Реферат на тему:

Моделювання економічного ризику на базі концепції теорії гри

Модель – це об’єкт, що заміщує оригінал і відбиває найважливіші риси і
властивості оригіналу для даного дослідження, даної мети дослідження за
обраної системи гіпотез.

Математична модель – це абстракція реальної дійсності (світу), в якій
відношення між реальними елементами, а саме ті, що цікавлять дослідника,
замінені відношеннями між математичними категоріями. Сутність
методології математичного моделювання полягає в заміні реального об’єкта
його “образом” – математичною моделлю – і подальшим вивченням моделі на
підставі аналітичних методів та обчислювально-логічних алгоритмів, які
реалізуються за допомогою комп’ютерних програм. Робота не із самим
об’єктом (явищем, економічним процесом), а з його моделлю дає можливість
відносно швидко і безболісно досліджувати його основні властивості та
поведінку за будь-яких імовірних ситуацій.

Теорія гри – це розділ сучасної математики, в якому вивчаються
математичні моделі прийняття рішень за умов невизначеності,
конфліктності, тобто в ситуаціях, коли інтереси сторін (гравців) або
протилежні або не співпадають, хоча й не є протилежними.

Гра – це формалізований опис (модель) конфліктної ситуації, що містить
чітко визначені правила дій її учасників, які намагаються отримати певну
перемогу через вибір конкретної (в певному розумінні найкращої)
стратегії поведінки.

Теоретико-ігрова модель та її основні компоненти

Для дослідження статистичних моделей в умовах невизначеності,
конфліктності та зумовленого ними ризику використовують схему гри з
економічним середовищем. Під економічним середовищем, зазвичай,
розуміють сукупність невизначених чинників (у тому числі й економічних),
які впливають на ефективність рішення, що приймається. Складовими такої
гри є :

, взаємовиключних рішень (стратегій), одне з яких йому необхідно
обрати;

, один з яких обов’язково настане;

3) відсутність у СПР апріорної інформації про те, в якому із своїх
станів перебуватиме економічне середовище (які рішення прийме другий
гравець);

Функціонал оцінювання F називають також матрицею гри або платіжною
матрицею.

Функціонал оцінювання

є дискретними, функціонал оцінювання задається матрицею:

,

якої — це кількісна оцінка рішення (стратегії) sk(S за умови, що
середовище перебуває у стані (j ( (.

При цьому кожному рішенню sk відповідає вектор оцінювання

Fk = (fk1; fk2; …; fkn(, к = 1, …, m.

(негативний інгредієнт) функціонал використовується для оптимізації
таких категорій, як програш, затрати, збитки, ризик, імовірність невдачі
тощо.

Матриця ризику

Елементи матриці ризику знаходять за однією з двох формул :

, то

,

, то

.

Очевидно, що матриця ризику має негативний інгредієнт:

.

Інформаційна ситуація

Під інформаційною ситуацією з погляду суб’єкта керування (залежно від
ступеня його інформованості) розуміють певний ступінь градації
невизначеності щодо перебування економічним середовищем в одному зі
своїх можливих станів у момент прийняття рішення суб’єктом управління
(гравцем).

Класифікатор інформаційних ситуацій, що характеризують поведінку
економічного середовища при “виборі” свого стану в процесі прийняття
рішення можна побудувати таким чином [1, 2, 3, 5].

(достатня за обсягом інформація).

Друга інформаційна ситуація – характеризується можливістю оцінити
параметри (числові характеристики), які характеризують розподіл
апріорних ймовірностей станів економічного середовища (математичне
сподівання, дисперсію) хоча сам закон розподілу ймовірності є невідомим
(достатня за обсягом інформація).

Третя інформаційна ситуація – характеризується певною системою (лінійних
чи нелінійних) співвідношень пріоритету стосовно елементів множини ( –
станів економічного середовища (обсяг інформації про економічне
середовище недостатній).

Четверта інформаційна ситуація – характеризується, з одного боку,
невідомим розподілом апріорних імовірностей станів економічного
середовища, а з іншого боку – відсутністю активної протидії економічного
середовища цілям суб’єкта управління.

П’ята інформаційна ситуація – характеризується абсолютно протилежними
(антагоністичними) інтересами СПР та економічного середовища, тобто має
місце конфлікт між ними. При цьому економічне середовище є активним і
являє собою зловмисного противника. (Це ситуація, коли обсяг інформації
про поведінку економічного середовища достатній).

економічне середовище не є пасивним.

Слід зауважити, що кожній інформаційній ситуації відповідає свій набір
критеріїв прийняття рішень.

Прийняття рішень у полі першої інформаційної ситуації

Перша інформаційна ситуація є поширеною в більшості практичних задач
прийняття рішень за умов ризику. При цьому ефективно використовуються
методи теорії ймовірності та математичної статистики, особливо точкові
статистичні оцінки.

Розглянемо деякі з основних критеріїв прийняття рішень у полі першої
інформаційної ситуації.

визначається умовою:

В+(sk; Р).

.

. У цьому випадку оптимальне рішення (стратегія) визначається умовою:

.

Слід відмітити, що як показують дослідження, навіть у випадку
сприятливої щодо СПР ситуації рішення, прийняте лише на основі критерію
Байєса, неадекватне, тобто воно не враховує всі аспекти реальної
ситуації (оскільки він не враховує варіацію). Тому оцінки, отримані
згідно з цим критерієм, часто використовують як складові більш складних
критеріїв, що враховують розкид значень функціоналу оцінювання на
множині сценаріїв (це розглядатиметься далі).

може визначатись умовою:

.

може визначатись умовою:

,

– вектор індикаторів несприятливих відхилень для рішення sk відносно
байєсівської оцінки В (sк; Р) цього рішення (k = 1, …, m).

i

j

?????

$

$

j

, то оптимальним слід вважати рішення (стратегію)

– величина коефіцієнта варіації для рішення sk.

, то оптимальним слід вважати рішення

– величина коефіцієнта семіваріації для рішення sk.

Прийняття рішень у полі другої інформаційної ситуації

, який розглядається як прийнятна оцінка розподілу ймовірності станів
економічного середовища. Після цього, стосовно прийняття рішень, можна
скористатись критеріями, що розглядались у випадку першої інформаційної
ситуації.

Прийняття рішень у полі третьої інформаційної ситуації

Необхідно відмітити, що для цієї інформаційної ситуації характерним є
те, що апріорі закон розподілу ймовірностей станів економічного
середовища невідомий, але відомі деякі співвідношення пріоритету
стосовно елементів множини станів економічного середовища. А тому
суттєвою проблемою у цій ситуації є генерація гіпотез (допущень), на
основі яких та наявної інформації здійснювалось би оцінювання розподілу
ймовірностей станів економічного середовища.

можна будувати у вигляді спадної арифметичної прогресії. Він показав,
що ці оцінки можна обчислювати за формулою:

.

Друга формула Фішберна. У випадку, коли апріорі можна стверджувати, що
мають місце співвідношення пріоритету щодо станів економічного
середовища

………………………………………………….

,

, апріорних ймовірностей можна вибрати у вигляді спадної геометричної
прогресії:

.

Наступним етапом, після оцінювання розподілу ймовірності станів
економічного середовища згідно з однією із формул Фішберна, є прийняття
рішення з використанням критеріїв, розглянутих у випадку першої
інформаційної ситуації.

Прийняття рішень у полі четвертої інформаційної ситуації

.

Прийняття рішень у полі п’ятої інформаційної ситуації

Ця інформаційна ситуація характеризується антагоністичними інтересами
СПР та економічного середовища, тобто має місце конфлікт між ними. При
цьому економічне середовище є активним, тобто таким, що активно протидіє
досягненню найбільшої ефективності рішень, які приймаються СПР. Це
досягається шляхом вибору таких своїх станів, які зводять до мінімуму
ефективність процесу управління.

Необхідно зазначити, що основною стратегією для СПР у полі п’ятої
інформаційної ситуації є забезпечення собі гарантованих рівнів значень
функціоналу оцінювання.

1) Критерій Вальда. Коли F = F+, то згідно з критерієм Вальда оптимальне
рішення вибирається за принципом maxmin (максиміну).

.

, оптимальне рішення знаходиться згідно з принципом minmax (мінімаксу),
а саме:

.

Слід зазначити, що критерій Вальда надзвичайно консервативний, тобто
безризиковий у такій ситуації, де недоцільно ризикувати.

, то згідно з критерієм домінуючого результату оптимальне рішення
забезпечується maxmax (максимаксною) стратегією:

.

оптимальне рішення забезпечується minmin (мінмінною) стратегією:

.

В основному цей критерій використовується як складова частина в процесі
побудови складних моделей прийняття багатоцільових рішень для імітації
найсприятливіших ситуацій (наприклад, в критерії Гурвіца, що
використовується в полі шостої інформаційної ситуації).

. Тоді згідно з критерієм Севіджем оптимальним слід вважати рішення:

.

Прийняття рішень у полі шостої інформаційної ситуації

Нагадаємо, що ця ситуація характеризується наявністю чинників, що
зумовлюють «проміжну» між п’ятьма вищерозглянутими інформаційними
ситуаціями поведінку економічного середовища щодо вибору своїх станів.

Класичними прикладами критеріїв прийняття компромісних рішень в полі
шостої інформаційної ситуації критерій Гурвіца, модифіковані критерії та
критерій Ходжеса-Лемана [1, 2, 3, 5, 6].

1) Критерій Гурвіца. Гурвіц запропонував використовувати зважену
комбінацію найкращого та найгіршого. Такий підхід до вибору рішень
відомий як критерій показника песимізму-оптимізму. Особливістю цього
критерію є те, що в ньому передбачається не повний, а лише частковий
антагонізм середовища та СПР.

Згідно з критерієм Гурвіца у випадку, коли F = F+, оптимальним є рішення

.

називають (-показником Гурвіца для рішення sk ( S.

, оптимальним є рішення

.

Параметр ( в обох випадках можна інтерпретувати як коефіцієнт
несхильності до ризику.

, оптимальним є рішення

,

, рішення

,

, який використовується у зазначених вище критеріях, можна трактувати
як коефіцієнт несхильності СПР до ризику.

3) Критерій Ходжеса-Лемана. Ходжес та Леман стоять на тій точці зору, що
в практиці прийняття рішень в умовах невизначеності інформація про стан
ЕС знаходиться між повним незнанням та точним знанням апріорного
розподілу. Критерій Ходжеса-Лемана дає змогу використовувати всю
інформацію, що її має суб’єкт управління, але в той же час забезпечує
заданий рівень гарантії у випадку, коли ця інформація неточна. У деякому
плані критерій Ходжеса-Лемана являє собою «суміш» критеріїв Байєса та
Вальда.

Згідно з критерієм Ходжеса-Лемана у випадку, коли F = F+, оптимальним є
рішення

.

, то оптимальним рішенням є

.

Як і раніше, параметр (([0,1], і його можна інтерпретувати як коефіцієнт
несхильності до ризику.

Прийняття рішень, оптимальних за Парето

.

).

.

). Тоді оптимальне рішення доцільно шукати серед елементів множини
Парето SП, використовуючи при цьому критерії, адекватні ситуації
прийняття рішень.

“Пасивне” економічне середовище характеризують перша, друга, третя та
четверта інформаційні ситуації, оскільки згідно з наведеною вище
класифікацією стани економічного середовища в полі цих інформаційних
ситуацій реалізуються відповідно до заданого або гіпотетичного закону
розподілу ймовірностей.

Символ “:” в математичних викладках є еквівалентом слів “для якого”.

(

(

Похожие записи