МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім. Ю.Федьковича

Факультет прикладної математики

Кафедра диференційних рівнянь

Вивчення теорії ймовірності та математичної статистики як складова
частина математичної освіти школярів

Дипломна робота

Науковий керівник доцент

Лусте І.П.

Виконавець:

Матійчук О.В.

504 групи

Чернівці

2005 р. Зміст

Вступ. Про засади математичної освіти.

§ 1. Така нова стара проблема.

§ 2. Заради чого необхідно викладати теорію ймовірностей?

§ 3. Експериментальна комбінаторика для молодших школярів.

§ 4. Елементарна стохастика.

§ 5. Уроки з теми “Елементи комбінаторики”:

Урок 1. Тема “Комбінаторне право множення. Перестановки”.

Урок 2. Тема “Комбінаторні задачі”

§ 6. Уроки зрозділу “Математична статистика”:

Урок 1. Тема “Вступ до статистики. Статистичне спостереження, генеральна
сукупність і вибірка”.

Урок 2. Тема “Найпростіші характеристики варіаційних рядів”.

Урок 3. Тема “Полігон і гістограма, медіана і мода”.

Урок 4. Тема “Середнє арифметичне і вибіркова дисперсія”.

Література.

Про засади математичної освіти

Завдання математики — не навчання лічби,

а навчання прийомів

людського мислення під час лічби.

Л. Толстой

Поміркуємо над питаннями, що стосуються цілей, змісту та принципів
шкільної математичної освіти. При цьому будемо виходити з положення про
абсолютну необхідність включення математики до переліку навчальних
дисциплін усіх ступенів середньої школи. Справа полягає не тільки в
тому, що людина в сучасному світі має орієнтуватися у кількісних і
просторових співвідношеннях, виконувати елементарні арифметичні
обчислення, а, й у тому, що вивчення насамперед математики формує
культуру логічного мислення. Ми переконані, що практично кожна нормальна
дитина може опанувати основи математичної розумової діяльності. От що
писав з цього приводу відомий український математик В. Єрмаков:
«Говорять, що для вивчення математики необхідні особливі здібності; ця
думка помилкова; для математики необхідне логічно правильне мислення.
Якщо виховання правильне — ця здібність може бути розвинута у кожної
дитини. Мета шкільного навчання має полягати в розвитку логічно
правильного мислення» [7]

Фахівці з методики викладання математики, які складають навчальні
програми для шкіл різного профілю, часто ставлять запитання про те, які
саме розділи математики необхідні у тій чи іншій професії. У наш час
стрімкого розвитку науки й техніки, нових технологій, коли деякі
професії відмирають, а на їх місці виникають нові, відповісти на це
запитання досить важко. Враховуючи широкий спектр професій, ще важче
передбачити майбутні професії учнів конкретного навчального закладу.
Програми мають забезпечити базову математичну підготовку на випадки
різних професій, у переліку яких має бути й професія математика. У цьому
контексті є слушними такі питання:

• Як відрізнити математика від «нематематика»? Де провести межу між
математиками і «не-математиками»?

• Як формувати математика?

• Чи варто розглядати математику для математиків і спеціалізовану (як-то
фінансова для економістів) для «нематематиків»?

• У якому напрямі слід вести математичну освіту «нематематиків», щоб
вона була ефективною?

Є математики-дослідники, які творять математичну науку, й математики,
які більш-менш успішно застосовують математичні результати й методи,
відкриті іншими. При цьому градація неперервна, немає чіткої межі між
цими математиками. Звичайно, ніхто не створює всі математичні методи,
які він застосовує. Навпаки, ніхто не здатний використовувати не тільки
ефективно, а й просто правильно математичний метод, якщо він його
більшою чи меншою мірою не пере-відкрив (хоча б один раз зрозумів
доведення). Відповідно до цих положень знаходимо дві тенденції у
математичній освіті, які можна виразити такими опозиціями:
вивчати-розуміти, імітувати-творити, викладати математику як закінчену
науку, де немає чого модифікувати, або як динамічну науку,
перевідкриваючи відомі факти разом з учнями. Якісна освіта полягає у
синтезі цих двох тенденцій. Проте догматичне навчання реалізувати на
практиці легше, й тому воно домінує, а домінуючи, вироджується у роздачу
рецептів.

Яскравим прикладом такого догматичного навчання є вивчення елементів
диференціального та інтегрального числення у загальноосвітній школі. Без
детального вивчення поняття границі функції у точці вводиться поняття
похідної. Доведення, які є у підручниках, у реальності, за браком часу,
приносяться у жертву виробленню практичних навичок диференціювання,
дослідження функцій на монотонність та екстремуми, інтегрування,
знаходження площ криволінійних трапецій. Читаємо у статті В.
Гришанова.[4]

«Такая постановка дела во многих случаях не способствует развитию
логического мышления, не побуждает к творческому подходу в процессе
обучения, создает иллюзию возможности принимать на веру многие
неочевидные утверждения.

Названные недостатки в какой-то мере начали проявляться у студентов
вузов, изучающих математику, особенно на первых курсах».

Можливо вивчення цього навчального матеріалу на рівні рецептів
обґрунтоване великим практичним значенням умінь диференціювати,
записувати рівняння дотичних, інтегрувати? Ми не можемо назвати жодної
професії на базі середньої освіти, де б потрібні були ці вміння. У вищій
школі для відповідних спеціальностей диференціальне та інтегральне
числення викладається заново на основі теорії границь, якщо не
створеної, то систематизованої видатним французьким математиком Огюстом
Коші на початку XIX ст. Без такого фундаменту диференціальне та
інтегральне числення у XVII та XVIII ст. було внутрішньо суперечливим,
що викликало нищівну критику з боку філософів [14,119]. Так, Джордж
Берклі після критики «явних софізмів з ньютоновими флюксіями
(похідними)» пише: «Той, хто може перетравити другу або третю флексію…
не повинен, як мені здається, прискіпуватися до будь-чого у богослов’ї».

Рецептурно-догматична метода здається ефективнішою: записали правило,
показали, як розв’язувати певний тип задач — і більшість учнів класу
успішно розв’язують аналогічні задачі, успішно пишуть перевірочні
контрольні роботи, на яких теоретичні знання традиційно не
перевіряються. Утім знання, отримані таким методом, виявляються
нестійкими й швидко забуваються. Для вчителя, який не володіє своїм
предметом на достатньому рівні, рецептурний метод більш прийнятний.
Проте й сильний учитель математики, який викладає догматично з
практичних міркувань, втрачає вміння творчо викладати свій предмет.

На противагу рецептурному методу у творчому методі викладання математики
наголос робиться на розумінні, винахідливості, кмітливості, презентації
математики як науки, що відбувається на очах в учнів, яка корисна вже
тим, що активно використовується в інших навчальних предметах. На
підтримку творчому методу викладання нагадаємо характеризацію
математики, дану видатним українським письменником і поетом, доктором
філософії Іваном Франком[13].

«… математика, або наука про числа і числові відношення. Вона також
зважає тільки на форму тіл і їхнє положення поруч себе, не враховуючи їх
внутрішнього змісту, кольору, ваги і т.д. Це найбільш окрема наука, і
тому її наслідки та закони найточніші. Математика утворює ніби
найпростіший скелет для інших наук, вчить нас найпростіших речей, але
одночасно таких, без яких неможлива жодна інша наука; вчить нас лічити
тіла, пізнавати їх форму, визначати їх ставлення до себе і положення в
просторі. Математика висновує всі свої правила сама із себе і не
потребує допомоги матеріалу іншим наукам служить як допоміжний засіб, як
матеріал”.

Саме та обставина, що «математика висновує всі свої правила сама із
себе» підкреслює внутрішню притаманність творчості математичним
дослідженням. Звідси випливає необхідність творчого методу викладання
математики для майбутніх математиків. Досвід переконує, що цей метод є
більш ефективним для вивчення математики як науки, для виховання
майбутніх творців математики. Але чому ж ми маємо вчити майбутніх
«нематематиків» менш ефективним рецептурним методом? Для цього немає
жодних аргументів. Крім того, у середній школі неможливо визначити та
відокремити майбутніх математиків. Адже далеко не всі здібні до
математики учні стають математиками. Для всіх учнів доцільно
застосовувати найбільш ефективний метод викладання математики — творчий.

Зробимо підсумок викладених вище міркувань у формі стислих відповідей на
поставлені запитання.

• Творче відношення до математики, бачення цієї науки у динаміці
відрізняє математика від «нематематика». Саме різниця у баченні
математики відрізняє перших від других.

• Математик формується систематичним застосуванням творчого методу
викладання математики, коли наголос робиться на розумінні,
винахідливості, кмітливості.

• Спеціалізованість математики полягає у підборі розділів, які необхідні
для конкретної галузі. Але виклад відповідного матеріалу має бути
творчим і внутрішньо вмотивованим, а не рецептурним.

• Найбільш ефективний і доцільний метод викладання математики для всіх
учнів, незалежно від їх майбутньої професії, — творчий.

§ 1. Така нова стара проблема.

Розвиток теорії ймовірностей як науки і розширення сфери її застосування
чинить вплив на формування ймовірнісно-статистичної лінії при викладанні
багатьох предметів, зокрема математики, в загальноосвітній школі вже
протягом понад століття. Так, елементи теорії ймовірностей і статистики
викладалися в школах ряду країн вже в XIX ст. [9] і на початок XX ст.
була складена певна система вивчення цих дисциплін, основним розділом
якої була комбінаторика і окремими питаннями розглядались біном Ньютона
та елементи теорії ймовірностей, як гарна ілюстрація теорії сполук. З
теорії ймовірностей вивчалися поняття: випадкова подія і класична
ймовірність, теореми додавання і множення імовірностей, математичне
сподівання, біноміальний розподіл, закон великих чисел. На закінчення
розглядався розділ про страхування, в якому вводилося поняття
статистичної ймовірності. Приблизно за такою ж схемою планувалося
викладання теорії ймовірностей і в програмах початку XX століття у
розвинутих країнах Західної Європи (за винятком Франції) [12].

У невеликому обсязі елементи теорії ймовірностей і статистики
викладалися також в російських підручниках алгебри XIX ст., наприклад, у
підручниках М. Т. Щеглова і К. Д. Краєвича. Професор Київського
політехнічного інституту, один із засновників Київського математичного
товариства, В. П. Єрмаков у1878 р. видав перший в Україні підручник з
теорії ймовірностей. А у 1884 р. організував випуск першого і єдиного в
Росії науково-популярного видання «Журнал элементарной математики», в
якому не раз з’являлися статті про теорію ймовірностей, адресовані учням
старших класів гімназій, любителям математики, вчителям. У 1896 р. для
читачів, не обізнаних з вищою математикою, видається книжка М. М.
Філіпова «Елементарна теорія ймовірностей». Професор П. О. Некрасов теж
наприкінці XIX ст. рекомендував розв’язувати задачі з області статистики
в середній школі. Про це він говорив, зокрема, у 1899 р. на окружному
з’їзді викладачів у Москві.

На початку XX ст. в Росії у зв’язку з розпочатим рухом за реформу
середньої математичної освіти піднімається питання про внесення до
шкільних програм деяких понять теорії ймовірностей. Як відгук на це,
директор Урюпінського реального училища П. С. Фролов у 1901 р. складає
програму курсу теорії ймовірностей для середньої школи і відповідний їй
підручник. У 1907 р. П. О. Некрасов і П. С. Фролов розробляють проект
програми з математики для гімназій, в який вносять елементи
комбінаторики, теорії ймовірностей і статистики. Проект викликав жваву
полеміку. Розгортаються дебати на І і II Всеросійських з’їздах
викладачів математики. Російська Академія наук створює спеціальну
комісію, якій доручається висловити своє ставлення до даного проекту.
Міністерством народної освіти проект прийнятий не був, однак сьогодні
він представляє цінність, як перший історичний документ, що відображає
боротьбу поглядів учених і викладачів за включення в програму середньої
школи такого розділу, який сприяє формуванню світогляду, збагачує
знаннями з області випадкових явищ, розвиває здібності до логічного
мислення.

Думка про введення елементів теорії ймовірностей і статистики не згасла,
більш того, вона отримала визнання значної частини передових учителів.
Тому природно, що 17 травня 1914 р. Міністерство торгівлі і
промисловості затверджує створену при Міністерстві програму з теорії
ймовірностей для комерційних училищ. У 1915 р. з’являються два
підручники елементів теорії ймовірностей, адресовані цим училищам. І
можна сказати, що в теоретичному плані в Росії були досягнуті більш
відчутні результати, ніж в інших країнах [10]. Україна, хоч і була
поділена в цей час між Росією і Австро-Угорщиною, не залишилась осторонь
реформа горської о руху. Так, у формуванні планів для російських
гімназій активну участь брало Київське фізико-математичне товариство, а
в Галичині (де лишатись лічені школи з українською мовою викладання)
була створена триступенева освіта: нижчий ступінь — І-ІІІ класи,
середній — IV-V класи, вищий — VI-VIII класи гімназій і у VIII класі
вивчалися комбінаторика, елементи теорії ймовірностей, статистика із
застосуванням до теорії життєвого страхування. На відміну від Росії, у
більшості країн Європи теми з математичної статистики в шкільному курсі
математики початку століття не зустрічаються. Деяких понять (наприклад,
середнє арифметичне) торкаються лише у зв’язку з детерміністичними
змінними. Якщо ж мова йшла про випадкову змінну, то не зверталась увага
на її характер, не було співставлення випадкової і детерміністичної
змінних (наприклад, при розгляді діаграм). Однак, результатом першого
періоду руху за реформу математичної освіти стало те, що в 20—30-х роках
викладання елементів теорії ймовірностей впроваджується в школах ряду
країн, як то: Франція, Англія, США, Австрія, Голландія, Швеція,
Швейцарія, країни Балтії.

Стосовно Росії початку радянського періоду, то деякі питання теорії
ймовірностей включатися до проекту програми єдиної трудової школи, який
був створений у 1919 р. Поняття статистики дещо ширше вводилися в
шкільний курс математики у 1924—1932 pp., коли навчання проводилось за
програмами, складеними на засадах комплексної системи. У них
передбачалось іноді викладання і понять теорії ймовірностей [1]. Нова
програма з математики для шкіл, за якою почати працювати з 1935 р. і яка
проіснувала майже два десятиліття, передбачала в курсі алгебри X класу
вивчення елементів комбінаторики та формули бінома Ньютона. Елементи
теорії ймовірностей і статистики в ній не розглядалися.

З кінця 50-х років у шкільній освіті починається другий період руху за
реформу шкільної математики. Більш гостро постає питання не лише про
зміст, але й методи викладання математики в школі, щоб паралельно з
вивченням змісту більш ефективно розвивати також мислення учнів. Це
відображається в тематиці міжнародних нарад з викладання шкільного курсу
математики і дослідженнях вчених. Так, на XIX Міжнародній конференції з
народної освіти було відмічено, що «математика і притаманний їй стиль
мислення повинні розглядатися як суттєвий елемент загальної культури
сучасної людини, навіть якщо вона не займається діяльністю в галузі
точних наук або техніки». Розглядаючи цілі викладання математики в
школі, американський математик-педагог Д. Пойа, наприклад, відмічає, що
«… перш за все — і це безсумнівно саме головне — необхідно навчити
молодь думати». В цьому аспекті теми з теорії ймовірностей і статистики
виявилися, безперечно, в числі необхідних для включення в шкільну
математику. Це відображаюся не тільки в громадській думці однієї або
декількох країн, а і в рекомендаціях і резолюціях міжнародних
конференцій, конгресів і симпозіумів (Единбург, 1958; Раймонт, 1959;
Будапешт, Стокгольм, 1962; Афіни, 1963; Москва, 1966). У багатьох
країнах елементи теорії ймовірностей і математичної статистики або одна
з цих тем були включені в обов’язкову програму. З цих пір на різних
рівнях складності ці теми викладаються в США, Франції. Англії, Японії,
Голландії. Австралії, Австрії, Болгарії, Угорщині, Іспанії, країнах
Скандинавії та інших країнах.

В СРСР у цей період питання про включення в шкільний курс математики
елементів теорії ймовірностей і ЇЇ застосування ставилось неодноразово.
В необхідності цієї справи були переконані як провідні математики, так і
окремі працівники освіти, передові вчителі-практики [3], [6]. Після
зміни структури шкільної освіти у 1958 році новою програмою
передбачалося вивчення комбінаторики та підрахунку ймовірностей в X
класі. У 1967 році був зроблений ще один сміливий крок в цьому
починанні. Зокрема, в проекті програми з математики, підготовленої В. Г.
Болтянським, А. М. Колмогоровим, М. Ю. Ма-каричевим, О. І. Маркушевичем
планувалося в курсі алгебри і початків аналізу X класу розглянути тему
«Початки теорії ймовірностей», а на факультативних заняттях в X класі
вивчати тему за вибором — «Додаткові питання теорії ймовірностей». Проте
в остаточному варіанті програма з математики (за якою почали навчання в
1968—1969 н. р. ) містила тільки у IX класі елементи комбінаторики. Теми
з теорії ймовірностей були віднесені до програми факультативів і програм
спеціалізованих класів, а елементи статистики так і залишились осторонь
шкільного курсу математики.

Створення спеціалізованих класів і шкіл стало значною подією в
модернізації шкільної освіти. З’явилась реальна можливість вкраплювати в
зміст шкільної математики сучасні ідеї математичної науки, хоч і не для
широкого кола школярів. Цікавим в цьому плані є досвід роботи створеної
в 1963 р. Республіканської спеціалізованої школи-інтернату
фізико-математичного профілю при Київському університеті (з 1992 р.
Український фізико-математичний ліцей). Елементи теорії ймовірностей і
математичної статистики тут викладаються не тільки на факультативах, а і
в обов’язковому курсі математики, починаючи з VIII класу [2].

У грудні 1977 р. була прийнята постанова ЦК КПРС і Ради Міністрів СРСР
«Про подальше удосконалення навчання, виховання учнів загальноосвітніх
шкіл і підготовки їх до праці». Комісія під керівництвом А. М.
Колмогорова переглянула діючу програму, зробила в ній скорочення і
опублікувала в 1978 р. типовий проект програми з математики для
восьмирічної і середньої школи. Крім цього, було створено дві комісії,
які очолювали І. М. Виноградов і А. М. Тихонов, які опублікували в 1979
р. свої проекти програм з математики, що суттєво відрізнялись від
типового проекту і різнились між собою. І хоча в проектах цих комісій
були теми «Елементи комбінаторики і теорії ймовірностей» в одному, і
«Біном Ньютона і елементи комбінаторики» в другому, а в основному
проекті вони були вилучені у зв’язку із скороченням змісту освіти, у
80-х роках загальноосвітні школи продовжують свою роботу за програмами з
математики, в яких повністю відсутні і елементи комбінаторики, і
елементи теорії ймовірностей, і елементи статистики.

В останнє десятиріччя проблема вивчення елементів теорії ймовірностей і
статистики в нашій школі постала з особливою гостротою. В матеріалах VI
Міжнародного Конгресу з математичної освіти (1988 р. ) відмічається, що
«в умовах інформаційного вибуху виникає потреба в умінні передавати
величезний обсяг інформації, опрацьовувати його і робити обгрунтовані
висновки. Формування і розвиток ймовірносного мислення і відповідних
умінь у підростаючих громадян розглядається як актуальна вимога
сучасного розвитку суспільства, і ще в більшій мірі — майбутнього. До
цього треба віднестися особливо уважно, тому що СРСР, очевидно, є однією
з небагатьох країн, в шкільному курсі якої елементи теорії ймовірностей
і математичної статистики відсутні повністю. Введення додаткових
розділів у шкільну програму — завдання непросте… Тим паче, не можна
затягувати з компетентним обговоренням цього питання» [11]. Тому цілком
закономірним є те, що в концепції математичної освіти, розробленій у
1989 р. лабораторією навчання математики НДІ СІМО АПН СРСР разом з
кафедрою вищої математики ЛДПІ ім. В. І. Ульянова, пропонується
традиційне ядро шкільного курсу математики доповнити деякими
ймовірносно-статистичними поняттями. На думку авторів, необхідно
ознайомити учнів з поняттям ймовірності та частоти, правилами підрахунку
скінченних та геометричних ймовірностей, з поняттям незалежних подій і
умовною ймовірністю, з деякими статистичними методами обробки даних.
Основний напрямок впровадження відповідного змісту в шкільний курс
математики — це включення ймовірносних і статистичних ідей в задачний
матеріал шляхом розширення традиційного набору формул і арсеналу методів
розв’язування. Вже на початкових стадіях навчання повинні регулярно
зустрічатися задачі, що вимагають розгляду і підрахунку різних варіантів
на основі простих теорем теорії сполук [8]. У зв’язку з диференціацією
та гуманізацією шкільної освіти почали з’являтися програми для класів
різних профілів, створюватися відповідні підручники, їх автори
додержуються думки, що елементи стохастики необхідні всім випускникам
шкіл, незалежно від обраного ними профілю.

В Україні як самостійній державі ця проблема стоїть не менш гостро.
Необхідно створювати свої навчальні програми і підручники, які би
відповідали світовому рівню і вимогам сучасного розвитку людського
суспільства. Міністерством освіти України, Академією педагогічних наук
України, Національною Академією наук України підготовлено проект
Державного стандарту загальної середньої освіти в Україні з математики,
в якому традиційні змістові лінії доповнюються такими, як «Елементи
теорії множин. Комбінаторика» та «Елементи стохастики», формулюється
обов’язковий мінімум змісту навчання з цих тем та вимоги до його
засвоєння [5]. Починають друкуватися українські підручники з математики,
в їх числі пробний підручник з алгебри і початків аналізу для 10—11
класів, автори якого М. І. Шкіль, 3. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук. В
ньому є розділи «Елементи комбінаторики», «Початки теорії ймовірностей»,
«Вступ до статистики». Перші кроки зроблені, але для того, щоб такі
необхідні в сучасному житті ймовірносно-статистичні знання міцно і
органічно ввійшли у шкільну освіту, потрібна копітка праця протягом
всього навчання математики і, напевно, під час вивчення інших предметів
(фізики, хімії, біології тощо).

§ 2. Заради чого необхідно викладати теорію ймовірностей?

На перший погляд здається, що точну відповідь на це питання можна дати
лише в тому випадку, якщо відомо, в якій формі і на якому рівні
здійснюється викладання теорії ймовірностей. Тим паче, я глибоко
впевнений, що деякі загальні твердження на цю тему можливо висловити без
яких би там не було уточнюючих припущень. Я маю на увазі головні цілі
викладання теорії ймовірностей. Саме їх, на мою думку, повинен ставити
перед собою кожний, хто викладає будь-який розділ теорії ймовірностей,
хоча наголоси, зрозуміло, можуть варіюватися залежно від типу
навчального закладу. Отже, я вважаю, що при виборі головних цілей
будь-якого курсу теорії ймовірностей належить керуватися такими
мотивами:

A) Теорію ймовірностей необхідно викладати тому, що вона відіграє
важливу роль у розвитку мислення учнів.

Б) Теорію ймовірностей необхідно викладати тому, що її висновки
знаходять застосування у повсякденному житті, науці, техніці тощо.

B) Теорію ймовірностей необхідно викладати тому, що вона має важливе, ні
з чим незрівнянне значення для математичної освіти.

Прокоментуємо коротко ці аргументи.

А) Ознайомлення з основними поняттями теорії ймовірностей необхідне для
того, щоб ми могли пізнавати оточуючий світ і створювати одну з науково
обгрунтованих картин цього світу. Викладання будь-якого розділу
математики благодатно позначається на розумовому розвитку учнів,
оскільки прищеплює їм навички ясного логічного мислення, що оперує чітко
визначеними поняттями. Все сказане про викладання будь-якого розділу
математики в повному обсязі стосується і викладання теорії ймовірностей,
але навчання «законам випадку» грає дещо більшу роль і виходить за межі
звичайного. Слухаючи курс теорії ймовірностей, учень пізнає, як
застосовувати прийоми логічного мислення в тих випадках, коли необхідно
мати справу з невизначеністю (а такі випадки виникають на практиці).

Вивчення теорії ймовірностей належним чином впливає і на характер учнів,
наприклад, розвиває хоробрість, оскільки дає змогу зрозуміти, що при
певних обставинах невдачі можна віднести до випадковостей і, отже,
зазнавши невдачі, зовсім не варто відмовлятися від боротьби за
досягнення поставленої мети. Люди, що знаходяться на низькому рівні
розвитку, схильні до надмірної недовірливості: яка би біда не гранилась
з ними, вони схильні приписувати її чиємусь злому наміру, навіть якщо
подібні твердження позбавлені найменших підстав. Пояснюється це
необізнаністю з таким поняттям, як випадковість. Викладання теорії
ймовірностей може принести безперечну користь, оскільки дозволяє
остаточно порвати з пережитками магічного мислення кам’яного століття.
Вивчаючи теорію ймовірностей, люди стають більш доброзичливими і
толерантними до оточуючих, і, отже, легше вписуються в життя
суспільства.

Б) У повсякденному житті нам постійно доводиться зустрічатися з
випадковістю, і теорія ймовірностей вчить нас, як діяти раціонально з
урахуванням ризику, пов’язаного з прийняттям окремих рішень. Гарним
прикладом застосування теорії ймовірностей у повсякденному житті може
слугувати вибір найбільш доцільної форми страхування. При плануванні
сімейного бюджету або подорожі за кордон часто доводиться оцінювати
витрати, які, у певній мірі, мають випадковий характер. Ці приклади
показують, що ознайомлення на тому чи іншому рівні із законами випадку
необхідні кожному.

Застосування теорії ймовірностей у науці, техніці, економіці тощо
набуває раз у раз зростаючого значення. Саме тому у все більшого числа
людей в процесі роботи виникає необхідність у вивченні теорії
ймовірностей. Зрозуміло, обсяг курсу теорії ймовірностей залежить від
типу навчального закладу. Але не треба забувати и про Інше: сучасна
освічена людина, незалежно від професії і роду діяльності, повинна мати
принаймні загальне уявлення про те, що таке атомна енергія,
радіоактивність, генетика і т. ін. Перелік необхідних знань включає в
себе і ознайомлення, нехай навіть суто поверхове, з найпростішими
поняттями теорії ймовірностей. Нині, коли прогноз погоди містить
повідомлення про ймовірність дощу завтра, кожен повинен знати, що власне
це означає.

В) Вивчення теорії ймовірностей сприяє кращому розумінню взаємозв’язків
між дійсністю і математикою, математичних моделей дійсності. Якщо в
курсі математики теорія ймовірностей обминається повною мовчанкою, то в
учнів складається невірне уявлення про істинний характер математики та
її застосування. Люди, не знайомі з теорією ймовірностей, поділяють
помилкову думку, нібито математичні методи можна застосовувати лише в
тих випадках, коли йдеться про прості й точні залежності між величинами,
які можна точно виміряти і обчислити. Нерідко можна почути і твердження,
наче математичні методи непридатні для вивчення і опису тих або інших
явищ, через те що ті «дуже складні». Подібний забобон живе в свідомості
людей, які не вивчали ні математику, ні, тим паче, теорію ймовірностей.
Саме ті, хто дотримується цих докорінно невірних поглядів, до недавнього
часу перешкоджали (принаймні, у деяких країнах) застосуванню
математичних методів в економіці, соціології, біології, психології та
інших галузях науки. Не можна не згадати й про думку тих, хто вважає, що
викладання теорії ймовірностей не виходить за межі програм з математики
в учбових закладах середнього або нижчого рівня. Ця думка узгоджується з
іншими сучасними тенденціями у викладанні математики, що легко пояснити:
її поділяють ті, хто викладає теорію ймовірностей і своєю діяльністю
реалізує нові тенденції. Цілком очевидно, що викладання теорії
ймовірностей спрощується, якщо учні заздалегідь ознайомлені з теорією
множин або теорією булевих алгебр. З іншого боку, вивчення теорії
ймовірностей дає чудову нагоду для більш ґрунтовного і глибокого
ознайомлення як з теорією множин.

§ 3.Експериментальна комбінаторика для молодших школярів

В чудовій маленькій книжці «Госпожа удача» У. Уівер пише: «Теорія
ймовірностей і математична статистика — дві важливі галузі, нерозривно
пов’язані з нашим повсякденним життям. Світ промисловості, фінансів,
страхові компанії сьогодні є боржниками ймовірнісних законів. Сама
фізика має суттєво ймовірнісну природу. Такою ж, по суті своїй, є й
біологія. Між тим, не дивлячись на цю важливість та універсальний
характер теорії ймовірностей і математичної статистики, цей предмет ще
не став загальноприйнятим в освіті. Сьогодні ймовірність вивчають у
середніх школах більшості країн, і питання про те, коли вона ввійде
складовою частиною в шкільні програми всіх країн, є не більше, ніж
питанням часу».

З цим важко не погодитись, адже навіть на рівні середніх школярів
вивчення ймовірності вносить багато свіжих та плідних ідей. Не маючи
ймовірнісних понять, діти мають деформовану уяву про математику,
вважаючи, що між «істинним» та «хибним» більше нічого немає! Але ж
пізніше вони обов’язково виявляють існування цілої області математики,
яка базується на понятті «Може бути!». Саме тут математика торкається
повсякденного життя набагато тісніше, ніж цьому традиційно вчать у
школі, і саме тому більшість фахівців у галузі шкільної математики
вважають необхідним введення до шкільного курсу елементів теорії
ймовірностей та математичної статистики. Звичайно, це питання досить
складне і не може бути вирішене одностайно та миттєво, адже ймовірність
— розділ вищої математики і доступність її для школярів — питання
сумнівне. Тут слід звернутися до світового досвіду, і неможливе стане
ймовірним! Все, що необхідно зробити — це майстерно пов’язати теорію
ймовірності зі світом дитини… Насправді, зробити це неважко, адже
навкруги нас легко знайти безліч ситуацій, які можуть послужити
поштовхом до глибоких міркувань, досліджень, висновків. Мета вчителя —
використати ці ситуації для навчання, і, зрозумівши необхідність та
можливість вивчення ймовірності, продумати кожен крок цього шляху.

У багатьох країнах світу знайомство з теорією ймовірностей починають з
вивчення комбінаторики. Комбінаторика — важливий інструмент для
підготовки до формування ймовірнісного мислення учня. Раніше її
розглядали як ще один гальмуючий фактор у вивченні ймовірностей, але
останній досвід, набутий в різних країнах світу, показав, що
комбінаторику можна ввести навіть до початкового етапу навчання. Вона не
потребує ніяких попередніх знань і може бути легко пов’язана з цікавими
заняттями.

Перше знайомство з комбінаторикою буває для учнів досить складним та
неприродним, якщо воно починається з введення одночасно багатьох далеко
не елементарних понять і визначень, базується на теорії множин,
розуміння якої традиційно складне навіть для старшокласників.

Але це знайомство може відбуватися набагато раніше, ніж у 10 — 11 класі
і більш природнішим шляхом. Важливо максимально поєднати принципи
доступності та науковості у вивченні такого напрочуд цікавого та
розвиваючого розділу математики, як комбінаторика.

Узагальнюючи досвід навчання з предмета в багатьох країнах світу, я
пропоную розбити вивчення комбінаторики на етапи.

I етап: експеримент — дослідження та узагальнення отриманих результатів.
Побудова та визначення різних комбінаторних моделей відповідно до змісту
задачі.

II етап: розв’язання найпростіших задач дедуктивним методом. Вивчення
принципів додавання та множення. Означення основних понять
комбінаторики.

III етап: вивчення основних формул комбінаторики та застосування їх
до розв’язання задач різних рівнів складності.

Слід зазначити, що третій етап такої схеми є традиційним для вивчення у
факультативних курсах та в старших класах спеціалізованих профільних
шкіл. Він забезпечений досить багатим дидактичним, методичним та
теоретичним матеріалом. На жаль, про перший та другий етапи вивчення
комбінаторики такого сказати не можна, тому я б хотіла докладніше
спинитися саме на них.

Почнемо з першого, експериментально-дослідницького, етапу.

В зв’язку з можливістю експерименту комбінаторика займає, безумовно,
привілейоване становище в математичній освіті. Але для того, щоб дати
поштовх дитині до певних ідей, потрібні специфічні засоби. По-перше,
необхідно добрати цікаві задачі експериментального характеру; по-друге,
ввести елемент змагання. Перші заняття повинні бути живими і збуджувати
природну цікавість дитини, не відриваючи її від дійсності.

Комбінаторна задача на першому етапі, як правило, полягає в тому, щоб
з’ясувати:

1) існують чи не існують деякі множини з заданими властивостями;

2) об’єднати їх у відповідні класи та перерахувати.

Учні завжди можуть почати таке дослідження з експериментів, а, проводячи
самостійні численні досліди, дитина поступово приходить до відкриття
багатьох понять, причому попередніх знань це не потребує. Для
експериментів можна використовувати об’єкти з життя: самих учнів, ‘їхні
прилади, спеціально підготовлені технічні засоби.

Вивчення комбінаторних задач доцільно розпочинати з введення загального
поняття комбінаторної моделі. На цьому етапі, звичайно, слід уникати
означень та формулювань; дітям досить зрозуміти, що модель — це
«переклад» задачі з літературної мови на мову комбінаторних понять.

Метою вчителя є ознайомити учнів з тим, що комбінаторні моделі
розрізняються за такими типами :

1. Розміщення без повторень (зокрема перестановки).

2. Розміщення з повтореннями.

3. Комбінації (сполучення) без повторень.

4. Комбінації з повтореннями.

Моделі можна наповнити життям, конкретизувавши їх. Для цього можна
використати фішки, жетони, бусинки, букви алфавіту, цифри,
різнокольорові малюнки, точки, тощо.

Розглянемо експеримент 1.

Задача: побудувати якомога більше послідовностей (наборів) трьох точок,
використовуючи три кольори: червоний, жовтий, синій. Додаткова умова: в
кожній послідовності повинно бути використано

1) всі три кольори;

2) не всі три кольори;

3) лише один колір;

4) не більше двох кольорів;

5) всі три кольори, але починаючи з червоного;

6) не обов’язково всі кольори, але другий жовтий; і т.д.

Проводити цей експеримент пропонується у вигляді командної гри. Для
нанесення точок можна використовувати спеціальні невеликі дошки, або
аркуші паперу. Виграє та команда, яка побудує найбільшу кількість
послідовностей, задовільняючих умові (а краще — всі), швидше за інших.
Результат бажано записувати на дошці і зберігати до кінця гри.

Мета проведення експерименту:

1. Організувати систематичний пошук елементів певної моделі.

2. Спробувати знайти всі елементи моделі.

3. Навчитися групувати елементи загальної моделі за певними
характеристиками.

4. Перше знайомство з поняттям «відношення порядку».

5. Спробувати визначити тип кожної моделі.

6. Проаналізувати результат експерименту, порівнюючи кількість
побудованих послідовностей для кожної моделі та спробувати зробити
висновки.

Наступним кроком у навчанні може стати експеримент 2.

Задача: скласти всі можливі послідовності з жетонів трьох кольорів за
таких умов:

Ця загальна схема дає можливість сформулювати вісім задач різних типів.

Мета проведення експерименту:

1. Навчитися чітко визначати тип моделі за умовою задачі.

2. Навчитися вилнлчлти всю множину розв’язків задачі.

Використано три жетони Порядок кольорів враховуємо
Кольори можуть повторюватись

Використано два жетони Порядок кольорів не враховуємо
Кольори не можуть повторюватись

3. Порівняти результати (кількість послідовностей) для кожної моделі та
зробити висновки. Якій моделі відповідає найбільша кількість
послідовностей? Чому?

На цьому етапі вже можна ввести поняття комбінації елементів, замінюючи
ним поняття «послідовність» або «набір» та «кількість комбінацій». Дуже
швидко перерахування кількості можливих комбінацій стане задачею більш
важливою, ніж ефективна побудова самих комбінацій.

Іншим типом експерименту є гра з фішками двох кольорів.

Експеримент 3.

Задача: побудувати послідовність (комбінацію) з чотирьох фішок, якщо
маємо:

1) дві сині та дві червоні;

2) три сині та дві червоні;

3) три червоні та дві сині; і таке інше.

Організація експерименту.

Діти будують послідовності по черзі. В кінці кожного варіанту гри
доцільно підрахувати всі побудовані комбінації, проаналізувати тип
отриманої моделі. (Від того, як оформити гру, суттєво залежить
можливість включення в неї різного роду стимулів. У такій грі прагнення
до виграшу породжує прагнення до систематизації).

Можна також будувати послідовності жетонів або фішок за допомогою
жеребкування: діти

навмання витягають набір жетонів з ящика, потім вони повинні вирішити,
чи складають ці жетони нову послідовність.

Мета експерименту.

1. Створити характерну модель комбінацій з повторенням.’

2. Систематизувати пошук нових комбінацій.

3. Спробувати зробити узагальнюючий висновок про кількість комбінацій в
кожному випадку.

Провівши ці та аналогічні експерименти, учні зможуть:

* зрозуміти деякий набір правил та визначити, чи відповідає йому задана
комбінація;

» розрізняти, чи є комбінація новою, чи повторює стару;

» виявити всі комбінації, які відповідають правилу (умові задачі);

» намагатися зрозуміти, чому на цій стадії неможливо знайти нову
комбінацію.

Найбільш складною та цікавою для учнів на дослідницькому етапі є так
звана «відкрита ситуація»:

Експеримент 4.

Задача: з набору різнокольорових жетонів (наприклад, один синій, два
жовтих, три білих) вибрати пару. Скількома способами це можна зробити?

Зауваження. В залежності від обраних правил, відповіддю може бути
будь-яке з чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 15, 22, 26.

Організувати проведення експерименту можна в такий спосіб: одна команда
формулює нову задачу, друга — шукає її розв’язок. Можна також створювати
умову задачі за відомим результатом, попередньо проаналізувавши ситуації
(в якому випадку буде більше комбінацій? а коли менше? якому типу
відповідає кожна задача?). Базуючись на загальній моделі, можна скласти
велику кількість цікавих завдань, залучивши фантазію учнів та вчителя.

Мета експерименту.

1. Активізувати та узагальнити набуті раніше знання учнів.

2. Закріпити вміння встановлювати тип комбінаторної задачі та
розв’язувати її.

3. Змінити акцент у розв’язуванні комбінаторних задач в бік пошуку
кількості комбінацій.

4. Зробити узагальнюючі висновки про структуру кількості комбінацій для
різних типів задач (моделей).

Аналогічні експерименти можна проводити, використовуючи букви алфавіту,
цифри, олівці, навіть самих учнів, розділяючи їх на групи за певними
ознаками.

Проведений таким чином перший етап дасть учням, крім набутих базових
знань та значного розширення математичного світогляду, відчуття
«приємного знайомства» з комбінаторикою, як частиною суттєво нового
розділу математики.

§ 4.Елементарна стохастика

Незважаючи на те, що теорія ймовірностей та математична статистика
включені до шкільних програм, дискусійним залишається питання змісту цих
розділів та методики їх викладання.

Головною метою розділу «Елементарна теорія ймовірностей» має бути
часткова ліквідація «стохастичної безграмотності», що передбачає:

• сформувати розуміння детермінованості й випадковості;

• ознайомити учнів з основними поняттями та ідеями цього розділу
математики, показати його логічну будову, сформувати цілісне уявлення
про нього;

• простежити історичний розвиток теорії ймовірностей;

• допомогти усвідомити, що багато законів природи й суспільства носять
ймовірнісний характер, що багато реальних явищ і процесів можна добре
описати ймовірнісними моделями;

• переконати, що теорія ймовірностей має важливе значення для
математичної освіти.

Але досягти цього можна лише базуючись на вивченні певного навчального
матеріалу. Тому наступне запитання, на яке необхідно дати відповідь,
стосується змісту розділу «Елементарна теорія ймвірнотсей”.

Досвід показує, що при першому ознайомленні з основними поняттями теорії
ймовірностей необхідно уникнути двох крайностей: не можна викладати
теорію ймовірностей як абстрактну систему, яка відірвана від реальної
дійсності, і не можна подавати теорію ймовірностей як систему готових
правил, у які залишається лише підставити числові дані.

Узагалі, при відборі матеріалу для первинного ознайомлення з предметом
або розділом, крім урахування загальноосвітньої значимості, прикладної
цінності та можливості формувати правильне світорозуміння, слід
дотримуватися основних принципів навчання, зокрема:

1. Принципу концентризму, який вимагає, щоб при першому ознайомленні з
предметом або розділом той, хто навчається, отримав про нього нехай і не
повне, але всебічне й цілісне уявлення.

2. Принципу науковості, згідно з яким розглядуваному матеріалу
необхідно дати-таке трактування, яке в подальшому можна розвинути,
узагальнити й отримати сучасний виклад.

3. Принципу доведення викладання до корисних результатів. Згідно з цим
принципом не варто вивчати теорію ймовірностей, якщо це вивчення
обмежене самими простими комбінаторними задачами і не дійде до
найпростішої форми закону великих чисел.

4. Принципу доступності. При першому ознайомленості з основними
поняттями теорії ймовірностей спочатку необхідно розглянути дискретний
випадок.

Тож при першому ознайомленні з основними поняттями теорії ймовірностей
необхідно передбачити розумне поєднання життєвого досвіду, строгості й
доступності.

На наш погляд, при вивченні елементарної теорії ймовірностей доцільно
починати вивчати і випадкові величини, ознайомитися з розподілом таких
величин та з їхніми числовими характеристиками.

Завершити вивчення розділу «Елементарна теорія ймовірностей» необхідно
нерівністю Чебишева та найпростішою формою закону великих чисел
(теоремою Бернуллі).

Під стохастикою розуміють два розділи математики: теорію ймовірностей і
математичну статистику — це розділи, за допомогою яких можна вивчати
випадкові явища. Стохастика виникла в результаті аналізу азартних ігор,
переписів населення, питань страхування майна. У XVII ст. цими питаннями
цікавилися видатні французькі математики Паскаль і Ферма. Першим великим
дослідженням із теорії ймовірностей був трактат Гюйгенса (1657 р.) «Про
розрахунки в азартній грі». Та тільки праця Якоба Бернуллі «Ars
conjectandi (Мистецтво передбачень)», яка була опублікована в 1713 р.
(через 8 років після смерті автора), поклала початок теорії ймовірностей
як строгої математичної дисципліни.

Первісним поняттям стохастики є поняття стохастичного експерименту. Це
дослід, експеримент, випробування, в широкому розумінні цих слів,
результат якого заздалегідь передбачити не можна — він випадковий. Та не
всякі експерименти з випадком називають стохастичними, й дати точне
означення цього поняття не просто. Одна з основних властивостей
стохастичного експерименту полягає в тому, що його можна повторювати
багато разів без зміни умов проведення і що при багаторазовому
повторенні експерименту наслідки попередніх експериментів не впливають
на наслідки наступних експериментів. Наслідки стохастичних експериментів
називають випадковими подіями або просто подіями. Найпростішим прикладом
стохастичного експерименту є підкидання монети, в якому може відбутися
одна з двох подій: випадає герб, випадає цифра.

Розглянемо детальніше приклад стохастичного експерименту, який розглядав
Бернуллі. Нехай в урні сховано 5 тисяч камінців: 3 тисячі білих і 2
тисячі чорних. Але вважатимемо, що нам не відома кількість білих і
чорних камінців. Будемо виймати з урни по черзі камінець за камінцем,
відмічати їх колір і повертати назад до урни. Підрахуємо, скільки буде
вийнято білих камінців і скільки чорних. Виникає питання, чи можемо ми,
повторюючи цей дослід багато разів, дізнатися, скільки в урні камінців
того чи іншого кольору?

-у від усієї кількості камінців. Отже, якщо буде відома загальна
кількість камінців, то ці частки допоможуть зробити висновок про
кількість камінців кожного кольору.

Уважніше проаналізуємо результати нашого експерименту. Цей експеримент
не простий. Він складається з простіших експериментів — одноразового
виймання камінця. Такі прості експерименти, з яких складаються складні,
часто називають стохастичними випробовуваннями. У нашому випадку в
результаті окремого випробовування відбувається одна з двох подій:
вийнятий камінець — білий, вийнятий камінець — чорний. Для скорочення
подальших записів першу з цих подій позначатимемо літерою А, другу — В.

.

Оцінка ймовірності події на основі експериментальних даних є однією із
задач математичної статистики.

. У цьому проявляється дія давно відомого людям закону — закону великих
чисел або, інакше, закону стійкості частот.

Можна навести й інші приклади, в яких би ми виявили дію закону великих
чисел. Так, якщо багато разів підкидати новеньку монету, то десь у
половині випадків випадає герб, а в інших випадках — цифра. Тому
ймовірністю випадання герба вважають число -у .

Ще одним прикладом прояву закону великих чисел може бути частка
хлопчиків серед новонароджених дітей. Люди давно помітили, що хлопчиків
народжується більше, ніж дівчаток. їх частка серед новонароджених
залежить від країни, регіону, року, та вважається, що в середньому ця
частка складає приблизно 51,4/6.

§5. Уроки з теми «Елементи комбінаторики»

Урок 1. Teмa: Комбінаторне правило множення. Перестановки.

Мета: Ознайомити учнів з правилом множення, ввести поняття факторіала та
перестановки, показати розв’язування простіших задач на застосування цих
понять; формувати математичну культуру; розвивати вміння спілкування в
умовах навчальної діяльності; виховувати вміння працювати й колективі,
почуття відповідальності -« спільну справу, інтерес до розв’язування
математичних задач.

Обладнання: кодопроектор.

Тип: комбінований.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання

III. Фронтальне опитування

1) Для вирішення яких проблем є корисним знання комбінаторики? Наведіть
приклад відповідної задачі.

2) Які видатні математики створювали та розвивали комбінаторику?

3) Наведіть приклади використання правила суми.

IV. Дидактична гра

Формуються імпровізовані команди (учні на передніх партах повертаються
до тих, хто сидить за ними, команда складається з 4—6 чоловік). Учитель
диктує умови гри та показує на кодоплівці їх схематичний запис.

— «Ви — експертна група банку, який погодився фінансувати проект
благодійного фонду. Благодійний фонд подав 3 проекти: «Обдарована
дитина—2003», «Допомога в реконструкції храму», «Реконструкція пам’ятки
культури». Ці проекти були захищені на засіданні правління банку. Усього
членів банку — 16. За перший проект проголосувало 8, за другий — 9, за
третій — 9, за перший та другий — 5, за другий та третій — 3, за перший
та третій — 4. Ви як експерти повинні з’ясувати, скільки членів
проголосувало тільки за один проект і за який. Результати будуть
представлені президентові банку, який і вирішить, який проект
фінансувати.

Порада експертам: щоб робота була виконана швидко, розподіліть
обов’язки. Тобто є експерти, які розробляють математичну модель задачі,
а є експерти, які розробляють схематичну модель задачі».

Розв’язання. Нехай U— множина всіх членів правління банку, А — множина
членів правління банку, які проголосували за перший проект, В — множина
членів правління банку, які проголосували за другий проект, С — множина
членів правління банку, які проголосували за третій проект.

п(А) = 8, п(В) = 9, п(С) = 9, n(U)= 16,

C) = 3.

C) = 16 — 9 -.9 + + 3=1 чоловік проголосував тільки за перший проект.

C) = 16 — 8 — 9 + + 4 = 3 чоловіки проголосували тільки за другий
проект.

В) = 16 — 8 — 9 + + 5 = 4 чоловіки проголосували тільки за третій
проект (мал. 1).

Розв’язання захищають представники команди, що першою розв’яже задачу,
представники інших команд виступають у ролі опонентів. Члени команди, що
першою правильно розв’яже задачу, отримують 10 балів, другою — 9 балів,
третьою — 8 балів.

V. Зміст нового матеріалу

1. Правило множення.

Вправа 1. З міста А до Б ведуть п’ять доріг, з міста В до С — три.
Скільки доріг, які проходять через В, ведуть з А до СІ

Учитель робить схематичний малюнок (мал. 2) та коментує розв’язання.

Розв’язання. Як видно на малюнка, з А до В можна обрати будь-яку з 5
доріг, тобто є 5 можливих способів, а з В до С можна вибрати дорогу
трьома способами, тобто всього маємо 5 х 3 = 15 можливих способів, щоб
потрапити з А до С, проходячи через В.

Вправа 2. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3 так,
щоб:

а) цифри в числі не повторювалися;

б) цифри в числі могли повторюватися. Учитель розв’язує на дошці та
коментує пункт

а) за допомогою дерева логічних можливостей. Для розв’язання пункту б)
можна викликати учня.

Розв’язання. а) На перше місце можна поставити будь-яку з трьох цифр, а
на друге — з двох цифр, що залишаться. Будуємо дерево логічних
можливостей. З нього видно, що таких чисел буде 6 (мал. 3).

б) Розв’язується аналогічно (мал. 4).

Вправа 3. У класі з 28 учнів треба обрати старосту та заступника
старости. Скількома способами це можна зробити?

Учні розв’язують усно за допомогою питань учителя:

1) Скількома способами можна обрати старосту?

2) Скільки учнів залишились для вибору заступника після вибору
старости?

3) Скількома способами можна обрати заступника старости?

4) Скількома способами можна обрати і старосту, і його заступника?

Розв’язання. Старостою можна обрати будь-якого учня класу, тобто є 28
способів. Заступника старости можна обрати 27 способами. Старосту та
заступника разом можна обрати 28 х 27 = = 756 способами.

Ці задачі ілюструють ще одне правило комбінаторики. Учитель показує на
кодоплівці формулювання цього правила, читає його, учні записують у
зошитах.

Правило множення. Якщо елемент а можна вибрати т способами та після
кожного такого вибору елемент b можна вибрати п способами, то вибір пари
а та by вказаному порядку можна здійснити m х п способами.

Наступні задачі розв’язують учні біля дошки, розмірковуючи аналогічно
попереднім.

Вправа 4. Припустимо, що потрібно сформувати команду космічного корабля
з трьох осіб: командира, інженера та лікаря. На місце командира є 4
кандидати, на місце інженера — 3, а на місце лікаря — 5. Скількома
способами може бути сформовано команда корабля?

Розв’язання. Вибір командира може бути здійснений 4 способами, інженера
— трьома, а лікаря — п’ятьма. Отже, вибір командира й інженера можна
здійснити 3×4 способами, лікаря для кожної такої команди можна вибрати
п’ятьма способами. Отже, команду буде сформовано З х 4 х 5 = 60
способами.

Сформулюємо тепер це правило комбінаторики в загальному вигляді.

Вчитель знов показує правило на кодоплівці, учні записують його в
зошитах.

Правило множення. Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу
дію можна виконати n1 способами, після чого другу дію — n2 способами,
після чого третю дію — n3 способами і так далі до k-ї дії, яку можна
виконати nk способами, то всі k дій разом можуть виконуватися n1 x n2 x
n3 x nk способами.

Вправа 5. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1,2 таких,
що:

а) кожна з цифр повторюється не більш ніж один раз;

б) цифри можуть повторюватися. Розв’язання, а) першою цифрою може бути

одна з двох цифр 1 або 2; коли перша цифра вибрана, то друга може бути
вибрана також двома способами (0 або 1, 0 або 2). За правилом множення
загальна кількість способів дорівнює 2×2 = 4;

б) першою цифрою може бути одна з двох цифр 1 або 2 (дві можливості);
для кожної наступної цифри маємо 3 можливості (0, 1, 2). Отже, 2×3 = 6.

Можна побудувати дерево логічних можливостей (мал. 5).

Вправа 6. Скільки є п’ятицифрових чисел, які діляться на 5?

Розв’язання. На перше місце можна поставити будь-яку з цифр 1, 2, …,
9, тобто першу цифру можна вибрати 9 способами. Оскільки не говориться,
що цифри не повинні повторюватися, то другу цифру можна обрати 10
способами (ті самі цифри та ще 0), третю та четверту цифри так само, а
ось остання цифра може бути тільки 0 або 5, тобто останню цифру можна
вибрати двома способами. За правилом множення маємо 9 х 10 х 10 х 10 х 2
= 18000.

II. Перестановки

Вправа 7. Скільки одноцифрових чисел можна скласти з цифри З?

Розв’язання. Одну — 3.

Вправа 8. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 5, 6, щоб цифри
у числі не повторювалися?

Розв’язання. На перше місце можна вибрати одну з двох цифр, на друге
поставимо цифру, що залишиться. За правилом множення 2×1=2.

Вправа 9. Скільки трицифрових чисел можна скласти з 6, 7, 9, щоб цифри у
числі не повторювалися?

Розв’язання. На перше місце можна поставити будь-яку цифру. Це можна
зробити трьома способами. На друге місце можна поставити будь-яку із тих
цифр, що залишилися. Це можна зробити двома способами. Як тільки вибрані
перші дві цифри, то на третє місце можна поставити одну цифру, що
залишиться. За правилом множення маємо 3x2x1 = 6.

Одночасно з розв’язанням цих задач учитель малює на дошці таблицю й
заповнює її за допомогою учнів (див. табл.).

Таблиця

Множина Кількість елементів Кількість чисел Як визначили чисел
кількість

{3} 1 1 1

{5; 6} 2 2 1 x 2 = 2

{6; 7; 9}

1x2x3 = 6

Вправа 10. Скільки різних чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 1,
2, 3, 4 так, щоб цифри не повторювалися?

Розв’язання. 1 х 2 х 3 х 4 = 24.

Вправа 11. Розв’яжіть попередню задачу за умови, що буде п цифр і треба
скласти n-цифрових чисел.

Розв’язання. Розмірковуючи аналогічно, знаходимо кількість способів,
якими можна скласти n-цифрові числа n х (n — 1) х (n — 2) х … х 4 х 3
х 2 х 1.

Означення. В математиці прийнято позначати 1×2 = 2!; 1x2x3 = 3!; …;

1 х 2 х 3 х … n = n!. Читається: «один факторіал, два факторіал, …,
n-факторіал».

N! — 1 х 2 х 3 х … х (n — 2) х (n — 1) х n.

Розв’язуючи попередні задачі, можна було просто переставляти цифри
місцями та отримувати різні числа, які б відрізнялися лише порядком
наступності цифр у числі. Конструюючи числа, ми отримували скінченні
числові множини.

В.

Означення. Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів,
називається перестановкою з n елементів і позначається Рn.

З розглянутих прикладів можна зробити висновок, що Рn — n!.

А зараз уявіть, що ми з вами потрапили у XIX ст. (інсценізована задача).

Пасажир ходить, очікуючи візника. З’являється візник, і пасажир запитує:

— Може, час запрягати?

— Що Ви? — відповів візник. — Ще півгодини до від’їзду. За цей час я
встигну 20 разів і запрягти, й розпрягти, й знов запрягти. Нам не вперше

— А скільки в карету впрягається коней?

— П’ятеро.

— Скільки часу потрібно, щоб запрягти коней?

— Та хвилини дві, не більш.

— Еге ж? — засумнівався пасажир. — П’ять коней запрягти за дві
хвилини… Щось дуже швидко!

— Дуже просто, — відповів візник. — Виведуть коней у збруї, постромках з
вальками, у віжках. Залишиться тільки накинути кільця вальків на крюки,
приструнити двох середніх коней до дишла, взяти віжки в руки, сісти на
козли й гаразд…

— Ну гаразд! — сказав пасажир. — Припустимо, що таким чином можна
запрягти та розпрягти коней хоч 20 разів за півгодини. Але якщо їх треба
перепрягати одну замість іншої, та ще всіх, то цього вже не зробити не
тільки за півгодини, а й за дві.

— Теж просте діло! — вихвалявся візник. — Авжеж, нам не доведеться
перепрягати! Якими завгодно способами я їх всіх перепряжу за годину, а
то й менше, одного коня на місце іншого поставив і гаразд! Діло на
хвилину.

— Ні, ти їх перепряжи не тими способами, якими мені хочеться, — сказав
пасажир, — а всілякими способами, якими тільки можна перепрягти 5 коней,
враховуючи, що на перепрягання одного коня йде одна хвилина, як ти
хвалишся.

Гордість візника було зачеплено.

— Зрозуміло, всіх коней і всілякими способами я зможу перепрягти не
більш, як за годину.

— Я дав би 100 рублів, щоб глянути, як ти зробиш це за годину! — сказав
пасажир.

А я, хоч бідняк, заплачу за Ваш пройд у кареті, якщо я цього не зроблю,
— відповів візник.

Так і домовились.

Що ж, візник із пасажиром загадали нам задачу: «Скількома способами
можна перепрягти коней?»

Учні розв’язують її самостійно.

Розв’язання. Щоб перепрягти коней одного замість іншого, треба зробити
перестановки з п’яти коней. 5! = 5x4x3x2x1 = 120 способів. Значить, за
годину візник не встигне перепрягти коней. Він програв парі.

VI. Розв’язування вправ

Умови вправ показують на кодоплівці.

Вправа 12. Скільки різних трицифрових чисел можна утворити з цифр 0, 2,
6?

Розв’язання. Щоб отримати з цифр 0, 2 та 6 різні трицифрові числа,
потрібно скласти перестановки з трьох елементів РЗ = 3!. Але серед таких
чисел будуть такі, що починаються з 0, їх треба відняти. Остаточно маємо
3! — 2! = 6 — 2 = = 4 числа.

Вправа 13. Скільки різних кілець, що світяться, можна утворити,
розмістивши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважають
однаковими, якщо порядок розташування кольорів один і той самий).

Розв’язання. Якби ці 10 різнокольорових лампочок були розміщені в ряд,
то кількість способів розміщення була б Р10 =10!. Але оскільки вони
розміщені по колу, то кожне положення, що відрізняється порядком
розташування кольорів, має 10 «подібних», утворених просто обертанням
цієї системи навколо центра кола.

Вправа 14. Скількома способами можна розмістити 4 книжкя з алгебри та 3
з геометрії, щоб усі книжки з геометрії стояли поряд?

Розв’язання. Щоб виконувалась умова про книжки з геометрії, об’єднаємо
книжки з геометрії умовно в одну. Тоді маємо 5 книжок і Р5 розташувань.
Книжки з геометрії, в свою чергу, між собою можна розмістити Р3
способами. Всього за правилом добутку маємо Р5 х Р3 = = 120 х 6 = 720
способів.

VII. Підведення підсумків

Учні, які в дидактичній грі заробили бали, протягом уроку мали змогу
отримати додаткові бали. Учнів, які активно працювали на уроці та
розв’язували задачі, вчитель оцінює за своїм розумінням.

VIII. Домашнє завдання

Учитель показує на кодоплівці вправи навчальної самостійної роботи та
домашньої роботи. Запитання для самоконтролю оформлюють у вигляді
плаката та вивішують на дошці.

Навчальна самостійна робота (цю роботу учні виконують дома на оцінку).

1. Запишіть наступні додатки за допомогою знака факторіала:

а) 1x2x3x4x5; б) 1х2хЗх4х5х6х7х х8х9;

в) 1 х 2 х … х (k — 1) х k;

2. Які з рівностей правильні?

а) 1x2x3x4x5x6x7 = 7!;

б) 2 х 3 х 4 х 5 х 6 = 6!;

в) 1x2x3x5x6x7 = 7!;

г) 6x5x4x3x2 = 6!;

3. Запишіть у вигляді добутку:

а) 3!; б) n!; в) (n — 1)!; г) (n — 3)!; д) (2n)!;

4. Поставте замість * множник:

а) * х 5! = 7!; б) * х (k — 4)! = (k — 1)!;

в) * х 7! = 8!; г) * х (n — 3)! = n!;

д) *х(n — 1)! = (n+ 1)!;

5. Спростіть:

;

;

.

Домашня робота:

1. Скільки п’ятицифрових чисел можна утворити а цифр 1, 2, 3, 4,
5 без повторення, щоб парні цифри не стояли поруч?

Розв’язання. З цих цифр можна побудувати всього Р5 п’ятицифрових чисел.
Серед них є і такі, що містять 2 та 4 поруч, їх буде Р4 х Р2 (якщо 2 і 4
об’єднати в одну цифру, тоді з усіх цифр отримаємо Р4 чисел; 2 і 4 можна
переставити Р2 способами, за правилом множення Р4 х Р2 чисел).
Остаточно маємо Р5 — Р4 х Р2 = 72 числа.

2. З букв розрізної абетки складено слово «конус». Скільки «слів» можна
отримати, якщо переставити букви в цьому слові? (Словом будемо рахувати
будь-яку послідовність букв).

Розв’язання. Переставляючи місцями букви слова «конус», отримуємо Р5 =
5! нових слів.

3. Скільки десятицифрових чисел можна утворити в десятковій системі
числення без повторень?

Розв’язання. Всього чисел буде Р10 = 10!, але треба відняти ті, що
починаються з 0, таких чисел буде Р9. Остаточно маємо Р10 — Р9 = 10! —
9! чисел.

Запитання для самоконтролю

1. Сформулюйте правило добутку.

2. Поясніть на прикладі поняття факторіала.

3. Яка множина називається впорядкованою?

4. Поясніть на прикладі поняття перестановки елементів?

5. Скільки можна отримати перестановок з З, з 5, з n елементів?

Урок 2. Комбінаторні задачі.

Мета: перевірити рівень засвоєння основних понять та правил
комбінаторики, вміння їх застосовувати під час розв’язування задач
комбінаторного характеру; розвивати критичність, варіативність та
послідовність мислення; виховувати самостійність,

Тип: урок контролю та корекції знань.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання

Три учні розв’язують домашні задачі біля дошки, відповідають на
запитання однокласників.

III. Виконання вправ

Умови вправ демонструють на кодоплівці або відкидній дошці.

Вправа 1. Розклад уроків одного дня має 5 різних навчальних предметів.
Визначте кількість таких розкладів під час вибору з 11 навчальних
предметів.

Розв’язання. Перший урок можна обрати 11 способами, після цього другий
урок уже можна обрати 10 способами. Після такого вибору третій урок
можна обрати 9 способами, четвертий — 8, а п’ятий — 7 способами. Тобто
за правилом множення маємо 11x10x9x8x7 = 55440 (варіантів розкладу).

Вправа 2. Розклад одного дня має 6 різних уроків. Визначте кількість
варіантів таких розкладів під час вибору з таких предметів: алгебра,
геометрія, українська мова, фізкультура, хімія та фізика так, щоб
алгебра з геометрією йшли поряд.

Розв’язання. Об’єднаємо алгебру з геометрією умовно в один предмет, тоді
маємо 5 предметів і Р5 розташувань. Алгебру та геометрію можна
розставляти «всередині» нового предмета Р2 способами. Всього за правилом
добутку маємо Р5 > х Р2 = 5! х 2! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 х 2 х 1 = 240
(варіантів розкладу).

Вправа 3. Є р доріг, що ведуть від С до D через А, та q доріг, що ведуть
від С до D через В (причому А та В не пов’язані дорогами). Скільки можна
скласти автобусних маршрутів, що пов’язують пункти D та С?

Розв’язання. Автобусних маршрутів від С до D через А можна скласти р
способами, а від С до D через В — q способами. Оскільки А та В не
пов’язані дорогами, то за правилом суми маємо р + qt (способів складання
автобусних маршрутів);

Вправа 4. Скількома способами можна вибрати на шахівниці білий та чорний
квадрати, які не лежать на одній і тій самій горизонталі та вертикалі?

Розв’язання. Шахівниця має 8 х 8 = 64 квадрати. З них 32 білих та 32
чорних. Білий квадрат обираємо 32 способами та викреслюємо відповідні
горизонталь та вертикаль. На дошці і залишиться 24 чорних квадрати. За
правилом добутку маємо 32 х 24 = 768 (способів вибору).

Вправа 5. Для учнів було куплено 2n квитків у театр на місця, що
розташовані в одному ряду (в ньому 2n місць). Скільки є способів
розподілу цих квитків між учнями (n хлопчиків та п дівчат), щоб жодні
два хлопці або дівчинки не сиділи поруч?

Розв’язання. Розмістимо хлопчиків на парних місцях, що можна зробити Рn
= n! способами. Дівчат можна розмістити на непарних місцях довільно,
тобто ще Рn = n! способами. Всього за правилом добутку отримаємо (n!)2
способів. Стількома ж способами можна розмістити хлопчиків на непарних
місцях, дівчат — на парних. За правилом суми остаточно маємо

(n!)2 + (n!)2 = 2(n!)2 (способів розподілу місць).

IV. Самостійна робота

Кожному учню дається картка з завданнями.

I варіант

1. У книжковому магазині є 6 примірників роману Олеся Гончара «Собор», 3
примірники його ж роману «Тронка» та 4 примірники роману «Берег любові».
Крім того, є 5 томів, що містять романи «Собор» та «Тронка», та 7 томів,
що містять романи «Тронка» та «Берег любові». Скількома способами можна
зробити покупку, що складається з одного примірника кожного з цих
романів?

Розв’язання. Можна тупити або примірник кожного роману або том, що
містить два романи та примірник третього роману. За правилами добутку та
суми маємо 6хЗх4 + 5х4 + 7х 6 = 134 (способів покупки).

2. На пікнік поїхало 92 особи. Бутерброди з ковбасою взяли 47 чоловік,
із сиром — 38, з баликом — 42, з сиром та ковбасою — 28, з ковбасою та з
баликом — 31, із сиром та з баликом — 26. Усі три види бутербродів узяли
25 чоловік, а кілька замість бутербродів узяли з собою пиріжки. Скільки
чоловік узяли пиріжки, тільки бутерброди з ковбасою, тільки з сиром,
тільки з баликом?

Розв’язання. U — множина всіх, хто поїхав, А — множина тих, хто взяв
бутерброди з ковбасою, В — множина тих, хто взяв бутерброди з сиром, С —
множина тих, хто взяв бутерброди з баликом.

C) = 31,

C) = 25.

C) = 47 + 38 + + 42-28-31 -26 + 25 = 67.

C) = 92 — 67 = 25 чоловік взяли пиріжки.

В) = 67 — 47 — 38 + 28 = 10 чоловік узяли бутерброди з баликом.

C) = 67 — 38 — 42 +26 = 13 — бутерброди з ковбасою.

C) = 67 — 47 — 42+ 31 = 9 — бутерброди з сиром (мал. 7).

Мол. 7

3. Скільки десятицифрових чисел у десятковій системі числення можна
скласти так, щоб цифри 2 та 6 стояли поруч, а цифри в числі не
повторювалися?

Розв’язання. Об’єднаємо цифри 2 та 6 в одну, тоді способів розміщення
буде Р9 = 9!. Цифри 2 та 6 можна поміняти місцями Р2 способами. Отже, за
правилом добутку маємо Р9 х Р2 = 9! х 2! = 2 х 9! чисел. Але ж треба
відняти числа, які починаються з 0, їх Р8, тоді остаточно маємо Р9х Р2 —
Р8 = 9! х2 — 8!х 2! = 8! 2! (9 — 1) = 8! х 16 (чисел).

П варіант

1. В Англії є звичай давати дітям кілька імен. Скількома способами
можна назвати малюка, якщо загальна кількість імен дорівнює 300, а дають
йому не більше трьох імен?

Розв’язання. Малюку можна дати одне або два, або три імені, причому всі
вони різні. Всього за правилами суми та добутку маємо 300 + 300 х х 299
+ 300 х 299 х 298 = 26 820 600 (способів).

2. З 80 туристів, які поїхали за кордон, володіють німецькою 30
чоловік, англійською — 20, французькою — 32, англійською та німецькою —
5, англійською та французькою — 6, німецькою та французькою — 3, трьома
мовами володіють 2 чоловіки. Скільки туристів не володіють жодною мовою;
володіють лише англійською, лише німецькою, лише французькою?

Розв’язання. U — множина всіх туристів, А — множина тих, хто володіє
англійською, В — множина тих, хто володіє німецькою, С— множина тих, хто
володіє французькою.

C) = 6,

C) = 2.

C) = 20 + 30+32-5-6-3+2 = 70.

С) = 80 -70 = 10 туристів не володіють не однією мовою.

В) = 70 — 20 — 30 + 5 = 25 туристів володіють лише французькою мовою.

C) = 70 — 20 — 32 + 6 = 24 туристів володіють лише німецькою мовою.

B) = 70-30-32 + 3 = 11 туристів володіють лише англійською мовою (мал.
8).

3. Скількома способами можна вишикувати в одну шеренгу гравців двох
футбольних команд з 11 чоловік так, щоб при цьому два футболісти однієї
команди не стояли поруч?

Розв’язання. Гравців однієї команди можна розмістити умовно під парними
номерами Р11 = 11! способами. Гравців іншої команди можна тоді
розмістити під непарними номерами теж 11! способами. Всього за правилом
добутку маємо (11!)2 способів. Стількома ж способами можна розмістити
гравців першої команди під непарними номерами, а іншої — під парними. За
правилом суми маємо (11!)2 + (11!)2 = 2 (11!)2 (способів розташування).

V. Підведення підсумків

VI. Домашнє завдання

Домашнє завдання дається за підручником [15]. Запитання для самоконтролю
оформлюють у вигляді плаката та вивішують на дошці.

1. Скільки можна зробити з п елементів перестановок, у яких два
елементи а і b не стоять поруч? [15, № 324].

Розв’язання. Усіх перестановок можна зробити Рn = n!. З них таких, що а
і b стоять поруч, буде Р2 х Рn -1 = 2(n — 1)!. Тому шукане число
дорівнює Рn — Р2х Рn-1 = n! — 1(n — 1)! = (n -2)(n- 1)!.

2. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр І, 2, 3, 4, 5, якщо
кожну цифру можна використовувати не більше, ніж один раз? Більше одного
разу? [15, № 309].

Розв’язання. За правилом добутку маємо 5 х 4 х 3 = 60 чисел. Якщо цифри
можуть повторюватися, то 5 х 5 х 5 = 125 чисел.

3. На одній з бічних сторін трикутника взято т точок, на другій — п
точок. Кожну з вершин при основі трикутника сполучено прямими з точками,
які взято на протилежній стороні. Скільки точок перетину цих прямих
утворюється всередині трикутника? [15, № 316].

Розв’язання. За правилом добутку маємо т х х « точок.

4. Десять груп навчаються в десяти розміщених поряд аудиторіях. Скільки
існує варіантів розміщення груп по аудиторіях, за яких групи № 1 і № 2
перебуватимуть у сусідніх аудиторіях?

Розв’язання. Умовно об’єднаємо групи N° 1 і № 2 в одну, тоді способів
розміщення буде P9. Групи № 1 і № 2 можна поміняти місцями Р2 способами.
Отже, за правилом добутку, маємо Р9 х Р2 = 9! х 2! = 2 х 9! (варіантів
розміщення).

Запитання для самоконтролю:

1. Яким словом можна замінити слово «множина»?

2. Що таке елемент множини?

3. Як позначаються множини та їх елементи?

4. Як позначається порожня множина?

5. Наведіть приклади скінченних та нескінченних множин.

6. Які ви знаєте способи задання множин?

7. Наведіть приклад числової множини та її підмножини.

8. Як позначається кількість елементів?

9. Продовжіть речення:

а) об’єднанням двох множин називається … та позначається …

б) перерізом двох множин називається …. та позначається …

в) різницею двох множин називається … та позначається …

10. Хто ввів поняття «комбінаторика»?

11. Як на вашу думку, кому доводиться розв’язувати комбінаторні задачі?

12. Сформулюйте комбінаторне правило додавання.

13. Запишіть комбінаторне правило додавання для трьох множин.

14. Сформулюйте комбінаторне правило добутку.

15. Як ви розумієте поняття «факторіал»?

16. Яка множина називається впорядкованою?

17. Як ви розумієте поняття «перестановка з п елементів»?

18. Обчисліть кількість перестановок з 4, 5, п елементів.

§ 6. Уроки статистики в школі

Урок 1.

Тема. Вступ до статистики. Статистичне спостереження, генеральна
сукупність і вибірка.

Мета уроку. Учні повинні отримати уявлення про статистику як науку, її
предмет і методи, статистичні спостереження та їх види, статистичні
таблиці.

І. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Вступ до статистики

Теорію ймовірностей як науку про закономірності масових явищ можна
розглядати як частину більш широкої науки — статистики. Термін
«статистика» походить від латинського «status» — стан.

На початку XX ст. у США і в усіх західноєвропейських країнах виникли
урядові статистичні бюро, які проводили переписи населення і готували
результати їх обробки до публікації.

Зрозуміло, що статистичні дослідження різних країн можна порівнювати між
собою тільки за умови, якщо вони велися за однією і тією самою
методикою. Першими організаціями, наділеними координаційними функціями,
стали, починаючи з 1919 p., міжнародні статистичні конгреси. З 1946р.
при ООН працює Статистична комісія. Особливе значення мають публікації
статистичних матеріалів регіональними статистичними комісіями, що
входять до статистичної системи ООН. Назвемо найважливіші видання:

• Демографічний щорічник (Demographic Yearbook). Із цього видання можна
дізнатися про зміни чисельності населення країн світу, народжуваність,
смертність, розподіл населення на міське та сільське.

• Статистичний щорічник Продовольчої комісії, де публікуються дані про
урожайність і площі вирощування основних культур, а також рівні
споживання і якість продовольчих продуктів, їх калорійність у різних
країнах.

лікуються дані про рівень грамотності і розвиток культури та науки в
міжнародному масштабі.

Така увага до статистичних даних на державному і міжнародному рівнях
свідчить про необхідність оволодіння основними поняттями і методами
статистики.

Ми розглянемо такі основні теми математичної статистики:

1. Статистичне спостереження, генеральна сукупність і вибірка.

2. Варіаційні ряди і найпростіші їх характеристики.

3. Полігон і гістограма, медіана і мода.

4. Статистичні характеристики варіаційних рядів — середнє арифметичне і
вибіркова дисперсія.

Термін вибірка означає деяку групу, відібрану із сукупності. Якщо нас
буде цікавити певна характеристика сукупності, то її називають
параметром сукупності. Наприклад, розглянемо сукупність бухгалтерів
України, їхня середня заробітна плата буде являти собою параметр
сукупності. Але якщо відібрати 100 бухгалтерів, то це буде вибірка, а
їхня середня заробітна плата буде статистичним показником, який
характеризує параметр сукупності.

Метою статистичного дослідження може бути пошук величини параметра
сукупності, наприклад таких, як середня зарплата держслужбовців України
або середній зріст чоловічого населення Європи. Другою проблемою, яку
вирішують у статистичному дослідженні, є визначення ступеню довіри до
тверджень стосовно параметрів сукупності, коли параметр визначався за
певною вибіркою. Наприклад, наскільки середня зарплата сотні певним
чином відібраних бухгалтерів наближена до середньої зарплати всіх
бухгалтерів. Проте цю сторону статистичного дослідження ми розглядати не
будемо — її вивчають в університетському курсі математичної статистики.

Вибіркове спостереження застосовують із декількох причин.

1. Практичність. Генеральна сукупність, як правило, дуже велика,
практично необмежена, її фізично неможливо охопити спостереженнями.

2. Затрати. Статистичне спостереження кожного з представників сукупності
потребує певних коштів, і при збільшенні обсягу вибірки такі затрат
можуть зростати необмежено.

3. Виграш за часом дослідження. Часто буває так, що потрібно оцінити
параметр сукупності терміново і неможливо за обмежений проміжок часу
охопити всю сукупність.

4. Помилки. Разом зі збільшенням обсягу вибірки зростає кількість людей,
залучених до статистичного спостереження, водночас збільшується ризик
помилок з причини «людського фактора».

5. Статистичні випробування зі знищенням. Спостереження над
представниками вибірки може передбачати їх знищення. Наприклад,
досліджується тривалість безвідмовної роботи електролампочок певного
типу. Тоді судити про цей параметр усієї сукупності лампочок можна
тільки за результатом випробування певної вибірки лампочок.

Випадковий відбір. Дуже важливо, щоб вибірка була репрезентативною,
тобто з достатньою повнотою і правильністю представляла б усю генеральну
сукупність.

Як правило, набір даних у вибірці являє собою множину хтозна-як
розкиданих чисел. Якщо послідовно переглядати їх, то виявити якусь
закономірність їх еволюції досить важко. Для дослідження наявних
закономірностей, за якими змінюються значення випадкової величини,
експериментальні дані піддають попередній обробці.

Якщо вибіркові дані розташувати за таким порядком, щоб вони не спадали,
то таку вибірку називають ранжованою, а саму операцію переходу до такої
перестановки називають ранжуванням.

Після операції ранжування дані групують, тобто утворюють послідовний за
зростанням ряд ознак, і називають цей ряд варіаційним рядом. Елементи
варіаційного ряду — значення ознак — називають варіантами. Кількість
елементів вибірки, які мають одну й ту саму дану варіанту хі, називають
частотою варіанти і позначають nі Тоді вибірку можна задати у вигляді
частотної таблиці (табл. 1).

Таблиця 1

хі х1 х2 … хr

nі n1 n2 … nr

Приклад 1. Нехай за спостереженнями випадкової величини виділено вибірку
із 40 елементів (цифр):1; 3; 4; 1; 3; 2; 0; 2; 0; 5; 4; 4; 2; 6; 5; 2;
3; 2; 5; 2; 3; 0; 6; 2; 1; 4; 2; 4; 3; 5; 2; 0; 5; 3; 4; 2;1; 7; 1; 0.
Розташувавши ці дані за порядком зростання, дістанемо варіаційний ряд
спостережень: 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2;
2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7. У ньому
налічується вісім варіант: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Частотна таблиця
матиме вигляд (табл. 2).

Таблиця 2

xi 0 1 2 3 4 5 6 7

ni 5 5 10 6 6 5 2 1

Якщо кількість варіант досить значна, то сукупність їх значень
розділяють на інтервали. Існує кілька загальних правил групування
значень вибірки по інтервалах, які допомагають уникненню плутанини і
забезпечують ефективне складання таблиць. Наведемо найважливіші з них.

1. При виборі числа інтервалів групування краще за все орієнтуватися на
10—20 інтервалів.

2. Інтервали повинні мати однакову ширину.

3. Необхідно охоплювати всю область даних. Для цього потрібно знати межі
інтервалу даних.

4. Потрібно вибирати зручні інтервали групування. Якщо виразно
простежується певна однакова відстань між значеннями, то їх можна
використовувати як середини інтервалів.

II. Закріплення нового матеріалу

1. Розв’язати задачу. Опитавши 25 жінок про розмір їхнього взуття,
отримали такі дані: 37, 34, 36, 35, 34, 36, 38, 36, 38, 35, 36, 35, 37,
39, 37, 37, 36, 36, 35, 37, 39, 38, 34, 35, 36. Складіть частотну
таблицю. Вкажіть кількість варіант та частоту варіанти під номером 4.

Розв’язання (табл. 3)

Таблиця З

Розмір 34 35 36 37 38 39

Кількість 3 5 7 5 3 2

Кількість варіант — 6.

Частота варіанти під номером 4 — 5.

2. Розв’язати задачу. У математичній олімпіаді брало участь 12 учнів.
Вони отримали такі бали: О, 1, О, З, 1, З, З, 7, 9, 10, 11, 12. Складіть
частотну таблицю. Вкажіть кількість варіант та частоту результату 12
балів, 0 балів, 3 бали.

Розв’язання (табл. 4)

Таблиця 4

Кількість балів 0 1 3 7 9 10 11 12

Кількість учнів 2 2 3 1 1 1 1 1

Кількість варіант — 8.

Частота результату 12 балів дорівнює 1, О балів — 2, 3 балів — 3.

III. Підсумок уроку

Запитання до класу:

1. Що таке генеральна і вибіркова сукупності?

2. Навіщо застосовують вибіркове спостереження?

3. Що таке ранжування?

4. Що таке варіанта?

5. Навести приклади статистичних випробувань зі знищенням.

6. Що таке частота варіанти?

ІV. Домашнє завдання

1. Конспект.

2. Розділ 8, §§ 48, 49 з підручника.

3. Вправа 227 — вказати кількість варіант, побудувати частотну таблицю;
вправа 231.

(Тут і далі завдання виконуються з підручника: Шкіль М. І. та ін.
Алгебра і початки аналізу. Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч.
закладів / М. І. Шкіль, 3.1. Слєпкань, О. С. Дубинчук. — К.: Зодіак-ЕКО,
2003. — 384 с.)

Урок 2

Тема: Найпростіші характеристики варіаційних рядів.

Мета уроку. Учні повинні отримати уявлення про основні поняття
варіаційних рядів, розмах вибірки, статистичний ряд, абсолютну та
відносну частоту елемента. Про принцип побудови інтервального
статистичного ряду розподілу.

І. Перевірка домашнього завдання

Біля дошки учень розв’язує вправу № 231 (табл. 1).

Таблиця 1

Бали 34 35 36 37 38 39 41 42 45 46

Кількість учнів 1 2 1 2 2 4 1 1 1 1

Отже, першу премію одержало 4 школярі, другу — 8, а третю — 4.

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Нагадуємо, що елементи вибіркової сукупності називають варіантами.
Неспадну впорядковану послідовність варіант

називають варіаційним рядом. Іншими словами: варіаційний ряд — це
спосіб запису вибірки, за якого її елементи впорядковані за величиною.

Розмах вибірки w — це різниця між найбільшим та найменшим елементом
вибіркової сукупності w = xn —x1.

n) попарно різних чисел z1, z2, …, zk, причому zi, зустрічається ni,
разів. Число ni називається абсолютною частотою елемента zi. Очевидно,
що ni +n2 + … + nk= n.

Статистичним рядом називається послідовність пар

(zi, ni,), де i= 1,2, …, k.

елемента zi називається відношення частоти цього елемента до обсягу
вибірки, тобто

є статистичною ймовірністю події, яка полягає в тому, що спостережувана
випадкова величина дорівнює zi.

Статистичним рядом розподілу називають

. Цю відповідність упорядковують у таблиці такого вигляду (табл. 2).

Таблиця 2

.

На практиці для унаочнення довжину інтервалу h вибирають такою, щоб n
лежало в межах від десяти до двадцяти. Сучасний стан обчислювальної
техніки на такому високому рівні, що немає принципової необхідності
займатися оптимізацією довжини інтервалу.

Для повної визначеності елемент, який потрапив на границю інтервалу,
відносимо до правого інтервалу.

Здобуті дані подають у вигляді таблиці 3:

Таблиця З

Таку таблицю називають інтервальним статистичним рядом розподілу
спостережених частот.

Інтервальним статистичним рядом розподілу називається сукупність пар

— середина /-го інтервалу;

ni — частота потрапляння у i-й інтервал.

Приклад. Маємо вибірку із 55 спостережень:

20,3 15,4 17,2 19,2 23,3 18,1 21,9

15,3 16,8 13,2 20,4 16,5 19,7 20,5

14,3 20,1 16,8 14,7 20,8 19,5 15,3

19,3 17,8 16,2 15,7 22,8 21,9 12,5

10,1 21,1 18,3 14,7 14,5 18,1 18,4

13,9 19,1 18,5 20,2 23,8 16,7 20,4

19,5 17,2 19,6 17,8 21,3 17,5 19,4

17,8 13,5 17,8 11,8 18,6 19,1

Подати її у вигляді частот частот, використовуючи сім інтервалів
групування.

Розв’язання. Оскільки розмах вибірки w = = 23,8— 10,1 = 13,7, то за
довжину інтервалу

2. За перший інтервал групування тут найзручніше вибрати 10—12.
Результати групування зведемо у таблицю 4:

Таблиця 4

Номер інтервалу 1 2 3 4 5 6 7

Межі інтервалу 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Частота 2 4 8 12 16 10 3

Відносна частота 0,036 0,073 0,145 0,218 0,291 0,181 0,054

III. Підсумок уроку

IV. Домашнє завдання

1. Дати означення відносної частоти.

2. У класі проводиться експеримент з реєстрації номера місяця
народження кожного з учнів. Побудувати варіаційний і статистичний ряди
отриманої вибірки.

3. Із підручника математики кожному учню визначають певну сторінку
(згідно з порядковим номером у шкільному журналі). На кожній сторінці
підраховується кількість усіх слів. Побудувати варіаційний і
статистичний ряди отриманої вибірки.

4. Із підручника математики кожному учню визначають певну сторінку
(згідно з порядковим номером у шкільному журналі). На кожній сторінці
підраховують кількість службових слів. Побудувати варіаційний і
статистичний ряди отриманої вибірки.

5. Із підручника математики кожному учню визначають певну сторінку
(згідно з порядковим номером у шкільному журналі). Побудувати
варіаційний і статистичний ряди процентного відношення числа службових
слів до числа всіх слів.

Урок З

Тема. Полігон і гістограма, медіана і мода.

Мета уроку. Ознайомити учнів з найпростішими прийомами аналізу
статистичного матеріалу: побудовою полігону статистичного ряду та
гістограми інтервального статистичного ряду. Також ознайомитися з
найпростішими числовими характеристиками випадкової вибірки: медіаною та
модою.

I. Перевірка домашнього завдання (фронтально)

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

З метою створення візуального відображення статистичної інформації
користуються різними графіками. Найпоширеніші види графічного
відображення статистичної інформації — це полігони і гістограми.
Графічне зображення варіаційних рядів за допомогою полігона чи
гістограми допомагає отримати наочне уявлення про закономірності про
можливі зміни спостережуваних значень.

Полігон, як правило, використовують для відображення дискретного
варіаційного ряду.

Полігоном частот називають ламану з вершинами у точках (zi, ni), і — 1,
2, …, k. Тут zі- — значення і-ї варіанти, а ni — відповідна цій
варіанті частота.

Для побудови полігона частот на осі абсцис відкладають варіанти zi, а на
осі ординат — відповідні частоти. Точки (zi, ni) сполучають відрізками
прямих і отримують полігон частот.

Зобразимо полігон частот варіаційного ряду, заданого таблицею 1.

Таблиця 1

0,1 0,2 0,4 0,3

По суті, полігон частот — це графічне зображення інтервального ряду
(мал. 1).

), …,

) — тобто це статистичне зображення статистичного розподілу.

.

Гістограми використовують для зображення винятково інтервальних
варіаційних рядів. Для її побудови в прямокутній системі координат на
осі абсцис відкладають відрізки, що є частковими інтервалами
спостережень. На цих відрізках, як на основах, будують прямокутники з
висотами, що дорівнюють частотам — абсолютним або відносним. Тобто
розглядають два типи гістограм. Варто знати формальне означення
гістограми.

.

Площа гістограми абсолютних частот дорівнює п.

, то загальна площа гістограми дорівнює одиниці. По суті, гістограма —
це графічний статистичний аналог щільності.

Зобразимо гістограму абсолютних частот, задану таблицею 2.

Таблиця 2

Частковий інтервал 2—5 5—8 8—11 11—14

Потрібно визнати, що побудова полігонів і гістограм потребує певних
зусиль обчислювального та графічного характеру (мал. 2). Тому для
оперативного аналізу статистичних даних слугують такі їх спрощені
характеристики, як медіана і мода. Подамо їх означення.

Медіаною випадкової вибірки називають той її елемент, який поділяє
варіаційний ряд навпіл. У цьому означенні є певна неясність: якщо число
елементів у вибірці парне, то середнього елемента не існує. В цьому
випадку за медіану беруть два елементи, які знаходяться посередині
вибірки. Тобто в таких випадках існують дві медіани, правда, вони можуть
збігатися.

Модою випадкової вибірки називають значення того елемента, який
трапляється найчастіше. Можна сказати, що поняття моди в даному
контексті збігається, взагалі кажучи, з побутовим значенням цього слова.
Наприклад, в певному магазині продають три типи шкільних ранців: на 3 кг
ваги вмісту, на 4 і на 5 кг. Випадкова вибірка з 10 елементів виявилася
такою: 5, 4, 5, 4, 5, 5, З, З, 5, 5. Складемо частотну таблицю (табл.
3).

Таблиця З

3 4 5

2 2 6

Легко бачити, що варіанта 5 зустрічається найчастіше — 6 разів. Це і є
мода даної вибірки.

III. Закріплення нового матеріалу

1. Розв’язати задачу. На заводі протягом семигодинного робочого дня
робітник виготовляв: 10, 8, 11, 12, 11, 9, 7 деталей. Знайти моду,
медіану.

Відповідь: мода — 11, медіана — 10. Побудуйте гістограму.

2. Розв’язати задачу. Група учнів у кількості 20 чоловік підтягувалася
на перекладині. Результати підтягування були такі: 12, 14, 9, 10, 10,
12, 11, 8, 9, 7, 10, 10, 13, 15, 10, 9, 14, 10, 11, 13. Знайти моду,
медіану.

Відповідь: мода — 10, медіана — 10. Побудуйте полігон.

На наступному уроці ми ознайомимося з більш інформативними числовими
характеристиками випадкових вибірок.

IV. Підсумок уроку

1. Що таке полігон, як його побудувати?

2. Що таке гістограма, як її побудувати?

3. Що таке мода, як її знайти?

4. Що таке медіана, як її знайти?

V. Домашнє завдання

1. Побудувати полігони частот і відносних частот для вибірки, заданої
таблицею 4.

Таблиця 4

хі 1 3 5 7 9

ni 10 15 30 33 12

2. Зобразити гістограму абсолютних частот, задану таблицею 5.

Таблиця 5

Частковий інтервал 2-5 5-8 8-11 11-14

Абсолютна частота 25 10 9 6

3. Зобразити гістограму абсолютних частот, задану таблицею 6.

Таблиця 6

Частковий інтервал 2-5 5-8 8-11 11-14

Абсолютна частота 25 10 9 6

4. Дослідити статистику оцінок з математики в класі за останню чверть.
Скласти полігон частот, знайти медіану і моду.

5. Навести приклади різних наборів спостережень з довкілля.

Урок 4

Тема. Середнє арифметичне і вибіркова дисперсія.

Мета уроку. Ознайомити учнів з найважливішими числовими характеристиками
випадкових вибірок: вибірковим середнім та вибірковою дисперсією — й
основними прийомами їх обчислень.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Вибірково перевірити зошити з виконаним домашнім завданням.

2. Перевірити засвоєння теоретичного матеріалу можна такими усними
вправами:

За даними вибірки 1; 5; 4; 6; 3; 2; 6; 4; 5; 4:

а) заповнити таблицю 1 точкового розподілу частот.

Таблиця 1

Число 1 2 3 4 5 6

Частота

б) заповнити таблицю 2 інтервального розподілу частот.

Таблиця 2

Інтервал 1—2 3—4 5—6

Частота

2) Дано вибірку 2; 2; 4; 5; 7. Знайти: а) її моду; б) її медіану.

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Графічно зобразивши варіаційний ряд, дослідник отримує можливість
наочного уявлення про характер поведінки генеральної сукупності і
початкового її аналізу. На практиці цього буває недостатньо. Насамперед
залишається неясним, як формально порівнювати два графічні зображення
незалежно від індивідуальних уподобань і досвіду дослідника. Тому для
подальшого вивчення характеру варіації (зміни) елементів у випадковій
вибірці використовують їх числові характеристики.

Оскільки числові характеристики стосуються вибірок, то їх називають
вибірковими. Ми ознайомимося з основними з них: вибірковим середнім
(арифметичним — це слово часто опускають) та вибірковою дисперсією.

Вибіркове середнє арифметичне випадкової вибірки х1, х2,…, хn
позначають символом х і виражають формулою:

Розглянемо окремі випадки, коли обчислення вибіркового середнього можна
спростити.

.Тоді вибіркове середнє даної сукупності можна обчислювати за формулою

Якщо ж вибіркова сукупність задана послідовністю тих самих варіант і
послідовністю відповідних їм абсолютних частот n1, n2,…, nk, то
вибіркове середнє можна обчислити за формулою:

формулою :

.

.

Приклади обчислень вибіркового середнього можна взяти з підручника.

) — де буде вибіркова дисперсія.

Вибірковою дисперсією випадкової вибірки х = (х1, х2, …,хn) називають
величину

.

Ця формула не завжди зручна для обчислення вибіркової дисперсії. Можна
довести, що дане обчислення можна вести за такою формулою:

або в розгорнутій формі:

Якщо позначити всі попарно різні варіанти z= (z1, z2, …, zk), a
відповідні їм абсолютні частоти n1, n2, …, nk то для вибіркової
дисперсії буде мати місце

III. Закріплення нового матеріалу

1. Знайти центральні тенденції вибірки: 1, 4, 5, 6, 1, 3, 5, 4, 5.

.

2. Знайти вибіркову дисперсію для вибірки, заданої статистичним рядом
розподілу (табл. 3).

Таблиця З

zi 2 5 7 10

ni 16 12 8 4

Розв’язання (див. табл. 4).

Таблиця 4

ni 64 300 392 400

Тепер легко провести подальші обчислення:

=28,9.

= 28,9 — (4,7)2 = 28,9 — 22,09 = 6,81.

Отже, вибіркова дисперсія даного варіаційного ряду дорівнює 6,81.

Після вивчення основних понять статистики бажано провести самостійну
роботу.

IV. Самостійна робота

I рівень.

Визначте моду і медіану, використовуючи дані про відсоток жирності
молока 20 корів (у відсотках): 3,8; 3,9; 4,0; 4,1; 3,8; 3,7; 3,6; 3,7;
3,9; 3,7. Складіть варіативний ряд і статистичну таблицю. Знайдіть
середнє значення жирності молока (3 бали).

II рівень.

Протягом березня середньодобова температура (в градусах) була такою: 6,
7, 5, 4, 3, 2, 5, 5, 6, 7, 6, 5, 8, 6, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 5, 6, 4, 5, 5,
6, 4, 4, 5, 6, 7. Побудуйте полігон. Знайдіть моду, медіану, середнє
значення сукупності значень температури (6 балів).

III рівень.

За контрольну роботу учні 11 класу отримали бали (табл. 5).

Таблиця 5

Номер у списку 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Кількість балів 10 8 7 6 9 7 5 2 3 4

Номер у списку 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Кількість балів 8 7 7 8 4 9 11 5 6 7

Визначте центральні тенденції. Побудуйте полігон (9 балів).

IV рівень.

Учні 9 класу показали результати зі стрибків у висоту (табл. 6, 7).

Таблиця 6

Номер у списку 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Результат 130 135 120 115 120 125 140 138 135 130 120 130

Таблиця 7

Номер у списку 13 14 15 16 14 18 19 20 21 22 23 24

Результат 125 128 130 125 135 138 135 136 121 125 128 130

Складіть частотну таблицю і побудуйте відповідну гістограму. Визначте
центральні тенденції (12 балів).

У самостійній роботі учень сам обирає для себе відповідний рівень

V. Домашнє завдання

1. Знайти вибіркову дисперсію для вибірки, заданої таким статистичним
рядом розподілу (табл. 8).

Таблиця 8

zi 1 3 39 45

ni 8 16 40 26

Розв’язання. Складемо таку таблицю (табл. 9).

Таблиця 9

ni 8 144 60840 52650

Тепер легко провести подальші обчислення:

= З0,96.

Отже, вибіркова дисперсія даного варіаційного ряду дорівнює 304,4.

2. Провести дослідження статистики оцінок з математики в класі за
останню чверть: знайти середнє арифметичне і вибіркову дисперсію.

3. Тема для дослідження. Проаналізувати частоту вживання службових слів
на різних сторінках підручника з математики. Вирішити питання про
близькість частот та існування певної характерної частоти вживання
службових слів автором підручника.

4. Розділ 8, §§52, 53.

Література

Андронов И.К.Полвека развития школьного математического образования в
СССР. – М.1967.

Ващенко Л.И. преподавании теории вероятностей и математической
статистики в Республиканской физико-математической школе при Киевском
ордена Ленина государственном университете им. Т.Г. Шевченко.- К.: Изд.
Института матматики АН УССР, 1975.

Гнеденко Б.В. На уровне ХІХ века//Учительская газета № 74 (4273), 21
июля 1962 г.

Гришанов В.И. Профессиональная направленность преподавания курса
математического анализа// Пути оптимизации обучения матматики в вузе и
школе. – Саранск, 1986.

Державний стандарт загальної середньої освіти в Україні. Освітня галузь
“Математика”. Проект. – К.: “Генеза”, 1997.

Долбилин Н.П., Никольський С.М. Заметки о конгрессе // Математики в
школе № 4: н-м.ж. – М.: Педагогика, 1989.

Ермаков В.П. Анализ бесконечно малых величин. Часть 1. – Киев, 1907.

Колмогоров А.Н. новым программам по математике // Математика в школе №
2: н-м.ж. – М.: Педагогика, 1968.

Концепция развития школьного математического образования // Математика в
школе № 1: н-м.ж. – М.: Педагогика, 1990.

Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике
математики. – М., 1951.

Метельский Н.В. Очерки истории методики математики. К вопросу о реформе
преподавания математики в средней школе. Под редакцией И.Я. Депмана. –
Минск, «Вышейшая шкоал», 1968.

Сборник программ и инструкций по преподаванию математики в Западной
Европе. М., 1914.

Франко І.Я. Наука і її взаємини з працюючими класами // Зібрання творів
у піт десяти томах, т.45. – К.: Наукова думка, 1986.

Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких переменных. – М.:
Наука, 1972.

Шкіль М.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М. Алгебра і початки аналізу: Підруч.
Для 11 кл. З погл. вивч. математики в серед. закл. освіти. — К.: Освіта,
2001.

Похожие записи