Введение
Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно
возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории
множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории
множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для
обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга
своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те
фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе
опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в
основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем
пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила
достаточной основой для построения современной математики.
§1. Система аксиом
понимается как символ отношения принадлежности.
Следующим образом определим равенство:
.
Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят
из одних и тех же элементов.
(включение).
Y & X ? Y (собственное включение).
Из этих определений легко следует
Предложение 1.
X);
Х = Х;
Y = Х;
Х = Z);
Y).
Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая
формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми
дополнительными определениями. Предварительно, однако, отметим, что в
той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями
переменных являются классы. Классы — это совокупности, соответствующие
некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые
фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти
аксиомы обеспечивают нам существование необходимых в математике классов
и являются, достаточно скромными, чтобы из них нельзя было вывести
противоречие). (Эта «интерпретация» столь же неточна, как и понятия
«совокупность», «свойство» и т. д.)
Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь
класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.
Y) (X есть множество).
M(X) (X есть собственный класс).
В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят
теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в
том, что некоторые классы не являются множествами. Множества
предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми
математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как
собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые,
если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других
классов), порождают противоречия.
Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о предметах.
Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не
нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул.
Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах
одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает
необходимость привлечения «неклассов», то незначительная модификация
системы NBG позволяет применить ее равным образом как к классам, так и к
«неклассам» (Мостовский [1939]).
A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого
множества». Заметим, что употребленная в этом определении переменная X
должна быть отличной от переменных, входящих в A (x1). (Как и обычно,
буквы х, y, z, … будут употребляться для обозначения произвольных
переменных для множеств.)
ZA (X, х, y, Z) служит сокращением для
ZA (X, Xj, Y, Z))).
Z).
Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с
равенством.
u = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое,
что х и у являются единственными его элементами.
х), т. е. существует множество, не содержащее никаких элементов.
Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь
единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.
х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиняв ее
следующему условию.
0).
Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то
можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозначения
неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х,
у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух
классов Х и Y, а не только для множеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если
один из классов X, Y не является множеством. Можно доказать, что
M(Y))&Z=0)).
Этим оправдано введение пары {X, Y}:
M(Y)) & {X, Y} = 0).
y (M({х, у})).
называется упорядоченной парой классов Х и Y.
Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно
является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский)
определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать
следующее предложение, выражающее характеристическое свойство
упорядоченных пар.
Предложение 3.
).
{{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же
образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y}
= {u}, то х = и = у = v, в противном случае {и, v} = {х, у} и,
следовательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ? u, то y = v, если же v
= u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.
Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упорядоченной
n-ки.
Определение
= Х,
Так, например,
NBG опускается.
Нетрудно доказать следующее обобщение предложения 3:
Аксиомы существования классов.
Эти аксиомы утверждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами,
существуют соответствующие классы всех множеств, обладающих этими
свойствами.
– отношение).
Y)
(пересечение).
X) (дополнение).
X)) (область
определения).
X).
X).
X).
С помощью аксиом В2—В4 можно доказать
Y),
x),
X)).
Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ?, ?, D.
Определения
Y) (пересечение классов Х и Y).
X) (дополнение к классу X).
X)) (область определения класса X).
(объединение классов Х и Y).
(универсальный класс).
Общая теорема о существовании классов.
Предложение 4. Пусть ? (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, переменные
которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую формулу
предикативной, если в ней связными являются только переменные для
множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью
принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,…,
Ym)
? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических
связок и кванторов, входящих в формулу ? (записанную с ограниченными
переменными для множеств).
Yi, где 1 ? i hooa ae i a ae ae e e i i ? o o oe o u ue th h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h! h ???????!?? hbU hbU hbU hbU hbU hbU ? ?? h jE hAe hAe hAe hAe hAe hAe hAe ????????ства класса Y. Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.) Y). Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они. (Y): объединение всех элементов класса Y) )). )). (Отношение тождества.) Следствие. Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ? Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности. | ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)}). обратным отношением класса Y. ). Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы. А к с и о м а U. (Аксиома объединения.) x)). v. Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества. А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.) x). x (M(P (х))). Примеры. P (0) = {0}. P ({0}) = {0, {0}}. P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}. Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая аксиома выделения. А к с и о м а S. Y). Y (M (x ? Y)), т. е. пересечение множества с классом есть множество. M (Y)) (т. е. подкласс множества есть множество). x (M (Y ? x)). Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответствующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле A(у), есть множество. Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений. Определения y = z). (X однозначен.) V2 & Un (X). (X есть функция.) V). (Ограничение Х областью Y.) ). (X взаимно однозначен.) X, то z = X‘y; в противном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X‘y есть значение этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функциональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соответствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение некоторой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)). X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть область значений класса X, ограниченного областью Y.) А к с и о м а R. (Аксиома замещения.) X))). Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалентное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то область значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множеством, также есть множество. Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных множеств. А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.) x)). х, и при этом 0 ? 1, 0 ? 2, 1 ? 2, 0 ? 3, 1 ? ? 3, 2 ? 3, … Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7. М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти). Определения X) & Rel (X). (X есть иррефлексивное отношение на Y.) Y & X). (X есть транзитивное отношение на Y.) X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y). (X частично упорядочивает Y.) X). X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y). (X упорядочивает Y.) Y & X & X))). (X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.) §2. Аксиома выбора. Лемма Цорна. Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств. Следующие формулы эквивалентны: y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й для х). М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого множества х непустых и попарно непересекающихся множеств, существует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х. u ? y)). y (y We x). x). Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном множестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент. w = y))). Доказательство. x. (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число ?, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа ?, и вполне упорядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х. (х).) {и}. Функция f‘ u = v является искомой выбирающей функцией для х. х, то z должно быть верхней гранью g‘‘ ?, что невозможно.) z. Посредством функции g отношение Е?, вполне упорядочивающее множество ?, преобразуется в некоторое отношение, вполне упорядочивающее z. Заключение Система аксиом теории множеств была создана для решения задачи обоснования базовых положений современной математики. Таким образом существующие разделы математики можно считать a priori непротиворечивыми, поскольку все их доказанные высказывания логически могут быть сведены к аксиомам. В этом отношении аксиоматика выполнила свое предназначение. Список литературы Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984. Ляпин Е. С. Полугруппы. – М.: Физматгиз, 1960. Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. Ю.А. Гастаева и И.Х. Шмаина. Под ред. Ю.А. Шихановича. М.: «Просвещение», 1968. PAGE PAGE 16
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
