Национальный Технический Университет Украины
«Киевский Политехнический Институт»
Реферат
По курсу: Квантовая Механика
На тему:
« Движение в центрально – симметричном поле »
Выполнил студент
группы ДС-71
Садрицкий Роман.
Киев-1999г.
Содержание:
Движение в центрально-симметричном поле.
Падение частицы на центр.
Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).
1.Движение в центрально-симметричном поле.
-расстояние между частицами), имеет вид
(1,1)
:
(1,2)
– радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к
результату:
(1,3)
;
).
Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном
поле имеет вид
(1,4)
Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в
сферических координатах, напишем это уравнение в виде
.
(1,5)
Если ввести сюда оператор квадрата момента:
,
то мы получим
(1,6)
определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно
этому, ищем решения уравнения (1,6) в виде
(1,7)
получаем уравнение
(1,8)
-кратному вырождению уровней по направлениям момента.
Займемся исследованием радиальной части волновых функций.
Подстановкой
(1,9)
уравнение (1,8) приводится к виду
(1,10)
:
(1,11)
в бесконечность.
Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для
одномерного движения в поле с потенциальной энергией
(1,12)
, и члена
,
, определяющееся интегралом
.
. Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют
полный набор физических величин для такого движения.
– магнитным квантовым числом.
частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются
буквами латинского алфавита со следующим соответствием:
(1,13)
.
Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом
будет считать, что
(1,14)
. Подставляя это в уравнение
,
, найдем
.
Отсюда
.
:
. (1,15)
.
2. Падение частицы на центр.
; вид поля вдали от начала координат нас не будет интересовать. Этот
случай – промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные
состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы на начало
координат.
Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае
будет следующим:
(2,1)
– радиальная часть волновой функции), где введена постоянная
(2,2)
предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении
тоже опущен.
квадратное уравнение
с двумя корнями
(2,3)
.
)
(2,4)
решение уравнения
конечное в начале координат, имеет вид
(2,5)
. Это приводит к уравнению
или
.
, это уравнение дает выражение вида
(2,6)
). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений
уравнения Шредингера (2,1) должно быть выбрано то, которое обращается в
бесконечность менее быстро:
.
комплексны:
.
дает
. (2,8)
невозможен. С учетом (2,8) общий вид вещественного решения может быть
написан следующим образом:
. (2,9)
частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат,
т.е. происходит «падение» частицы в центр.
, т.е.
. (2,10)
в нуль.
, замыкающего дискретный спектр, конечен.
имеет на больших расстояниях вид (2,9) с бесконечным числом нулей, так
что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен.
) уровню энергии.
3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).
Очень важным случаем движения в центрально-симметричном поле является
движение в кулоновом поле
. Из общих соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных
собственных значений энергии будет дискретным ( с бесконечным числом
уровней ), а спектр положительных энергий – непрерывным.
Уравнение (1,8) для радиальных функций имеет вид
(3,1)
надо подразумевать их приведенную массу.
В вычислениях, связанных с кулоновским полем, удобно пользоваться
вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы
будем называть кулоновскими единицами. Именно, в качестве единиц
измерения массы, длины и времени выберем соответственно
Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет
.
Далее будем пользоваться этими единицами.
Уравнение (3,1) в новых единицах принимает вид
(3,2)
Дискретный спектр.
новые величины:
(3,3)
есть вещественное положительное число. Уравнение (3,2) после
подстановки (3,3) приобретает вид
(3,4)
).
и получаем уравнение
.
Виду этого естественно сделать подстановку
, (3,5)
после чего уравнение (3,4) принимает вид
(3,6)
=0 должно быть конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение
есть вырожденная гипергеометрическая функция
(3,7)
.
должно быть
(3,8)
, находим
(3,9)
, при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных
единицах формула (3,9) имеет следующий вид:
(3,10)
называется главным квантовым числом. Радиальное же квантовое число,
определенное в п.1, равно
.
может принимать значения
(3,11)
– го уровня энергии равна
(3,12)
Волновые функции стационарных состояний определяются формулами
(3,5), (3,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми
значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так
называемыми обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому
.
Радиальные функции должны быть нормированы условием
.
Их окончательный вид следующий:
(3,13)
имеет вид
(3,14)
На больших расстояниях
. (3,15)
.
вычисляются по формуле
.
):
,
. (3,16)
Непрерывный спектр.
).
теперь чисто мнимы:
, (3,17)
. Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид
(3,18)
– нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде
комплексного интеграла
, (3,19)
который берется по контуру ( см. рис ниже ).
этот интеграл приводится к более симметричному виду
(3,20)
вещественны.
(3,21)
равен
(3,22)
( первый член разложения (3,21) ) тогда имеет вид
,
(3,23)
, то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на
бесконечности, наличие этого члена не существенно.
Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного
множителя, может быть выражен через элементарные функции.
Воспользовавшись известными свойствами Г-функций
,
имеем
,
и далее
.
Таким образом,
(3,24)
произведение заменяется на 1 ).
,
сводятся к
Отсюда находим
(3,25)
(3,26)
.
. Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются
непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.
Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому
выражению и в результате получается
,
. (3,27)
имеет вид
,
(3,28)
.
Природа кулонова вырождения.
При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место
специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения
(3,29)
В квантовой механике этой величине отвечает оператор
(3,30)
.
друг с другом и с оператором момента:
. (3,31)
, но некоммутативен с оператором квадрата
. Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с
другими сохраняющимися величинами, , приводит к дополнительному
вырождению уровней, – это и есть специфическое для кулонова поля
«случайное» вырождение дискретных уровней энергии.
Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах
той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению к
пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в
квантовой механике.
. Для них правила коммутации принимают вид
(3,32)
эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов
бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве. Это
и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике.
операторы
. (3,33)
Для них имеем
(3,34)
, находим, после простого вычисления:
,
). Отсюда
.
Обозначив
, (3,35)
.
поле таково, что падения частицы не происходит.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
