.

Знакозмінні та знакопостійні ряди. Абсолютна та умовна збіжність (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 2228
Скачать документ

Знакозмінні та знакопостійні ряди.

Абсолютна та умовна збіжність.

План.

Означення закономірного ряду.

Теорема Коші.

Абсолютна та умовна збіжність.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі:
В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992
р. ст. 16-19.

де q – стале число, менше за одиницю, то ряд збігається.

то ряд розбігається.

Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із
спадною геометричною прогресією, знаменник якої q. Варто зауважити, що
нерівність

характеризує при цьому “швидкість” збіжностей даного ряду порівняно з
геометричною прогресією.

, отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова
збіжності не виконується.

, то при r < 1 ряд напевне збігається. Випадок r = 1 і тут взагалі є сумнівний.Доведення.), ми з певного моменту матимемо – в першому випадку:отже, ряд розбігається.Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від’ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему.буде:Але тоді й поготівАле це й доводить теорему.Розглянемо, наприклад, ряд(1)Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд(2)є знакододатний. Порівнюючи його з рядом(3)маємо, отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним.і т.п.розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним.умовно збіжний,умовно збіжний, бо рядЗнакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.План.Означення знакочергуючого ряду.Ознака Лейбніца.Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.Означення. Знакозмінними рядами називаються ряди виду:- додатні числа., причому запишемо її в двох різних виглядах:.монотонно зростає при збільшенні К.З другого бокуобмежена зверху., при чому ця границя, очевидно, більша за а1 – а2 і не перевищує а1:< а1.O? P&????< а1.+1, маємо:+ а2к+1.Отже,Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:(0 < S < a1),коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.Наслідок. За умовою теореми Лейбніца остаточна S – Sn = rn менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:, і має знак цього члена.Доведення. Маємо:,Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому,, представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.Диференціювання та інтегруваннястепеневих рядів.План.1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23.Диференціювання степеневих рядів.Теорема. Якщо степеневий ряд(1)має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд, (2)., ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.Для цього, досить виявити збіжність ряду(3)що відіграватиме роль мажоруючого ряду., маємо,. Застосуємо до ряду(4)ознаку Даламбера:.р’.Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р.Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд,, то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже,.Теорему доведено.Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f(k)(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.Інтегрування степеневих рядів.Теорема. Степеневий ряд(5)з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):(6)і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.Доведення. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019