.

Движение в центрально-симметричном поле

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 745
Скачать документ

Национальный Технический Университет Украины

«Киевский Политехнический Институт»

Реферат

По курсу: Квантовая Механика

На тему:

« Движение в центрально – симметричном поле »

Выполнил студент

группы ДС-71

Садрицкий Роман.

Киев-1999г.

Содержание:

Движение в центрально-симметричном поле.

Падение частицы на центр.

Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

1.Движение в центрально-симметричном поле.

-расстояние между частицами), имеет вид

(1,1)

:

(1,2)

– радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к
результату:

(1,3)

;

).

Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном
поле имеет вид

(1,4)

Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в
сферических координатах, напишем это уравнение в виде

.

(1,5)

Если ввести сюда оператор квадрата момента:

,

то мы получим

(1,6)

определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно
этому, ищем решения уравнения (1,6) в виде

(1,7)

получаем уравнение

(1,8)

-кратному вырождению уровней по направлениям момента.

Займемся исследованием радиальной части волновых функций.
Подстановкой

(1,9)

уравнение (1,8) приводится к виду

(1,10)

:

(1,11)

в бесконечность.

Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для
одномерного движения в поле с потенциальной энергией

(1,12)

, и члена

,

, определяющееся интегралом

.

. Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют
полный набор физических величин для такого движения.

– магнитным квантовым числом.

частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются
буквами латинского алфавита со следующим соответствием:

(1,13)

.

Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом
будет считать, что

(1,14)

. Подставляя это в уравнение

,

, найдем

.

Отсюда

.

:

. (1,15)

.

2. Падение частицы на центр.

; вид поля вдали от начала координат нас не будет интересовать. Этот
случай – промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные
состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы на начало
координат.

Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае
будет следующим:

(2,1)

– радиальная часть волновой функции), где введена постоянная

(2,2)

предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении
тоже опущен.

квадратное уравнение

с двумя корнями

(2,3)

.

)

(2,4)

решение уравнения

конечное в начале координат, имеет вид

(2,5)

. Это приводит к уравнению

или

.

, это уравнение дает выражение вида

(2,6)

). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений
уравнения Шредингера (2,1) должно быть выбрано то, которое обращается в
бесконечность менее быстро:

.

комплексны:

.

дает

. (2,8)

невозможен. С учетом (2,8) общий вид вещественного решения может быть
написан следующим образом:

. (2,9)

частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат,
т.е. происходит «падение» частицы в центр.

, т.е.

. (2,10)

в нуль.

, замыкающего дискретный спектр, конечен.

имеет на больших расстояниях вид (2,9) с бесконечным числом нулей, так
что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен.

) уровню энергии.

3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

Очень важным случаем движения в центрально-симметричном поле является
движение в кулоновом поле

. Из общих соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных
собственных значений энергии будет дискретным ( с бесконечным числом
уровней ), а спектр положительных энергий – непрерывным.

Уравнение (1,8) для радиальных функций имеет вид

(3,1)

надо подразумевать их приведенную массу.

В вычислениях, связанных с кулоновским полем, удобно пользоваться
вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы
будем называть кулоновскими единицами. Именно, в качестве единиц
измерения массы, длины и времени выберем соответственно

Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет

.

Далее будем пользоваться этими единицами.

Уравнение (3,1) в новых единицах принимает вид

(3,2)

Дискретный спектр.

новые величины:

(3,3)

есть вещественное положительное число. Уравнение (3,2) после
подстановки (3,3) приобретает вид

(3,4)

).

и получаем уравнение

.

Виду этого естественно сделать подстановку

, (3,5)

после чего уравнение (3,4) принимает вид

(3,6)

=0 должно быть конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение
есть вырожденная гипергеометрическая функция

(3,7)

.

должно быть

(3,8)

, находим

(3,9)

, при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных
единицах формула (3,9) имеет следующий вид:

(3,10)

называется главным квантовым числом. Радиальное же квантовое число,
определенное в п.1, равно

.

может принимать значения

(3,11)

– го уровня энергии равна

(3,12)

Волновые функции стационарных состояний определяются формулами
(3,5), (3,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми
значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так
называемыми обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому

.

Радиальные функции должны быть нормированы условием

.

Их окончательный вид следующий:

(3,13)

имеет вид

(3,14)

На больших расстояниях

. (3,15)

.

вычисляются по формуле

.

):

,

. (3,16)

Непрерывный спектр.

).

теперь чисто мнимы:

, (3,17)

. Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид

(3,18)

– нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде
комплексного интеграла

, (3,19)

который берется по контуру ( см. рис ниже ).

этот интеграл приводится к более симметричному виду

(3,20)

вещественны.

(3,21)

равен

(3,22)

( первый член разложения (3,21) ) тогда имеет вид

,

(3,23)

, то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на
бесконечности, наличие этого члена не существенно.

Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного
множителя, может быть выражен через элементарные функции.
Воспользовавшись известными свойствами Г-функций

,

имеем

,

и далее

.

Таким образом,

(3,24)

произведение заменяется на 1 ).

,

сводятся к

Отсюда находим

(3,25)

(3,26)

.

. Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются
непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.

Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому
выражению и в результате получается

,

. (3,27)

имеет вид

,

(3,28)

.

Природа кулонова вырождения.

При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место
специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения

(3,29)

В квантовой механике этой величине отвечает оператор

(3,30)

.

друг с другом и с оператором момента:

. (3,31)

, но некоммутативен с оператором квадрата

. Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с
другими сохраняющимися величинами, , приводит к дополнительному
вырождению уровней, – это и есть специфическое для кулонова поля
«случайное» вырождение дискретных уровней энергии.

Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах
той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению к
пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в
квантовой механике.

. Для них правила коммутации принимают вид

(3,32)

эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов
бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве. Это
и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике.

операторы

. (3,33)

Для них имеем

(3,34)

, находим, после простого вычисления:

,

). Отсюда

.

Обозначив

, (3,35)

.

поле таково, что падения частицы не происходит.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019