркфункции; так, например,
Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть
выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит
либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может
быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит
другому (из этих двух) промежутку.
не может быть значением арксинуса. В этом случае
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых
выбираются в различных полуокружностях.
Выражение арксинуса через арккосинус.
это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае
, т.е. число неотрицательное.
Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X0, и
Таким образом, имеем окончательно:
, (4)
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон
соответствия можно выразить следующим образом:
имеем:
, то
Таким образом:
(5)
Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
имеем:
Если же х0 (8)
,если x0 равенство (8) легко установить; если же x0 (11)
, если x0
-? , если x 0, y > 0 для дуги ? имеет место одна из следующих двух систем
неравенств:
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от
другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
в случае б)
(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и
достаточными признаками наличия данных соотношений.
, получим:
или
Откуда
Наличие случая 1 при x 1, xy > 1 (5)
; x 1
При xy=1 не имеет смысла
6.
; xy > -1
; x > 0, xy 1 (9)
; x
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
