Исследовательская работа
по математике
Тема:
Алгебраическое и графическое решение уравнений,
содержащих модули
ученика 10 класса
Палдиской Русской гимназии
Гаврилова Александра
учитель: Сокольская Т.Н.
Палдиски 2003 год.
Содержание:
1.Введение………………………………………………………….4
2.Понятия и определения………………………………………….4
3.Доказательство теорем…………………………………………..5
4.Способы решение уравнений, содержащих модуль……………6
4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и
квадратами…………………………………………………………12
4.2.Использование геометрической интерпритации модуля для решения
уравнений…………………………………………………………..14
4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины.
………………………………………………………………………15
4.4.Решение нестандартных уравнения, содержащие модуль….16
5.Заключение……………………………………………………….22
6.Список использованной литературы……………………………23
Цель работы: хотя уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с
6-го – 7-го класса, где они проходят самые азы уравнений с модулями. Я
выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более
глубокого и досканального исследования. Я хочу получить более широкие
знания о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих
знак абсолютной величины.
1. Введение:
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе
означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество
значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре,
физике, технике, програмировании и других точных науках.
В архитектуре-это исходная еденица измерения, устанавливаемая для
данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных
соотношений его составных элементов.
В технике-это термин, применяемый в различных облостях техники, не
имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных
коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и
.т.п.
Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в
материале к относительному удлинению.
2. Понятия и определения
Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с
простейшими определениями, которые мне будут необходимы:
Уравнение-это равенство, сродержащее переменные.
Уравнение с модулем-это уравнение, содержащие переменную под знаком
абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что
корней нет.
В математике модуль имеет несколько значений, но в моей
исследовательской работе я возьму лишь одно:
Модуль-абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета
до точки на числовой прямой.
3. Доказательство теорем
Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a,
если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:
равна большему из двух чисел a или -a.
Доказательство
1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a ` >BAe&
3/4
u gdeqo
gd?bm
gd?bm
G
gd?bm
„?^„?gdOrK
gd?bm
gdOrK
gd3/46·
„?^„?gd?$S
& 24=0|(:-1)
3×2 – 22x + 24=0
D/4=121-3 ? 24=121 – 72=49>0 ?уравнение имеет 2 различных корня.
x1=(11 – 7 )/3=11/3
x2=(11 + 7 )/3=6
Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа
11/3 и 6
Ответ: x1=6, x2=11/3
Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2=(x – 1)2.
Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по
образцу предыдущего примера(и по соотношению (1)):
2х + 3=х – 1 или 2х +
3=-х + 1
2х – х=-1 – 3
2х+ х=1 – 3
х=-4
х=-0,(6)
Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)
Ответ: х1=-4, х2=0,(6)
Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|
Пользуясь соотношением (1), получим:
х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2
– 5х + 9)
-х2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x2 +
5x – 9
x2 – 6x + 15=0 x2 –
4x + 3=0
D=36 – 4 ? 15=36 – 60= -24 0?2 р.к.
? корней нет.
x1=(4- 2 ) /2=1
x2=(4 + 2 ) /2=3
Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 ? 1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 ? 3 +
9|
5 = 5(И) 3
= |9 – 15 + 9|
3 = 3(И)
Ответ: x1=1; x2=3
4.2.Использование геометрической интерпритации модуля для решения
уравнений.
Геометрический смысл модуля разности величин-это расстояние между ними.
Например, геометрический смысл выражения |x – a | -длина отрезка
координатной оси, соединяющей точки с абсцисами а и х . Перевод
алгеб-раической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать
громоздких решений.
Пример7. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием
геометрической интерпритации модуля.
Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической
интерпри-тации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму
расстояний от некторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с
абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка
[1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого
отрезка- нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является
отрезок [1; 2].
Ответ: х ? [1; 2]
Пример8. Решим уравнение |x – 1| – |x – 2|=1 1 с использованием
геометрической интерпритации модуля.
Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что
разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для
точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно
решением данного уравнения будет являтся не отрезок, заключенный между
точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в
положительном направлении оси ОХ.
Ответ: х ?[2; +?)
Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные
переходы:
|x – a| + |x – b|=b – a, где b ? a ? a ? x ? b
|x – a| – |x – b|=b – a, где b ? a ? x ? b
4.3. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины
Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных
выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких
функций, не раскрывая модули ( что особенно важно, когда модулей
достаточно много ): “Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений
представляет собой кусочно- линейную функцию, график которой состоит из
n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2
точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений,
ещё одна — произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих
корней и последняя — с абсциссой, большей большего из корней.
Например:
1)f(x)=|x – 1| Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график,
состоящий из двух отрезков(рис.1)
2) f(x)=|x – 1| + |x – 2| Вычисляя значение функиции в точках с
абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков
прямых.(рис.2)
3) f(x)=|x – 1| + |x – 2| + |x – 3| Для построения графика вычислим
значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3)
4) f(x)=|x – 1| – |x – 2| График разности строится аналогично графику
суммы, тоесть по точкам 1, 2, 0 и 3.
рис1. рис2. рис3.
рис4.
4.4.Решение нестандартных уравнений, содержащих модули.
Пример9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.
Решение.
Рассмотрим два случая.
Ответ: (– 4; – 1).
Пример10. Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.
Решение.
Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.
2)
3)
Ответ: 3.
Графический способ.
Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x–4 |
1)в Гy = |(x–1)(x–3)| подставим значение х=1 и х=3. Мы получим у=0,
тоесть пересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у=3, тоесть
график пересекается с осью ОУ в точке (0 ;3). И при х=4 у также равен 3-
мы получили первый график.
2) y=1–|x–4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое
уравнение: 1-|x-4|=0
|x-4|=1
x – 4=1 или x – 4=-1
x=5
x=3
Следовательно данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.
При х=4 у=1 и ак видно из графика: графики обеих функций пересекаются в
одной точке 3
Ответ: 3
Пример11. Решить уравнение | x2 + 3x | = 2(x + 1).
Решение.
Уравнение равносильно системе
Пример12.Решить уравнение х2 – 4х +|x – 3| +3=0
Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую
на две области и будем искать решения исходного уравнения в каждой из
этих областей отдельно:
__________x ?3__________________|____________x 0?два различ. корня
x=0 –посторонний корень, так как x1= (5- 1 )/2 =2
не удовлетворяет промежутку. x2=(5 + 1)/2=3
x=3 –
посторонний корень, так как
не
удовлетворяет промежутку.
Значит, исходное уравнение имеет два решения х1=2 и х2=3
Ответ: х1=2, х2=3
Пример13. Решить уравнение | 2x + 8 | – | x – 5 | = 12.
Решение.
Раскрытие пары модулей приводит к трем случаям (без x + 4 ? 0, x – 5??
0).
Ответ: {– 25; 3}.
Пример 14. Решить уравнение .
Решение:
Напишем равносильную смешанную систему:
Ответ: х=-4
Пример 15 Решить графически уравнение |1 – x| – |2x + 3| + x + 4=0
Решение:
Представим уравнение в виде |1 – x| – |2x + 3| =-х – 4
Построим два графика у=|1 – x| – |2x + 3| и у=-х – 4
1) у=|1 – x| – |2x + 3|
Критические точки: х=1, х=-1.5
(1 – х) ________+________|______ +____________|_____-______ >
(2х +3) – -1.5 +
1 +
а) х0 и (2х + 3)0 и (2x +3) ?0, т.е функция примет вид
у=1 – х – 2х -3, у=-3х – 2 –графиком является прямая, проходящая через
две точки (0; -2), (-1; 1).
в)При х??1, (1 – х)??0 и (2х + 3)>0, т.е. функция примет вид у= -1 + х –
2х – 3,
у= -х – 4 –графиком является прямая, проходящая через две точки (0; -4),
(-4; 0).
График функции у= – х – 4 совпадает с графиком у=|1 – x| – |2x + 3|, при
х??1,
Поэтому решением являются все х??1 и х= -4
Ответ: х??1,х= -4
Аналитическое решение.
y=|1 – x| – |2x + 3|
y=-x – 4
Построим числовую прямую так, чтобы по определению модуля знак
абсолютной величины числа можно будет снять. Для этого найдем
критические точки: 1- х=0 и 2х – 3 =0,
х=1 х=-1,5
___________х
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
