Дипломна робота

Формування обчислювальних навиків та умінь в молодших школярів на уроках
математики

ЗМІСТ

ВСТУП. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Розділ 1. Теоретичні основи арифметичних дій

в початковому курсі математики . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Аналіз основних програмових завдань щодо

обчислювальних навиків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Типи арифметичних дій та основні етапи їх вивчення

в початковому курсі математики . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Формування різних груп обчислювальних прийомів . . . . . . . . .
. . . . . . . 16

Розділ 2. Методика формування обчислювальних

навичок і вмінь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1. Зміст системи елементарних опорних сигналів . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 28

2.2. Методика складання та вивчення таблиць

додавання і віднімання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Аналіз властивостей дій ІІ ступеня. Прийоми

вивчення множення і ділення. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. Раціональні способи усних обчислень. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 41

2.5. Помилки при обчисленнях і методика роботи над ними . . . . . . . .
. . . . . . . 48

2.6. Обґрунтування та аналіз проведеного експерименту. . . . . . . . . .
. . . . . . . . 73

ВИСНОВКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 83

ДОДАТКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

ВСТУП

Формування обчислювальних навиків та умінь у початковій школі – важливий
чинник опанування такою складною дисципліною як математика.

Актуальність даного дослідження пов’язане із впровадженням у
навчально-виховний процес нетрадиційних форм опанування арифметичними
діями, якими людина постійно користується у своєму життєвому середовищі.
Відомо, що найважче молодшому школяреві дається для засвоєння табличне
множення і ділення. Дитині складно механічно запам’ятати усі результати
множення та ділення, тому слід впроваджувати більш цікаві форми та види
роботи для опанування цим матеріалом. Тема дослідження є актуальною для
сучасної школи, оскільки більшість учнів після завершення початкової
школи мають досить низький рівень сформованості обчислювальних навиків.

Формування обчислювальних умінь і навичок в учнів І-ІV класів – одне із
головних завдань математики. Будь-яке обчислювальне вміння чи навичка
формуються на основі свідомого використання прийомів обчислень (або
обчислювальних прийомів).

Великий внесок у розвиток проблеми формування практичних вмінь і навичок
на уроках математики зробили вчені: П.Р. Атутов, М.М. Скаткін,
С.М. Шабанов, Д.А. Енштейн та ін.

На необхідність формування вмінь і навичок, які повинні знайти
безпосереднє застосування в різних видах практичної діяльності учнів,
вказується в роботах Н.О. Мечинської, О.Я. Савченко, А.М. Пишкало, А.М.
Алексюк, С.І. Шварцбурд, В.М. Монахов, Б.В. Гнеденко, В.Г. Зубов та ін
[42, 15].

Зараз склалось таке становище, при якому, з одного боку визначається
необхідність посилення практичної спрямованості в навчанні молодших
школярів. З другого боку, як показує практика, багато методистів і
вчителів не знають, не вміють використовувати навчальний матеріал для
реалізації принципу зв’язку навчання з життям. Процес формування
практичних вмінь і навичок при вивченні початкового курсу математики є в
основному випадковим, оскільки методика реалізації цього принципу
недостатньо розроблена.

Характеризуючи вміння, багато психологів і педагогів як суттєву ознаку
виділяють в ньому вибір правильних прийомів у виконанні тієї чи іншої
дії. Так Д.Н. Богоявленський і Н.О. Мечинська розглядаючи формування
вміння застосовувати знання при розв’язуванні різних завдань
притримуються думки про те, що існує тісний зв’язок цієї проблеми з
питанням вибору найефективніших прийомів їх розв’язування. [8, 43]

У шкільному курсі математики методистами – С.І. Шварцбурдом та
В.М. Монаховим визначені можливості розкриття учнями практичного змісту
в таких напрямах:

Розкриття своєрідності відображення математичної реальності світу.

Розкриття ідеї застосування математики до розв’язування задач на
практиці.

Формування вмінь і навичок необхідних в житті і на виробництві. [3,2]

Г.С Костюк вказує, що “вміння – це заснована на знаннях і навичках
готовність людини успішно виконувати певну діяльність” [37,434]

Вміє той, хто не тільки знає, а й може застосувати свої знання на
практиці, користуватися ними у змінюваних ситуаціях. Можна сказати, що
вміння – це знання людини в дії. А вдосконалені шляхом багаторазових
вправ компоненти вмінь, що виявляються в автоматизованому виконанні дій,
називаються навичками.

Академік АПН України О. Савченко дає найбільш чітке і стисле
формулювання понять “вміння” і “навички”. Вміння – готовність людини
ефективно виконувати дії відповідно до мети і умов, в яких необхідно
діяти [54,394], а навичка – усталений засіб виконання дій сформований у
результаті багаторазових повторень.

Інший погляд на суть уміння і навички в педагогів. В основі визначення
цих понять лежить різний ступінь усвідомленості способу дій [29, 76].

“Навичка – це діяльність, що виконується учнем безпомилково і через
багаторазове повторення автоматизується, здійснюючись значною мірою без
участі свідомості. Навичка діє стереотипно в стабільних умовах” [27,97].

“Уміння – це здатність людини свідомо виконати певну дію на основі знань
та навичок. Це інтелектуальна діяльність, яка завжди пов’язана із
застосуванням знань, тому уміння часто називають знанням у дії. Їх
суттєва особливість – високий рівень узагальненості. Завдяки цьому і на
відміну від стереотипної дії навичок уміння забезпечують здатність
розв’язувати поставлені завдання в умовах, що постійно змінюються.
Знання є основою формування навичок та вмінь” [27,97].

Отже, вміння – це такі способи виконання дій, які виконуються на основі
тих завдань, що отримав учень, і вимагають усвідомлення всіх операцій,
що входять в дану дію. На відміну від уміння, навичка не потребує
усвідомлення кожної операції, яка входить в дію. Але це не означає те,
що людина, оволодівши навичкою, виконує ту чи іншу дію несвідомо.
Контроль за виконанням дії здійснюється постійно у випадку зміни умов,
допущеної помилки.

Методологічною основою дослідження виступили критерії відбору
навчального матеріалу практичної спрямованості; теоретичною засадою
дослідження є визначення раціональних способів розв’язування, проблеми
засвоєння практичних умінь та навичок; праці вчених, що досліджували
дану проблему (В.Н. Федорова, А.М. Пишкало, Я.А. Король, Г.Г. Маснова,
А.Д. Семушин та ін.).

Під час дослідження використовувались такі методи:

теоретичні:

системний аналіз психологічної, педагогічної, наукової літератури;
навчально-методична документація з питань вивчення курсу математики у
початковій ланці;

емпіричні:

педагогічне спостереження, бесіда з вихователями, методистами щодо
формування практичний навиків під час уроків математики; педагогічний
експеримент, спрямований на виявлення рівня засвоєння алгоритмів
виконання арифметичних операцій над числами.

Експериментальною базою дослідження виступив природничо-математичний
ліцей м. Коломиї. Дослідженням було охоплено 43 учні.

Теоретична значущість дослідження: визначено критерії показники й
охарактеризовано рівні оволодіння обчислювальними навичками учнями
молодшого шкільного віку, визначено поняття “вміння” та “навички” з
психолого-математичної точки зору.

Практична значущість дослідження полягає в розробці методики
використання нетрадиційних форм оволодіння обчислювальними навиками у
процесі навчальної діяльності; у розробці завдань і вправ, які можуть
бути використані в початкових класах.

Об’єкт дослідження – цілеспрямований, систематичний процес формування
обчислювальних навичок та вмінь, якими учні оволодівають в початкових
класах. Предмет дослідження – це методи, форми та види здійснення
процесу формування обчислювальних навичок та вмінь молодших школярів та
їх практичне застосування.

Метою даного дослідження є дослідити проблему складності засвоєння
учнями обчислювальних навиків та виявлення можливостей методичної
реалізації психолого-педагогічної концепції навчання прийомам розумової
діяльності, яку слід вирішити через ряд завдань:

а) проаналізувати навчальну програму, навчальний матеріал, через який
учень має оволодіти основними та необхідними арифметичними операціями;

б) розглянути типові недоліки, труднощі, з якими часто стикаються
вчителі-початківці, серед яких розгублюється сам школяр;

в) систематизувати передовий педагогічний досвід для вирішення даної
проблеми;

г) запропонувати певні рекомендації та поради, що змогли б посприяти
розв’язанню проблеми;

д) розглянути різні методики формування обчислювальних навиків і вмінь
і експериментально перевірити їх ефективність.

В ході виконання роботи перевірялася наступна гіпотеза дослідження:
впровадження нових методів навчання, які є оптимальними з точки зору
результативності навчальної роботи, сприяють скороченню часу,
затраченого на оволодіння арифметичними діями, “сухе” зазубрювання
табличного множення та ділення збільшують зусилля, що докладає вчитель
під час уроку, учні – під час самостійної роботи вдома. Якщо учнів
скерувати в цікаве та захоплююче русло оволодіння обчислювальними
навиками, розв’язується одночасно багато проблем, пов’язаних із цим
процесом, а саме:

— діти усвідомлять математичні поняття, зрозуміють зв’язок між
арифметичними діями, між їхніми компонентами;

— в ході різноманітних форм роботи зрозуміють внутрішній взаємозв’язок
між цифрами, що становлять результат від добутку двох чисел, від ділення
чисел, тощо;

— на основі яскравих унаочнень діти самі побачать “легкі” способи
одержати результат певної арифметичної операції;

— учні навчаться самостійно логічно мислити, без застосування
підказок чи чиєїсь допомоги [5,125].

Під час дослідження використовувались різні джерела, що стали
теоретичним фундаментом роботи, однак найголовніші серед них:

Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики
в початкових класах: Навчальний посібник. 2-ге вид., – Тернопіль:
Навчальна книга – Богдан, 2001. – 368 с.

Марк Вайнтрауб. Алгоритм побудови таблиць // Початкова освіта. – 2003. –
№ 10.

Валентина Шпакова. Про вивчення таблиць арифметичних дій. // Початкова
освіта. – 1997. – № 2. – с. –10.

Дані першоджерела дали можливість глибше зрозуміти суть досліджуваної
проблеми та розкрити її основний зміст, необхідні шляхи для розв’язання
поставлених завдань.

В ході виконання роботи використано такі методи:

метод вивчення теоретичних джерел;

метод спостереження, бесіда, опитування;

метод вивчення результатів навчальної діяльності школярів;

метод діагностуючих контрольних робіт.

Новизна даного дослідження пов’язана із тим, що ряд проаналізованих
видів роботи над формуванням обчислювальних навиків в сучасній
початковій школі не використовується та немає практичного застосування.

Отже, процес формування обчислювальних навиків та вмінь в учнів
початкових класів – є гострою проблемою нашої школи. Оскільки сам об’єм
навчального матеріалу, який за програмою діти повинні освоїти, є досить
насиченим та обширним, тому переважна більшість вчителів не приділяє
великої уваги вивченню всіх арифметичних дій, а особливо операцій –
множення та ділення, які являються основою вивчення основ алгебри в
середніх та старших класах. В основному вчителі покладаються на
самостійну та свідому діяльність школярів в позаурочний час. Форми
роботи над вивченням табличних та позатабличних випадків множення та
ділення не повинні зводитись лише до виконання прикладів (усно чи
письмово), дітям слід вводити такі види роботи на уроці, щоб вони
зрозуміли практичну необхідність своїх знань та вмінь виконувати
операцій з числами. Тобто вся увага вчителя має бути звернена на те,
щоб діти оволоділи та вміли застосовувати одержану інформацію з
математики, а не просто накопичували безліч непов’язаного і
незрозумілого матеріалу [25, 61].

Розділ 1. Теоретичні основи арифметичних дій в початковому курсі

математики

Аналіз основних програмових завдань щодо обчислювальних навиків

Д.І. Писарєв підкреслював велике значення вивчення математики:
“Математика не тільки підготує учня до вивчення природничих наук; вона
не тільки навчить його мислити правильно і послідовно; вона ще, крім
того, виховає з нього безстрашного працівника, для якого праця і нудьга
стають двома поняттями, що взаємно виключаються одне одним.” [16, 6].

Математика є важливою складовою частиною шкільної освіти. Аналізуючи,
програму з цього предмету, ми бачимо, що на вивчення нумерації
відводиться майже 20% навчального часу, на арифметичні дії – 63%, з них
на опрацювання табличних випадків 26%.

Вчитель має сформувати в учнів уявлення про натуральне число й десяткову
систему числення, домогтися засвоєння змісту і прийомів виконання
арифметичних дій, виробити міцні обчислювальні навички.

Під час вивчення нумерації діти вчаться правильно читати і записувати
натуральні числа, називати їх у прямому і зворотньому порядку,
порівнювати їх між собою, швидко називати “сусідів” будь-якого числа;
учні засвоюють склад числа, ознайомлюються з деякими величинами та їх
одиницями, навчаються перетворювати іменовані числа, засвоюють ці знання
у процесі розв’язування задач. [6, 17].

Робота над нумерацією і арифметичними діями будується у початковому
курсі концентрично. Програма передбачає поступове розширення області
розглядуваних чисел:

перший десяток, другий десяток, сотня, тисяча, багатоцифрові числа (в
межах мільйона). В межах першого і другого десятків розглядаються лише
дії додавання і віднімання (табличні випадки та випадки, пов’язані із
нумерацією чисел), а в межах решти концентрів – усі арифметичні дії.
Принцип “концентричності” в основному стосується нумерації і
арифметичних дій. Інші питання програми вивчаються за лінійним
принципом. Тому точніше буде сказати, що програмовий матеріал вивчається
за концентрично-лінійним принципом.

Побудова курсу забезпечує систематичне повторення і поглиблення знань і
вмінь учнів, відповідає психологічному розвитку учнів. [8, 8].

Під час опанування арифметичних дій, школярі засвоюють напам’ять таблицю
арифметичних дій, набувають навичок усного виконання нескладних
обчислень у межах 100 і 1000, виконують письмово операції над
багатоцифровими числами. Використовують правила порядку виконання дій та
властивостей арифметичних дій, учні мають уміти знаходити значення
числових виразів, у тому числі виразів з дужками на 2 – 4 операції.

У вивченні дій додавання і віднімання в межах 10 виділено такі теми: дії
додавання і віднімання, зв’язок додавання і віднімання, додавання і
віднімання нуля, складання і читання прикладів на основі предметних
ситуацій і малюнків; таблиці додавання і віднімання в межах 10; прийоми
додавання і віднімання по одиниці і групами (в порядку ознайомлення),
переставна властивість додавання.

Розв’язування прикладів на додавання і віднімання без опори на предметні
ситуації запроваджується тільки в ході вивчення таблиць. Таблиці
додавання і віднімання складають за допомогою відповідних малюнків
предметних множин. У засвоєнні значення має систематичне їх повторення
та варіативність завдань.

Випадки додавання і віднімання в межах 100 групуються за їх відношенням
до поняття “перехід через десяток.” Спочатку учні ознайомлюються з
прийомами усного додавання і віднімання без переходу через десяток. Далі
вводяться письмові прийоми виконання дій (без переходу і з переходом
через десяток). Останніми розглядаються випадки усного додавання і
віднімання з переходом через десяток. У межах кожної групи дії
опрацьовуються не одночасно, а послідовно – додавання, а потім
віднімання. У межах однієї дії, крім віднімання двоцифрових чисел з
переходом через десяток, розглядається спочатку загальний випадок,
наприклад 34 + 52, а потім окремі випадки цієї групи (54 + 3, 2 + 32, 54
+ 30, 20 + 41). При такому підході закріплюється загальний алгоритм
виконання дій.

Табличне множення і ділення вивчається у 2 – 3 (1 – 2) класах:

у 2 (1) – множення чисел на 2 і 3 і ділення на 2 і 3;

у 3 (2) – решта випадків табличного множення і ділення.

Таблиці множення складають на основі відповідних випадків додавання
однакових доданків, таблиці ділення – на основі зв’язку дій множення і
ділення, тобто з таблиць множення. Опрацювання матеріалу проводиться в
такій послідовності: ознайомлення з дією множення, складання і
заучування таблиці множення числа 2, ознайомлення з дією ділення,
зв’язок дій множення і ділення; складання і заучування таблиці ділення
на 2; складання і заучування таблиць множення числа 3 і ділення на 3 і
т. д [24, 35].

У межах 1000 належна увага приділяється як усним, так і письмовим
способам додавання і віднімання. У вивченні усних прийомів розглядаються
випадки дій, що зводяться до дій у межах 100. Основним засобом
унаочнення прийомів усного додавання та віднімання є відповідні форми
структурних записів.

У ході вивчення усного множення і ділення розглядаються:

випадки множення і ділення, пов’язані з числами 1 і 0, 10 і 100;

традиційні випадки позатабличного множення і ділення в межах 100
(24 • 3, 72 : 6, 64 : 16);

нескладні випадки дій з трицифровими числами.

З’ясування прийомів обчислень, пов’язаних з числами 1 і 0, 10 і 100,
здійснюється шляхом ілюстративного пояснення з елементами індуктивних
доведень. Висновки подаються у вигляді правил, але ці правила діти не
заучують. Інші випадки позатабличного множення і ділення розглядаються
на основі відповідних теоретичних положень (правил). Проте у початкових
класах методика опрацювання того чи іншого правила спрямована не стільки
на доведення, скільки на ілюстрацію його як іншого способу обчислення
виразу з дужками. Правомірність нового способу підтверджується тільки
однаковою відповіддю [33, 87].

Письмове множення і ділення вивчається в такій послідовності:

множення двоцифрових і трицифрових чисел на одноцифрове;

ділення трицифрових чисел на одноцифрове;

множення і ділення на двоцифрове число.

Множення і ділення на двоцифрове число вводиться на початку повторення
матеріалу в 4 (3) класі. Це дає змогу практикувати ці випадки ділення
протягом усього навчального року.

Основний метод пояснення алгоритмів дій другого ступеня – зв’язний
виклад, коментоване розв’язування прикладів самим учителем.

У вивченні додавання і віднімання багатоцифрових чисел можна вичленити
дії з натуральними числами та дії з іменованими числами. Оскільки діти
вже ознайомлені з додаванням і відніманням трицифрових чисел, та
ознайомлення з діями багато цифрових чисел здійснюється прямим
перенесенням. У формуванні навичок виконання дій варто певну увагу
приділити перевірці правильності обчислень способом застосування
оберненої дії. Додавання і віднімання іменованих чисел супроводжується
розглядом вправ та перетворення іменованих чисел [7, 153].

Множення і ділення багатоцифрових чисел вивчається в такій
послідовності:

множення на двоцифрове число;

ділення на одноцифрове число;

множення чисел, що закінчуються нулями;

ділення на числа, що закінчуються нулями;

множення на двоцифрове і трицифрове числа;

ділення на двоцифрове число.

Пояснення письмового алгоритму дій другого ступеня займає чимало часу.
Щоб дітям не доводилося тривалий час бути тільки спостерігачами, варто
варіювати методи пояснення нового матеріалу, зокрема, застосувати
самостійне ознайомлення із знаходженням значення виразу за поясненнями,
поданими в підручнику [5, 20-25].

Типи арифметичних дій та основні етапи їх вивчення в початковому курсі
математики

Уміння правильно знаходити результати додавання і віднімання в межах 10

є необхідною умовою успішного вивчення усних і письмових прийомів
виконання цих дій у наступних концентрах.

Усі типи арифметичних дій, які повинні опановувати школярі початкових
класів, можна об’єднати у 3 типи:

Табличні випадки арифметичних дій;

Позатабличні випадки арифметичних дій, які виконуються усно;

Позатабличні випадки арифметичних дій, які виконуються письмово.

Основною вимогою вивчення арифметичних дій у 1-му класі – засвоєння
таблиць додавання і віднімання.

У вивченні дій додавання і віднімання в межах 10 можна виділити такі
етапи:

Знаходження суми або різниці двох предметних множин перелічування
предметів (ці операції виконувались при вивченні нумерації чисел);

Ознайомлення із діями додавання і віднімання, зв’язок між ними та
символікою цих дій;

Додавання і віднімання в межах даного числа, що виконується на
предметній основі або на основі знаня складу чисел (у 1-му класі
чотирирічної школи для цієї теми відводяться окремі уроки);

Складання і заучування таблиць додавання і віднімання в межах 10;
застосування знань табличних результатів для обчислення виразів на дві
дії (однакових чи різних);

Ознайомлення з прийомами додавання і віднімання числа частинами
(групами) та з переставною властивістю дії додавання [5, 248].

Результат додавання одноцифрових чисел можна знайти перелічуванням суми,
прилічування одиниць другого доданка, додаванням другого доданка
частинами, а для деяких випадків і на основі переставної властивості.

Основним у процесі складання таблиць виступає прийом додавання частинами
– другий доданок розкладають на такі два числа, одне з яких доповнює
перший доданок до 10 (7 + 8 = 7 + 3 + 5 = 10 + 5 = 15).

Теоретичною основою прийому є сполучна властивість дії додавання, але
формування її учням не подається.

Вправи на засвоєння таблиць додавання і віднімання проводяться на
кожному уроці, при цьому має бути використана ігрова форма постановки
завдань.

Засвоєння таблиць додавання і віднімання з переходом через десяток має
бути доведене до автоматизму. Тому вивчаються не тільки прийоми
виконання дій, а й таблиці додавання і віднімання кожного окремого
числа. Такий підхід, по-перше, створює умови для засвоєння учнями
таблиць вже під час їх опрацювання (складання і застосування), по-друге,
неодноразове застосування обчислювальних прийомів сприяє їх
усвідомленню. Це дає змогу посилювати самостійність дітей в процесі
опрацювання кожної наступної таблиці. Важливо також, що знання прийомів
обчислень допоможе у вивченні позатабличних випадків додавання і
віднімання в межах 10.

Додавання і віднімання двоцифрових чисел розглядають у такій
послідовності: усне додавання і віднімання без переходу через десяток;
письмові додавання і віднімання двоцифрових чисел; усне додавання і
віднімання двоцифрових чисел з переходом через десяток. Письмові прийоми
виконання дій першого ступеня легші, ніж усні, тому розгляд випадків
письмового додавання і віднімання двоцифрових чисел з переходом через
десяток передує вивченню усних прийомів [36, 19-22].

Вивчення дій раціонально будувати в такій послідовності, коли загальний
випадок може бути застосований для розвитку окремих випадків. Саме таку
послідовність опрацювання додавання і віднімання в межах 100 і подає
програма початкової школи.

Загальним прийомам усного додавання двоцифрових чисел є прийом
порозрядного додавання. Його теоретичною основою є принципи десяткової
системи числення та переставна і сполучна властивості дії додавання;
сполучна властивість не формулюється. З’ясовується, що додавати або
віднімати число можна частинами. Однак варто подати і проілюструвати на
числових прикладах і таке правило: при додаванні кількох чисел їх можна
переставляти, об’єднувати в групи, результат додавання від цього не
змінюється. Можна також число розкладати на окремі доданки.

Теоретичною основою порозрядного віднімання двоцифрових чисел є правило
віднімання суми від суми. Пояснення подають за аналогією з прийомом
порозрядного додавання.

Основна відмінність у виконанні письмового й усного додавання і
віднімання полягає в тому, що усні обчислення починають з вищих
розрядів, а письмові – з нижчих.

Усне додавання двоцифрових чисел з переходом через десяток виконують за
допомогою порозрядного додавання.

Порозрядне усне віднімання двоцифрових чисел з переходом через десяток
вимагає передбачення, що один десяток зменшуваного буде необхідний для
віднімання одиниць від’ємника.

Додавання і віднімання двоцифрових чисел з переходом через десяток для
учнів важче, ніж без переходу через десяток. Тому не слід поспішати з
обчисленням виразів на дві операції. Перші вирази на дві операції треба
розв’язувати з коментуванням. Для закріплення необхідно добирати активні
форми постановки завдань.

Послідовність вивчення арифметичних дій в концентрі “тисяча” така:

додавання і віднімання трицифрових чисел;

усне множення і ділення;

письмове множення і ділення [25, 59-67].

Позатабличне множення і ділення розглядають одночасно в межах 100 і
1000. Таке поєднання можливе і доцільне тому, що в обох випадках
застосовують ті самі прийоми обчислень. У процесі опрацювання усних
прийомів додавання і віднімання в межах 1000 розглядають випадки дій, що
зводяться до табличних або позатабличних (окремо без переходу і з
переходом через десяток). Розглядаючи письмові обчислення, можна
виділити такі два випадки: знаходження значень виразів на одну операцію
(додавання і віднімання) і знаходження значень виразів на дві і більше
операцій (однакових, різних).

Теоретичною основою дій першого ступеня є принципи нумерації (принцип
місцевого значення цифри та принцип адитивності: кожне число є сумою
його розрядних доданків), переставний і сполучний закони дії додавання
та наслідки цих законів. З переставною властивістю дії додавання учні
були ознайомлені раніше. Крім того, вони розглядали питання про
можливість додавання чи віднімання числа частинами. У 3 (2) класі можна
подати (в порядку ознайомлення) формулювання сполучної властивості
додавання і на конкретних прикладах пояснити їх справедливість.

Ознайомлення учнів з обчислювальними прийомами здебільшого проводять
методом бесіди із застосуванням структурних записів, але варто також
практикувати прийом аналогії, метод розповіді чи самостійної роботи з
наступною бесідою.

Письмове виконання дій першого ступеня в цьому концентрі розглядають у
послідовності: додавання і віднімання без переходу через розряд; з одним
переходом через розряд; з двома переходами через розряд [3, 152-178].

Послідовність оволодіння таблицями множення і ділення.

Засвоєння таблиць множення і ділення вивчають у такій послідовності:

розкриття конкретного змісту дії множення;

складання таблиці множення числа;

розкриття конкретного змісту дії ділення;

зв’язок між діями множення і ділення;

складання таблиць ділення певного числа.

В концентрі 100 і 1000 розглядаються позатабличні випадки множення і
ділення. У межах обох концентрів до них належать:

множення і ділення, пов’язані з числами 1 і 0, 10 і 100; множення і
ділення розрядних чисел на одноцифрове число та множення одноцифрового
числа на розрядне число; ділення виду 300 : 20, 600 : 300, 600 : 30;

множення двоцифрового числа на одноцифрове і одноцифрового на
двоцифрове; множення виду 120 • 3; ділення двоцифрового числа на
одноцифрове та ділення 360 : 3;

ділення двоцифрових і трицифрових чисел на двоцифрове число при
одноцифровій частці способом випробування (96 : 24; 125 : 25);

ділення з остачею (табличні випадки).

Як теоретичне забезпечення прийомів обчислення розглядають ділення числа
на добуток, множення суми на число і число на суму, ділення суми на
число. Основне завдання множення і ділення багатоцифрових чисел полягає
у формуванні навичок письмового множення і ділення. Учні повинні вміти
пояснювати виконання дій. Треба систематизувати знання учнів про дії
множення і ділення та їхні властивості.

Алгоритми дій множення і ділення різні. Тому прийоми виконання дій
вводять почергово: після вивчення одного випадку множення вивчають
аналогічний випадок ділення. Опрацювання матеріалу має таку
послідовність:

множення і ділення на одноцифрове число;

множення і ділення на дво- і трицифрові розрядні числа;

множення і ділення на двоцифрове число [10, 27].

Формування різних груп обчислювальних прийомів

Обчислювальний прийом – це система операцій, виконання яких призводить
до знаходження числового значення виразу.

Розкриємо сутність обчислювального прийому на конкретному прикладі:
знайти значення виразу 28 + 35. Прийом обчислення для
додавання-двоцифрових чисел з переходом через десяток відповідно до
прийнятої сучасної методичної системи складається з таких
(28 + 35 = 20 + 8 + 30 + 5 =

= 20 + 30 + 8 + 5 = 50 + 13 = 63) операцій:

заміна числа 28 сумою розрядних доданків 20 і 8;

заміна числа 35 сумою розрядних доданків 30 і 5;

додавання круглих десятків 20 і 30;

додавання виду 50 + 13.

Вибір операцій і порядок їх виконання в такому разі базується на повній
переставній властивості.

Отже, в обчислювальний прийом для випадку 28 + 35, теоретичною основою
якого виступає повна переставна властивість, входять знання (складу
двоцифрового числа, табличних випадків додавання з переходом через
десяток, повної переставної властивості), вміння (подати двоцифрове
число як суму розрядних доданків, застосувати повну переставну
властивість додавання), і обчислювальні навички (заміна чисел 28 і 35
сумою розрядних доданків, додавання круглих чисел, додавання виду
50 + 13).

Операції, які складають прийоми обчислення, бувають різні. Деякі з них
зводяться до виконання арифметичних дій. Операції, які зводяться до
виконання арифметичних дій, називають основними. Усі інші операції, які
пов’язані зі знаннями та вміннями знаходження числових значень виразів,
називають допоміжними.

Отже, обчислювальний прийом для випадку 28 + 35, теоретичною основою
якого є повна переставна властивість, складається з 4 основних і 5
допоміжних операцій. Обчислювальний прийом у згорнутому вигляді,
зводиться до виділення і виконання тільки основних операцій.

Кількість операцій (як основних, так і допоміжних) залежить від чисел,
над якими виконують арифметичні операції. Так, наприклад, прийом
обчислення додавання виду 389 + 456 містить більше операцій, ніж прийом
обчислення додавання виду 38 + 45 при застосуванні однієї і тієї ж
теоретичної основи: повної переставної властивості.

Вибір кількості операцій і порядок їх виконання залежить і від
теоретичної основи обчислювального прийому. Тоді змінюється і кількість
основних операцій. Покажемо це на прикладі додавання виду 28 + 35.

28 + 35 = 28 + (30 + 5) = (28 + 30) + 5 = 58 + 5 = 63

Теоретичною основою цього обчислювального прийому є властивість
додавання суми до числа. У даному випадку обчислювальний прийом
складається з трьох основних операцій:

заміна числа 35 сумою розрядних доданків 30 і 5;

додавання виду 28 + 30;

додавання виду 58 + 5.

Допоміжними операціями є: знання десяткового складу двоцифрового числа,
властивості додавання суми до числа; вміння замінити двоцифрове число
сумою розрядних доданків і застосувати властивість додавання суми до
числа до знаходження числового значення даного виразу. Зауважимо, що
обчислювальні прийоми додавання видів 28 + 30 і 58 + 5 є основними
операціями, оскільки значення останніх виразів учень повинен назвати,
застосувавши обчислювальні прийоми додавання цих двох видів. З ними учні
ознайомлювалися раніше.

Наведемо приклади інших обчислювальних прийомів для знаходження
числового значення виразу 28 + 35.

28 + 35 = (20 + 8) + 35 = (20 + 35) + 8 = 55 + 8 = 63;

28 + 35 = (20 + 8) + 35 = 20 + (8 + 35) = 20 + 43 = 63;

28 + 35 = 28 + (2 + 33) = (28 + 2) + 33 = 30 + 33 = 63;

28 + 35 = 28 + (30 + 5) = (28 + 5) + 30 = 33 + 30 = 63;

28 + 35 = (23 + 5) + 35 = 23 + (5
+???????????????????????????‰????????????????????????????

Як видно, для знаходження числового значення виду 28 + 35 можна
використати як основу різні теоретичні положення, що вказує на різні
прийоми обчислень [26, 44-52].

Обчислювальна навичка — це високий ступінь оволодіння обчислювальними
прийомами. Сформувати в учнів обчислювальні навички означає: для
знаходження, числового значення будь-якого виразу знати, які операції і
в якій послідовності їх швидко виконати.

Уміння виконувати обчислення, як і обчислювальні навички, можуть бути на
різних рівнях розвитку. При ознайомленні з новим обчислювальним прийомом
і на етапі його первинного закріплення учні повинні обґрунтовувати кожну
обрану операцію і теоретичні положення (на конкретному прикладі), які
покладено в основу цього прийому, тобто давати розгорнуте пояснення
виконання дії. «Заохочувати до згорнутих пояснень на даному етапі є
помилкою» [6, 43].

Наведемо приклад розгорнутого пояснення учня при обчисленні виразу
47 + 29. «Число 47 подаю сумою десятків і одиниць. 47 — це сума чисел 40
і 7. Число 29 подаю сумою десятків і одиниць. 29 — це сума чисел 20 і 9,
Додаю десятки до десятків, одиниці — До одиниць. 40 і 20, буде 60. 7 і
9, буде 16. 60 і 16, буде 76.»

Удосконалення вмінь призводить до того, що на вищому рівні окремі ланки
міркувань випадають, уміння набирає згорнутості, всі операції учнем
усвідомлюються. У такому разі вимога розгорнутості є неоправданою.

Приклад короткого пояснення обчислення виразу 34 • 2. «30 помножити на
2, буде 60. 4 помножити на 2, буде 8. 60 і 8, буде 68».

Треба розрізняти згорнуте пояснення обчислювального прийому внаслідок
високого рівня сформованого вміння і внаслідок невміння теоретично
обґрунтувати свої дії. Рівень уміння, як і обчислювальної навички, можна
перевірити, запропонувавши учневі розгорнуте пояснення.

«Показником того, що вміння сформоване на вищому рівні, є його свідоме
перенесення на розв’язування нових завдань… Чим ширше перенесення, тим
вищий рівень умінь проявляє учень» [6, 43].

Наведемо конкретний приклад перенесення вміння виконувати обчислення
виразів виду 57 + 35 (додавання двоцифрових чисел з переходом через
десяток) на вправи виду 570 + 350 (усне додавання трицифрових чисел з
переходом через розряд). Якщо обчислювальний прийом додавання виду
57 + 35 в учня був повноцінним: правильним, усвідомленим, раціональним,
узагальненим, автоматичним і міцним, — то він зможе самостійно
«відкрити» для себе обчислювальний прийом додавання виду 570 + 350.

57 + 35 = 50 + 7 + 30 + 5 = 50 + 30 + 7 + 5 = 80 + 12 = 92;

570 + 350 = 500 + 70 + 300 + 50 = 500 + 300 + 70 + 50 = 800 + 120 = 920.

Розглянемо групи обчислювальних прийомів відповідно до теоретичної
основи кожної з них.

1. Прийоми, теоретичну основу яких складає конкретний зміст арифметичних
дій. Вони розкриваються на основі виконання арифметичних дій за
допомогою наочних посібників.

2. Прийоми, теоретичною основою яких є знання нумерації чисел: а ± 1,
10 + 7, 4 + 30, 78 – 70, 59 – 9, 9 • 10, 80 : 10 і відповідні прийоми
виконання арифметичних дій у межах мільйона, які зводяться до прийомів
цих дій в межах сотні.

3. Прийоми, теоретичну основу яких складають властивості чотирьох
арифметичних дій. Як наприклад: 42 + 53, 37 + 20, 40 + 39, 64 + 3,
5 + 73, 89 – 72, 54 – 30, 54 – 3, 49 + 35, 56 + 9, 8 + 37, 86 + 4,
72 + 18, 90 – 7, 46 – 7, 97 – 49, 70 – 32, 24 – 3, 4 – 23, 96 : 3,
96 : 4, 50 : 2, 12 • 30, 360 : 9, 340 : 20 і відповідні усні прийоми
додавання, віднімання, множення і ділення чисел у межах мільйона, які
зводяться до прийомів обчислень в межах сотні, та письмові прийоми над
числами в межах мільйона.

4. Прийоми, теоретичною основою яких є зв’язки між компонентами і
результатом арифметичних дій. Це прийоми для випадків виду 80 : 40,
94 • 47, 17 : 1, 0 : 5.

5. Прийоми, теоретичною основою яких є правила, пов’язані з виконанням
множення числа на 1 і 0.

Спільність підходів до розкриття обчислювальних прийомів кожної групи –
надійна основа оволодіння учнями узагальненими обчислювальними
навичками.

«Елементарні вміння в ході вправ перетворюються в елементарні навички,
на основі яких формуються складніші вміння, що внаслідок відповідних
вправ стають, в свою чергу, навичками більш складної будови. Тому одну і
ту саму дію можна назвати і умінням, і навичкою» [36, 19-22].

У чинній системі формування обчислювальних умінь і навичок
передбачається такий порядок розгляду прийомів, коли поступово вводяться
прийоми, які містять велику кількість операцій, і раніше засвоєні
прийоми включаються як основні операції в нові прийоми.

Розглянемо прийом послідовного віднімання двоцифрових чисел з переходом
через десяток для випадку 67 – 39.

67 – 39 = 67 – (30 + 9) = (67 – 30) – 9 = 37 – 9 = 37 – (7 + 2) = (37 – 
7) – 2 = = 30 – 2 = 28.

Як видно, знайти числове значення виразу 67 – 39 учень не зможе, якщо
він не опанував-прийоми обчислень для випадків 67 – 30, 37 – 9, 37 – 7,
30 – 2.

67 – 30 = (60 + 7) – 30 = (60 – 30) + 7 = 30 + 7 = 37;

37 – 9 = 37 – (7 + 2) = (37 – 7) – 2 = 30 – 2;

30 – 2 = (20 + 10) – 2 = 20 + (10 – 2) = 20 + 8 = 28.

Останні три прийоми обчислень для знаходження числового значення виразу
виду 67 – 39 стали операціями (вони раніше були розглянуті учнями).

Отже, при ознайомленні учнів з відніманням двоцифрових чисел з переходом
через десяток вводяться спочатку прийоми для віднімання виду 10 – а, де
а – одноцифрове число. Після його засвоєння і вироблення «відповідних
навичок вводяться послідовно прийоми додавання та віднімання видів
20 + 8, 37 – 7, 67 – 30, 30 – 2, 37 – 9. Значить, виконуючи операції,
які становлять новий прийом, учні не тільки засвоюють цей прийом, але і
вдосконалюють навички обчислень раніше вивчених випадків додавання і
віднімання. Це сприяє формуванню міцних і автоматизованих обчислювальних
навичок.

«В основі утворення навичок лежать багаторазові повторення, систематичні
тренувальні вправи. Проте у правильно організованому навчанні навички
формуються не механічно, а свідомо, осмислено, що сприяє розвиткові
розумових сил і здібностей» [37, 85].

При ознайомленні учнів з новими обчислювальними прийомами програма з
математики передбачає виконання операцій за зразком або на основі
відповідних теоретичних знань. Операції за зразком виконуються в тих
випадках, коли учні ще не володіють теоретичними знаннями, які лежать у
їх основі. У другому випадку учень використовує відповідні теоретичні
знання для обґрунтування операцій, які він виконує, тобто він
усвідомлює, які теоретичні знання лежать в основі кожної операції. Це
створює передумови для вироблення усвідомлених умінь і навичок та
забезпечує сферу застосування теоретичних знань, що є необхідною умовою
формування обчислювальних навичок.

Л.В. Занков пише: »Якщо школяр розуміє на доступному йому рівні основи,
якими він оволодіває, – їх вивчення є певним внеском у фонд його
розвитку. Якщо ж шляхом багаторазових вправ дитина навчається виконувати
ті чи інші операції, не усвідомлюючи їх логіки, — це не просуває її в
загальному розвиткові, хоча і дає деякий результат у формуванні
обчислювальних навичок» [17, 115].

Проблема формування обчислювальних умінь і навичок не може бути
розв’язана без вивчення її відношення до шляхів пізнавальної діяльності
учня. Від того, який метод ми використаємо для ознайомлення учнів з
новим обчислювальним прийомом, буде залежати рівень спрямованості
розумової діляьності, глибина і міцність його засвоєння.

При ознайомленні з новим обчислювальним прийомом вчитель може
застосувати різні методи: розповідь, пояснення, самостійну роботу з
підручником або розкрити його суть, ілюструючи його прикладом,
евристично-дедуктивну або евристично-індуктивну бесіду тощо. Наведемо
приклади застосування таких методів для ознайомлення учнів з новим
обчислювальним прийомом.

Розповідь

Тема: Додавання двоцифрових чисел без переходу через десяток.

— Сьогодні будемо вчитися додавати двоцифрові числа. Нехай треба до
числа 32 додати 64. (Вчитель записує на дошці). Запишемо суму цих чисел
в зошитах. Кожне з цих чисел подамо у вигляді суми десятків і одиниць.
32 – це 3 десятки і 2 одиниці. 64 – це 6 десятків і 4 одиниці. (На дошці
і в зошитах запис: 32 + 64 = 30 + 2 + 60 + 4). Числа можна додавати в
будь-якому порядку. Зручно десятки додавати до десятків, одиниці – до
одиниць. (На дошці запис: 32 + 64 =
= 30 + 2 + 60 + 4 = 30 + 60 + 2 + 4). 30 і 60, буде 90. 2 і 4, буде 6.
(На дошці запис: 32 + 64 = 30 + 2 + 60 + 4 = 30 + 60 + 2 + 4 = 90 + 6).
90 і 6, буде 96. (На дошці залис:
32 + 64 = 30 + 2 + 60 + 4 = 30 + 60 + 2 + 4 = 90 + 6 = 96). Отже, сума
чисел 32 і 64 дорівнює 96.

Пояснення

Тема: Ділення на 10, 100.

— Будемо вчитися ділити круглі числа на 10 і 100. Наприклад, обчислимо
частку від ділення числа 70 на 10. Щоб виконати таке ділення,
використаємо зв’язок між діями множення і ділення. За прикладом на
множення складемо приклад на ділення. Обчислимо 7 помножити на 10.
(Запис на дошці: 7 • 10). Скільки буде, якщо 7 помножити на 10?
(Відповідь: 70), На дошці запис:

7 • 10 = 70). Знаємо, якщо добуток поділити на один з множників, то
одержимо другий множник. Поділимо добуток на другий множник. (На дошці
запис: 70 : 10).

Скільки буде? ( 7. На дошці запис: 70 : 10 = 7). Прочитайте рівність.
Наведіть свої власні приклади.

Самостійна робота з підручником (або запис на дошці схеми розв’язання,
наприклад, прикладу 24 • 3):

24 • 3 = 

20 4

20 • 3 = 60

4 • 3 = 12

60 + 12 = 72

Таким чином, при застосуванні таких методів формування обчислювальних
прийомів пізнавальна діяльність учнів зводиться до заслуховування
пояснень або розповіді вчителя, усвідомлення дітьми цього
обчислювального прийому на основі розкриття його суті за допомогою схеми
розв’язання.

Психологічні основи методу пояснення або розповіді говорять про те, що
процес пояснення вчителя пов’язаний з певними труднощами для учнів.
Сприйняття навчального матеріалу зі слуху вимагає від учнів напруженої
думки, зосередженої уваги, які характеризуються нестійкістю. Учневі
загрожує небезпека дещо пропустити у викладі вчителя, а особливо той
його елемент, без якого не можна зрозуміти і усвідомити наступне.

«Повна свідомість засвоєння може бути досягнута учнем тільки при умові,
якщо він не пасивно сприймає повідомлений новий матеріал, а активно
оперує ним» [51, 237].

Розділ 2. Методика формування обчислювальних навичок і вмінь

Процес пізнання, пов’язаний із засвоєнням нового прийому обчислень, може
проводитись у двох напрямках: або розкривають його самі учні способом
логічної роботи над виразом, або вони сприймають готовий запис
обчислення виразу. І в одному, і в іншому випадках зусилля повинні бути
спрямовані на те, щоб спеціальними прийомами полегшити учневі засвоєння
обчислювального прийому: «Учити треба так, щоб знання здобувались за
допомогою наявних уже знань, – у цьому, на мій погляд, полягає найвища
майстерність дидакта» [45, 454].

Для сучасної дидактики провідним є положення про те, що «як би добре не
було поставлене повідомлення учням готових знань
пояснювально-ілюстративним методом, воно не забезпечить розвитку їх
творчого мислення і пізнавальної самостійності» [15, 73].

Виконання того або іншого обчислення надалі вимагає відтворення і
застосування певного прийому обчислення. Значну частину вправ на
обчислення неможливо розв’язати без творчої діяльності учня, тобто без
створення чогось власного,, оригінального, без активного напруження
зусиль, поєднаних з діяльністю уяви і пам’яті; виявлення ініціативи.
Розв’язування таких завдань вимагає активності розумової діяльності.
Якщо учень при цьому ухиляється від розумових зусиль, то він не буде
мати успіхів у виробленні вмінь і навичок навчальної діяльності взагалі
й обчислювальних умінь і навичок зокрема.

«Якщо обмежитись засвоєнням обчислювальних прийомів в учнів і поясненням
ходу розв’язування того чи іншого прикладу, як це рекомендується в
традиційних методичних посібниках для учителів, то втрачаються
можливості інтенсивної роботи над розвитком учнів: вони оволодівають
окремими обчислювальними прийомами, не вникаючи в їх сутність. Справа
зводиться в основному до заучування обчислювальних прийомів; дуже мало
місця залишається для їх обдумування» [17, 119].

Критерієм для визначення методу роботи у відкритті способу обчислення є
те, чи самі учні «відкрили» прийом обчислення виразу, чи він поданий
учителем у готовому вигляді. Збіднений прийом обчислення, який
засвоюється без необхідної думки й праці, неминуче призводить до
лінивості думки. Недооцінка потенціальних можливостей розвитку дитини не
менш шкідлива, ніж надмірне перевантаження її формування обчислювальних
умінь і навичок необхідно будувати так, щоб додержуватись оптимального
співвідношення між складністю і доступністю матеріалу, досягаючи
потрібного ефекту.

Наведемо приклад застосування евристично-індуктивної бесіди під час
ознайомлення учнів з обчислювальним прийомом множення одиниці на число.

— Навчимося множити одиницю на число. Розв’яжемо приклад 1 • 5. Що
показує число 1? (Яке число додається). Що показує число 5. (Скільки
разів береться доданком число 1). Замініть приклад 1 • 5 сумою однакових
доданків. (1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5). Запишіть. (1 • 5 = 1 + 1 + 1
+ 1 + 1 = 5).

Після розв’язування 2-3 прикладів формулюється висновок (1 • а = а).

Але при ознайомленні з новим обчислювальним прийомом учителі надають
перевагу методові пояснення або розповіді, вважаючи, що мистецтвом
викладу володіють краще, ніж мистецтвом евристичної бесіди. Та забувають
про те, що при застосуванні методу розповіді або пояснення учням
доводиться більше засвоювати пам’яттю.

Ведуча роль у формуванні обчислювальних навичок належить учителеві. Вже
на початкових етапах формування обчислювальних навичок учні І-ІV

(І-ІІІ) класів можуть «відкривати» способи обчислень самостійно.
Здійснюється це шляхом підвищення розумової активності учнів. Це можливе
при такій організації пізнавальної самостійності молодших школярів, коли
вони з самого початку усвідомлюють цілі і завдання уроку, самостійно
здобувають знання не тільки в результаті виконання самостійних завдань,
але й в процесі евристичної (індуктивної або дедуктивної) бесіди.

2.1. Зміст системи елементарних опорних сигналів

Ефективність формування обчислювальних навичок та вмінь школярів
залежить від ряду факторів, першим із яких, і можна сказати визначальним
є відокремлення певної та правильної орієнтованої основи дії.

Орієнтована основа дії (ООД) – це система елементарних операцій, які
необхідно виконати для того, щоб дія досягла мети. У навчальному процесі
ООД може бути подана у формі пам’ятки, в якій словесно описано алгоритми
дій; блок-схеми, а також опорного сигналу – словесно-графічної схеми, з
зазначенням взаємозв’язків елементарного змісту [14, 23-28].

Застосування пам’яток, опорних сигналів у процесі навчання дає змогу
врахувати вікові особливості пізнавальних процесів у молодших школярів
під час формування вмінь і навичок.

Додавання і віднімання числа 1

Опорний сигнал:

+ 1: наступне – 1: попереднє

число.

Інформативний – передає інформацію двома способами:

символічним + 1: наступне

– 1: попереднє

число.

Таким чином враховані індивідуальні особливості дітей: одним достатньо
для засвоєння символічного подання інформації, словесно сформулювати
спосіб дії вони зможуть самостійно; іншим – треба ще й подати мовне
формулювання, щоб вони мали можливість за необхідності звернутися до
нього.

Компактний, наочний – для його сприйняття дитині не треба докладати
додаткових зусиль, його можна збагнути “одним поглядом”.

Такий опорний сигнал може бути попередньо заготовлений учителем.

Організація пошукової роботи з метою відокремлення ООД й оформлення
опорного сигналу:

Завдання 1.

Уважно розгляньте картку з розв’язками прикладів. Порівняйте ці
приклади: чим вони схожі і чим відрізняються?…

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… 2 + 1 = 3

4 + 1 = 5

7 + 1 = 8

5 + 1 = 6

Перед виконанням цього завдання треба визначити місце кожного числа у
натуральному ряді, яке є попереднє – наступним до даного; повторити
назву компонентів при складанні:

Завдання 2.

Перевірте на конкретних прикладах своє припущення: “до числа додати 1 –
це означає отримати наступне число”. Чи правильно вони розв’язані:

3 + 1 = 4 1, 2, 3, 4, 5

7 + 1 = 8 6, 7, 8, 9, 10

2 + 1 = 3 1, 2, 3, 4, 5

Висновок: до числа 3 (7, 2) + 1 – це означає отримати наступне 4 (8, 3).

Завдання 3.

Уважно розгляньте картку з розв’язаними прикладами. Порівняйте ці
приклади: чим вони схожі і чим відрізняються?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

2 – 1 = 1

4 – 1 = 3

7 – 1 = 6

5 – 1 = 4

Завдання 4.

Перевірте на конкретних прикладах припущення: “Від числа відняти 1 – це
означає отримати попереднє число.”

5 – 1 = 4 3, 4, 5, 6

9 – 1 = 8 7, 8, 9, 10

2 – 1 = 1 1, 2, 3, 4

Висновок: від числа 5 (9, 2) відняти 1 – означає отримати попереднє
число: 4 (8, 1).

Завдання 5.

Уважно розгляньте, прочитайте опорний сигнал і складіть приклади
додавання і віднімання 1.

На дошці вивішується картка з друкованою основою:

+ ; , , наступне

то + = .

– ; , , попереднє

то – = .

Додавання і віднімання числа 2:

Опорний сигнал:

+ 2 : + 1 ; + 1 – 2 : – 1 ; – 1.

1 і ще 1.

Додавання і віднімання числа 3

Опорний сигнал:

+ 1 + 2

– 1 – 2

– 2 – 1

+ 3: – 3:

можна кількома способами:

– 1 й ще 2.

– 2 й ще 1.

4. Додавання та віднімання числа 4.

Опорний сигнал:

+ 1 + 1 + 1 +1

+ 3 + 1

+ 2 + 2

+ 1 + 3

+ 4: – 4:

можна кількома способами:

– 2 й ще 2.

– 1 й ще 3.

5. Додавання та віднімання числа 5.

Опорний сигнал:

+ 1 + 1 + 1 +1 + 1

+ 4 + 1

+ 3 + 2

+ 2 + 3

+ 1 + 4

+ 5: – 5:

можна кількома способами:

– 3 й ще 2.

– 2 й ще 3.

– 1 і ще й 4.

Методика складання та вивчення таблиць додавання і віднімання

Вивчення таблиць починається з теми “Додавання і віднімання в межах 10”,
на яку заплановано 52 години. Але це не означає, що діти опановуватимуть
тільки таблиці додавання і віднімання. Протягом цього часу вони
ознайомляться із властивостями “додавання” і “віднімання”, навчаться
встановлювати зв’язок між цими діями, ознайомляться з поняттям “більше
на”; “менше на”, вчитимуться розв’язувати текстові задачі на знаходження
суми, остачі, на збільшення на кілька одиниць, на зменшення на кілька
одиниць [27, 98-130].

Усі таблиці арифметичних дій можна умовно поділити на 3 групи:

таблиці додавання і віднімання в межах 10;

таблиці додавання і віднімання з переходом через десяток;

таблиці множення і ділення.

Їх опрацювання проходить майже однаково, тому вчителю слід докласти
зусиль, щоб діти не втратили інтерес і щоб їхня увага не
розшаровувалась. Для цього необхідно вміло добирати різні сюжети для
тренувальних вправ, використовуючи яскравий наочний матеріал і різні
види робіт.

Перші уроки на складання того чи іншого виду таблиць проходять з великою
увагою вчителя до самого процесу складання таблиці, до розуміння їх
суті. Налалі він уже менше звертає увагу на це і працює над
закріпленням. Тут, як правило, застосовуються математичні диктанти,
послідовне називання всієї таблиці або тільки її результатів, завдання з
елементами гри, до яких можна віднести і змагання, а також завдання на
основі структурних записів.

Молодші школярі засвоюють ті чи інші таблиці насамперед у процесі
розв’язування прикладів на 2 дії, типу: 5 + 3 + 2; 3 + 2 – 4; 6 – 3 – 2;
2 • 8 + 6; 2 • 5 – 1; 14 : 2 + 5; 16 : 2 – 8. Це змушує дітей не лише
знайти в таблиці відповідь до прикладу на “додавання” і “віднімання”;
“множення” і “ділення”, а й деякий час тримати цю відповідь у пам’яті
для використання її під час виконання дії. Тобто, засвоєння випливає з
необхідності:

Однією з форм роботи є читання таблиць:

Пропонуємо зразки таких завдань:

Прочитайте підряд тільки результати множення числа 2.

Прочитайте приклади таблички множення числа 2 разом з відповідними
прикладами таблиці ділення на 2.

Прочитайте усю таблицю множення (ділення) числа 2.

Прочитайте частину таблиці множення числа 2, починаючи з прикладу “2
помножити на 4”.

Скажіть таблицю множення числа 2, починаючи з більшого числа.

Назвіть вибірково табличні результати.

Такі вправи застосовують під час усної лічби та перевірки домашніх
завдань, їх треба проводити чітко і швидко. Але якщо вчитель викликав
слабкого учня, і той не зміг одразу розказати всю таблицю, треба дати
йому можливість скористатись підручником. Якщо деякі учні не в змозі
одразу вивчити таблицю, вчителю необхідно навчити таких дітей швидко
користуватись надрукованими таблицями [10, 8].

Для швидкого вивчення таблиць арифметичних дій варто залучити до цієї
роботи батьків. Більшість батьків не усвідомлює, що ці таблиці треба
вчити напам’ять, хоча з таблицею множення починають ознайомлюватись
майже з дитсадка.

Вправи, які доцільно запропонувати батькам для роботи з дітьми:

Пригадай, до якого числа треба додати 5, щоб отримати 8, від якого числа
треба відняти 4, щоб отримати 6 і т. д.

На які числа можна розділити 15, 21?

Я назву числа, а ти збільш їх на 3 і скажи, які отримаєш відповіді.

Для кращого засвоєння табличних випадків “додавання”, “віднімання”,
“множення” і “ділення” вчитель має до кінця початкової школи під час
математичних диктантів, усної лічби, роботи над геометричним матеріалом
та величинами повертатися до цих прикладів.

Опрацювання таблиць арифметичних дій – дуже важливий аспект, тому варто
продовжити експериментально-дослідну роботу з цього питання. Бажано
ретельно вивчати досвід учителів, які досягають добрих результатів під
час опанування цих тем, висвітлити підсумки цього вивчення на сторінках
журналів, на нарадах, семінарах та конференціях.

2.3. Аналіз властивостей дій ІІ ступеня. Прийоми вивчення

множення і ділення

Навчити учнів обчислювати швидко і правильно – складний, довготривалий
процес. Запам’ятовування таблиці множення – одна з проблем для багатьох
учнів початкових класів. Для успішного та належного засвоєння цього
матеріалу є метод аналізу властивостей множення від 1 до 9. Даний прийом
полягає :

У першому стовпчику таблиці множення можна помітити цікаву
закономірність: одиниця, що помножена на будь-яке від 1 до 9 є те саме
число.

В усіх інших стовпчиках таблиці множення при множенні будь-якого числа
на одиницю знову-таки одержимо це ж число:

В усіх стовпчиках таблиці множення в останніх рядках будь-якого числа,
помноженого на 10 буде те ж саме число з нулем справа.

В усіх стовпчиках добуток чисел не зміниться, якщо переставити
множення:

Це правило за відомим переставним законом полегшує вивчення таблиці.

У стовпчику множення на “5” виявляється закономірність залежно від
парних чи непарних множників: при множенні на непарні числа 1, 3, 5, 7,
9 у добутку остання цифра буде “5”; на 2, 4, 6, 8, 10 – нуль “0”.
Причому добутки послідовних множників відрізняються на 5 одиниць: 5, 10,
15, 20, 25…. З’являються при цьому римований вислів: “п’ять на п’ять –
двадцять п’ять”, – його легко запам’ятати.

Стовпчик множення на “6” має таку ж властивість, що й попередній:
результат послідовних множників відрізняються на 6 одиниць: 6, 12, 18,
24…. Аналогічні й римовані вислови для полегшеного сприймання й
запам’ятовування: “шість на чотири – двадцять чотири”, “шість на шість –
тридцять шість”, “шість на вісім – сорок вісім”.

Цікаво відмітити такі закономірності добутків шостого стовпчика при
множенні на “6”.

при зміні множників на одиницю суми цифр двозначних добутків
повторюється з чергуванням 3, 9, 6:

при множенні на непарні числа 3, 5, 7, 9 добутки змінюються на 12
одиниць : 18, 30, 42, 54.

Стовпчик множення на “7” має теж закономірність, що полегшує його
запам’ятовування: при множенні 7 на парні числа – 2, 4, 6, 8, 10 у
добутку число одиниць у двічі більше:

Множення чисел на “8” має теж свої особливості:

якщо множник стовпчика змінюється на 5 одиниць, то добуток змінюється на
40;

сума цифр добутків зменшується на одиницю до множника “5” з 8 до 4: 8,
7, 6, 5, 4:

(16) = 1 + 6 = 7

(24) = 2 + 4 = 6

(32) = 3 + 2 = 5.

А потім з множника 6 до 10; з 12 до 8 (12, 11, 10, 9, 8):

(48) = 4 + 8 = 12

(56) = 5 + 6 = 11

(64) = 6 + 4 = 10

(72) = 7 + 2 = 9

(80) = 8 + 0 = 8.

одиниці добутків при множниках 3, 4, 5 (6, 4) збігаються з множниками 7,
8, 9, 10 (6, 4).

Число десятків добутків до п’ятого множника на одиницю менше від самого
множника:

Число десятків добутків з шостого до десятого множника зменшується на 2
одиниці у відповідних множниках:

Множення на “9” має свої закони:

у добутках послідовно записаної таблиці цифри, які позначають кількість
десятків становлять нумерацію від 1 до 9. Цифри, які вказують на
кількість одиниць, навпаки – зворотному нумерацію – від 9 до 1.

– симетричні добутки, записані в оберненому порядку:

9 ( 90; 18 ( 81; 27 (72; 36 ( 63; 45 ( 54.

Враховуючи цю послідовність, пропонується опорна таблиця яка дає змогу
значно швидше запам’ятати всі випадки множення на “9”:

(Марк Вайнтрауб. Алгоритм побудови таблиць // Початкова освіта. – №10. –
2000, – С. – 7 – 9).

1 2 3 4 5

9 18 27 36 45

90 81 72 63 54

10 9 8 7 6

.

;

.

сума цифр всіх добутків дорівнює 9:

(90(9)) 9 + 0 = 9

(18(81)) 8 + 1 = 9

(27(72)) 2 +7 = 9

(36(63)) 3 + 6 = 9

(45(54)) 4 + 5 = 9

симетричні множники в сумі дають 11:

1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 11.

Число десятків у добутках на одиницю менше від самого множника.

Як показує досвід, навіть діти з відхиленнями у розумовому розвитку лише
запам’ятовують таблицю множення на 9, якщо застосовують таблицю множення
“на пальцях”. Послідовність пояснення цього прийому учням початкових
класів:

Покласти перед собою обидві руки, пальці розведені. Маємо ряд з 10
пальців. 9 множимо на 2 – підгинаємо другий у ряду палець. Кількість
пальців що знаходяться від підігнутого означає кількість десятків у
добутку – 1. Кількість пальців, знаходяться праворуч від підігнутого –
означає кількість одиниць – 8. Отже, відповідь –18.

– підігнути третій палець. Ліворуч від нього 3, праворуч – 6.
Відповідь: 36. [58, 10].

За допомогою пальців можна навчити дитину ділити на 9. Наприклад: 45
поділити на 5:

а) Покласти руки перед собою;

б) Визначити що в числі 45 – 4 десятки і 5 одиниць;

в) Наступний після четвертого (кількість десятків) палець підігнути.
Його порядковий номер 5, що і буде відповіддю.

– 72 поділити на 9: підігнути наступний палець 7 (кількість десятків)
палець, його порядковий номер 8, отже відповідь 8.

Табличне ділення на “9” ще легше здійснювати без допомоги пальців.
Результатом ділення буде число на одиницю більше, ніж цифра, що вказує
на кількість десятків у діленому:

18 : 9, у числі 18 – 1 десяток, 1 + 1 = 2, відповідь 2.

27 : 9, у числі 27 – 2 десятки, 2 + 1 = 3,

36 : 9, у числі 36 – 3 десятки, 3 + 1 = 4

Однак, ще не вивчивши таблиці множення на 9, школяр може визначити
цифру, яка позначатиме кількість десятків у відповіді. Вона на 1 менша,
ніж те число на яке множимо 9:

, 2 – 1 = 1; у відповіді – 1 десяток (18);

, 3 – 1 = 2; у відповіді – 2 десятки (27);

, 4 – 1 = 3; у відповіді – 3 десятки (36) і т. д.

Встановивши першу цифру результату, приклад можна розв’язати
безпомилково, взагалі не вивчивши таблиці множення, оскільки сума цифр
кожного добутку при множенні на 9 дорівнює різниці другого множника та
одиниці.

Покажемо на конкретному прикладі використання евристичної бесіди для
формування нових обчислювальних прийомів.

Тема уроку: «Множення числа на суму».

Спочатку уроку вчитель організує самостійну роботу, завданням якої є
знайти числове значення виразів 2 (4 + 5), 7 (2 + 3), 5 (6 + а). Учні
обчислюють числові значення виразів 2 (4 + 5) і 7 (2 + 3) і пояснюють
свої дії, оскільки порядок дій у виразах із дужками їм відомий. В
першому виразі число 2 треба помножити на суму чисел 4 і 5. Сума чисел 4
і 5 рівна 9, а 2 помножити на 9, буде 18. Аналогічно проводиться робота
над другим виразом. Чому дорівнює числове значення виразу 5 (6 + а)?
Учні відповідають, що знайти числове значення цього виразу не можна,
тому що невідоме числове значення букви а. За пропозицією вчителя учні
підбирають числові значення букви а і обчислюють числове значення
виразу:

при а = 3, 5(6 + 3) = 5 • 9 = 45;

при а = 4, 5(6 + 4) = 5 • 10 = 50;

при а = 7, 5(6 + 7) = 5 • 13.

При знаходженні числового значення виразу 5 (6 + 7) в учнів виникає
утруднення тому, що вони не можуть помножити на 5 • 13. Як помножити 5
на суму чисел 6 і 7? Учні задумуються. На допомогу їм приходить вчитель,
він говорить, що вони будуть сьогодні шукати другий спосіб множення
числа на суму. Пошукова діяльність учнів організовується таким чином. На
магнітній дошці з’являється два рядки по 3 червоних трикутники в кожному
ряді і 4 рядки по 3 зелених трикутники в кожному ряді.

Проводиться бесіда.

– Що зображено на дошці? (Червоні і зелені трикутники). Як можна взнати,
скільки всього трикутників зображено на дошці? (Спочатку можна знайти,
скільки всього рядків трикутників: 2 рядки червоних трикутників і 4
рядки зелених трикутників, всього 2 + 4 = 6 (рядків). В кожному рядку по
3 трикутники, всього трикутників 3 • 6 = 18. Учень записує на дошці: 3(4
+ 2) = = 3 • 6 = 18.

– Яким ще способом можна знайти число всіх трикутників? (Спочатку можна
знайти, скільки червоних трикутників, потім – скільки зелених і тоді
знайти суму. В одному рядку 3 червоних трикутники, а в двох рядках – в 2
рази більше. Зелених трикутників в одному рядку – 3, а в 4 рядках – в 4
рази більше).

Учень записує на дошці вираз 3 • 2 + 3 • 4 і пояснює: «Червоних
трикутників – 3 • 2, зелених – 3 • 4, всього трикутників —
3 • 2 + 3 • 4 = 6 + 12 = = 18.

– Порівняйте одержані вирази. (В першому виразі число 3 помножимо на
суму (6) чисел 2 і 4, в другому – це ж саме число 3 множимо на ті ж
числа 2 і 4 і одержані результати додаємо.

– Порівняйте результати. (Результати однакові).

– Чому одержали однакове число трикутників? (Полічили всі трикутники,
хоч лічили їх по-різному).

Пізніше учні таким же способом знаходять і порівнюють між собою вирази
5 • (7 + 1) і 5 • 7 + 5 • 1, 2 • (3 + 6) і 2 • 3 + 2 • 6.

Якими способами можна помножити число 4 на суму чисел 2 і 3? (Можна
знайти суму чисел 2 і 3, буде 5. Число 4 помножити на одержаний
результат 5, буде 20. Можна число 4 помножити на перший доданок 2, буде
8. Число 4 помножити на другий доданок 3, буде 12. 8 і 12, буде 20).

Потім учні знаходять числове значення виразу 5 • (6 + 7),
запропонованого вчителем до проведення попередньої описаної роботи. Один
із учнів біля дошки пояснює розв’язання вправи:
5 • (6 + 7) = 5 • 6 + 5 • 7 = 30 + 35 = 65.

Таким чином, вчитель складає запитання і завдання для евристичної
бесіди, а учень самостійно відшуковує спосіб розв’язання завдання.

Така методика роботи активізує пізнавальну діяльність дітей і націлює їх
на пошук нових способів дій, що служить основою на наступному етапі —
етапі формування обчислювальної навички множення одноцифрового числа на
двоцифрове. Як, наприклад,
5 • 13 = 5 (10 + 3) = 5 • 10 + 5 • 3 = 50 + 15 = 65.

2.4. Раціональні способи усних обчислень

Для підтримання інтересу до математики і створення позитивних емоційних
ситуацій на уроці, вчитель має ознайомити учнів саме з раціональними
прийомами усного обчислення. Досконале володіння цими прийомами деякою
мірою є своєрідним мистецтвом усної лічби.

Приклади цікавих і раціональних способів усної лічби:

Множення двоцифрових чисел, близьких до 100. Нехай нам потрібно 93
помножити на 95. Традиційно такі приклади учні виконують у стовпчик.
Оригінальність даного обчислення можна розкрити таким ходом виконання:

доповнити кожен множник до 100, це буде відповідно 7 (100 – 93) і 5 (100
– 95);

віднімемо від першого множника доповнення другого (93 – 5 = = 88) або
від другого множника доповнення першого (95 – 7 = 88). І в першому, і в
другому випадках одержимо 88 – це перші цифри шуканого добутку – сотні.

.

Схематично це можна зобразити так:

93 – 7

95 – 5

). Пояснення раціонального способу обчислення схематично
відображається так:

= 42 16

Число десятків множимо на число, яке на одиницю більше від кількості
десятків (6 • 7 = 42). Це будуть сотні шуканого добутку. Дві останні
цифри добутку – результат множення одиниць обох чисел (8 • 2 = 16).

Слід звернути увагу на випадок, коли добуток одиниць дає одноцифрове
число:

= 56 09

Множення двоцифрових чисел на 99.

.

Порівнюючи число сотень у добутку (73) з першим множником (74), доходимо
до висновку, що воно на 1 менше від першого множника. А порівнюючи
число, зображене двома останніми числами добутку (26) з першим множником
(74) робимо висновок, що 26 є доповненням числа 74 до 100. На основі
цього формулюємо правила:

Щоб помножити двоцифрове число на 99, достатньо до попереднього числа
І-го множника дописати його доповнення до 100.

Аналогічно обґрунтовується і виконується множення трицифрового числа на
999.

Наприклад: 7868 • 999 = 785214.

Порядок виконання:

786 –1 = 785 –кількість тисяч;

1000 – 786 = 214 –одиниці першого класу.

Використовуючи названий спосіб множення трицифрового числа на 999 і
враховуючи, що 999 = 37 • 27 = 37 • 9 • 3 = 111 • 9 = 333 • 3.

Обґрунтовуємо раціональні способи знаходження результати ділення виду:

785214 : 999

785214 : 37 : 27 785214 : 333 : 3

785214 : 786

785214 : 111 : 9 785214 : 37 : 9 : 3

Наведені прийоми усних обчислень, як правило, є предметом ознайомлення у
процесі позакласних занять, але можуть з успіхом використовуватись і на
уроках математики, залежно від рівня готовності учнів до їх сприймання
[62, 21-23].

Ці закономірності множення дозволяють краще засвоїти обчислення,
запам’ятати раціональним свідомим шляхом, спонукають до різнобічного та
наукового аналізу, самостійного пошуку нових варіантів.

При ознайомленні учнів з новим обчислювальним прийомом часто бувають
випадки, коли вчитель, стараючись застосувати евристичний метод, ставить
перед собою завдання підвести учнів до «відкриття» обчислювального
прийому. Внаслідок невміння організувати їх пізнавальну діяльність
учитель сам змушений розкрити обчислювальний прийом у готовому вигляді.

В основі бесіди вже лежить не евристичний підхід, а
запитально-відповідальна форма, яка створює видимість бесіди. Це часто
зовнішня ознака. Учні в такому разі нічого не вирішують, не знаходять
відповіді на поставлену проблему. Вони не «підводяться» до розкриття
прийому обчислення, оскільки для розумового процесу відсутній фактичний
матеріал, на «дослідження» якого повинні орієнтувати запитання. Річ не у
формі, а в тому розумовому процесі, який здійснюється учнем. «Щоденно,
на кожному уроці учень повинен щось добувати своїми знаннями — це не
тільки правило дидактики сучасної школи, а й важлива закономірність
виховання» [9, 157].

Як ніколи раніше, перед початковою ланкою освіти ставиться тепер
завдання підвищувати ефективність уроку: забезпечувати учням не тільки
глибокі і міцні знання теоретичного характеру, але й формувати практичні
вміння і навички.

Досягнути оптимального співвідношення між теорією і практикою, щоб
теоретичні знання були не «мертвим капіталом», а надійною основою вмінь
і навичок, засобом осмислення й обґрунтування практичних дій молодших
школярів, можна і на основі застосування наочності.

Активність учня досягає вершин тоді, коли він щось робить, коли в цьому
занятті бере участь не лише голова, а й руки, коли відбувається
всебічне, (а не тільки зорове) сприймання об’єктів пізнання. Маючи
відповідний наочний матеріал, який можна за власним бажанням пересувати,
по-різному комбінувати, дитина глибше опановує абстрактні математичні
співвідношення – кількісні і просторові.

Так, наприклад, при застосуванні паперових стрічок (10 см х 1 см, по 10
зображених кружечків на кожній стрічці) і стрічок з окремими одиницями
кружечків у процесі формування обчислювальних умінь і навичок
пізнавальна діяльність учнів так само спрямована на самостійне
«відкриття» прийомів додавання і віднімання двоцифрових чисел без
переходу і з переходом через десяток, множення і ділення двоцифрових
чисел на одноцифрове число.

Наочність стає зовнішньою опорою мислительних дій, дає змогу
активізувати різні форми сприймання матеріалу. Це досить важливо з точки
зору пізнавальної самостійності учнів. Спостерігаючи за фактичним
матеріалом, учні виконують операції аналізу і синтезу, переставляють
частину паперових стрічок із десятками або одиницями кружечків.
Внаслідок цього виділені ознаки синтезуються у відповідне правило. Така
розумова робота мобілізує всі розумові функції учня: сприймання,
уявлення, уяву, увагу. У такому разі пізнавальна діяльність школярів має
характер дослідження якна основі логічних операцій, так і на основі
практичних дій, мовленнєвої форми узагальнення.

Обчислювальний прийом має бути представлений учням як проблема, яку
повинні розв’язати вони самі на уроці.

Висловивши свою думку про необхідність пробудження в учнів потреби
активно мислити, самостійно здобувати знання, відшукувати раціональні
прийоми обчислень, Н. Менчинська звертає увагу на те, що для розвитку
дітей важливо, щоб вони не тільки одержували знання, але й оволоділи
«методами і прийомами здобування і застосування знань» [41, 11].

Проблемний метод.

Як приклад самостійного «відкриття» учнями прийому обчислень розглянемо
тему уроку: «Ділення виду 72 : 6».

Практика показує, що вчителі під час ознайомлення з обчислювальним
прийомом для випадку 72 : 6 (коли десятки діленого націло не діляться на
дане число) використовують метод розповіді або пояснення. Прийом, який
використовується учнями раніше при діленні виду 48 : 4, не підходить до
знаходження числового значення виразу виду 72 : 6.

Щоб навчити учнів автоматично виділяти в діленому найбільше число
десятків, яке без остачі ділиться на дане число, доцільно заздалегідь
цілеспрямовано підготувати їх до усвідомлення того, як подати число
(ділене) у вигляді суми двох зручних доданків. Один із цих доданків
повинен бути найбільшим числом десятків, яке без остачі ділиться на дане
число. Для цього, по-перше, при ознайомленні з цим прийомом учні повинні
самі встановити, що найзручніше виділити найбільше число десятків, яке
ділиться на дане число, а по-друге, в підготовці до ознайомлення з
діленням виду 72 : 6 необхідно застосувати спеціальні завдання.
Наприклад:

Запишіть у порожніх клітинках найближчі круглі числа, які менші від
даних-і діляться без остачі на 2, 3 (4, 5, 6, …, 9).

32

56

78

50

96

70 :2

48

72

54

81

57

78 :3

2. Число, наприклад, 42 запишіть сумою двох доданків, кожний з яких
ділиться на 3. Запевніть порожні клітинки.

42 = 39 + 3 42 = 33 + ? 42 = 24 + ?

42 = 36 +? 42 = 30 + ? 42 = 21 + ?

42 = 27 + ?

3. У числах 56, 92, 76, 52, 72, 60, 96, 68 назвіть найбільше число
десятків, які діляться на 4.

4. Запишіть ділене, наприклад, 72 у вигляді суми двох доданків, кожний з
яких ділиться на 6.

5. Найбільше кругле двоцифрове число 60 ділиться на 6. Назвіть такі
двоцифрові числа, які слідують за числом 60 і діляться на 6.

6. Назвіть двоцифрові числа, які діляться на 2 (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Тема: Ділення виду 72 : 6.

— Поділимо 72 на 6, Як можна виконати ділення? (Замінити число 72 сумою
десятків і одиниць. 72 – це 7 десятків і 2 одиниці). Поділіть 70 і 2 на
6, сума чисел 60 і 2 не ділиться на 6, тому що ні число 70, ні 2 на 6 не
діляться). Подумайте, чи можна число 72 записати сумою таких двох
доданків, кожний з яких ділиться на 6. (Учні можуть використовувати
таблицю ділення на 6. Вони називають числа; в зошитах і на дошці
виконують записи: (66 + 6) : 6 = 66 :  6 + + 6 : 6 = 11 + 1 = 12,
(60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 = 10 + 2 = 12, …, (36 + 36) : 6 =
= 6 : 6 + 36 : 6 = 6 + 6 = 12). Який з цих способів розкладання числа 72
на суму двох інших чисел найзручніший? (72 = 60 + 12). Чому? (60 легко
ділиться на 6. При діленні першого доданка дістаємо десятки, а при
діленні другого — одиниці). Отже, в даному випадку число 72 ми, подали у
вигляді суми двох зручних доданків: 60 і 12.

Після виконання 2-3 таких вправ формулюється висновок: число, яке ми
ділимо, треба подати у вигляді суми двох зручних доданків, один з яких
повинен бути найбільшим числом десятків, яке без остачі ділиться на дане
число.

«Для формування навичок при навчанні математики підготовкою служать
достатньо сформовані й усвідомлені вміння (наприклад, при формуванні
обчислювальних навичок), а також ті навички, які включаються в нові як
їх елементи, і достатньо відпрацьовані на попередніх етапах навчання…»
[1, 181-182].

Так, підготовкою до формування в учнів обчислювального прийому ділення
виду 48 : 4 (ділення двоцифрового числа на одноцифрове, коли одиниці
кожного розряду націло діляться на дане число) служать такі вміння і
навички (48 : 4 = (40 + 8) : 4 = 40 : 4 + + 8 : 4 = 40 + 2 = 12):

вміння подати одноцифрове число у вигляді суми десятків і одиниць;

вміння застосувати властивість ділення суми на число;

навичка ділення виду 40 : 4;

навичка додавання виду 10 + 2.

Але для самостійного «відкриття» учнями вищевказаного обчислювального
прийому цих умінь і навичок недостатньо. Щоб учні змогли самостійно
«відкрити» спосіб обчислення того чи іншого виразу, необхідно
«…створити, систематизувати або розширити досвід дітей, який ляже в
основу ознайомлення з новим матеріалом, відтворити ті знання, на які
доведеться спиратись при розкритті нового» [1, 179].

f

h

J ° ?

&

&

&

t

?

?

&

F,

&

F

&

F

&

&

&

&

F

&

&

F

F

&

F

A

Oe

&

F

&

&

&

F

ta

&

&

&

&

&

&

F

&

&

&

gd/m

????????????

????????????

???????», «<» або «=» так, щоб одержати правильну рівність: 3 + 0 * 3 • 0; 8. – 0 * 8 : 1; замість зірочок поставте знак «+» або «•» так, щоб одержати правильні рівності: 1 * 1 = 2; 1 * 1 = 1; замість зірочок поставте таке число, щоб одержати правильну рівність: 0 + * = 8; 1 • * = 24; * : 5 = 0; 11 – * =0; * : 1 = 49; 81 : * = 81. 2. Неправильно знайдене учнем числове значення виразу, часто пов'язане із змішуванням цифр. Наприклад, при обчисленні виразу 10 – 4 учень записує 10 – 4 = 9, проте усно він правильно називає результат. Для усунення таких помилок можна запропонувати учневі, наприклад, обвести певну кількість клітинок і поруч записати цифру, яка відповідає даному числу, або знайти в своїй лічильній коробці вказану цифру, або написати рядок певної цифри тощо. 3. При обчисленні виразів (в концентрі «Десяток»), які є сумами або різницями, учні, застосовуючи прийом прилічування або відлічування по одиниці, вказують результати відповідно на 1 менше або на 1 більше (4 + 3 = 6; 8 – 2 = 7). Додаючи до числа чотири три (4 + 3), учень повинен назвати три числа, які наступні за числом 4. Такими числами для виразу 4 + 3 будуть: 5, 6, 7. Але учень для вказаного виразу першим числом називає число, яке є першим доданком (4), а потім два наступні за числом чотири числа: 5, 6, вважаючи, що він додав число 3. І одержав числове значення виразу 4 + 3, рівне 6. Аналогічні помилкові дії в розумовому плані допускають учні і при знаходженні числового значення виразу 8 – 2. Для попередження цих помилок учневі необхідно запропонувати назвати проміжні результати в процесі Застосування прийомів прилічування по одиниці одиниць другого доданку або відлічування по одиниці одиниць від'ємника. 4 + 3 = ? 4 + 1 = 5, 5 + 1 = 6, 6 + 1 = 7. «До числа 4 додати 1, буде 5. До числа 5 додати 1, буде 6. До числа 6 додати 1, буде 7». 8 – 2 = ? 8 – 1 = 7, 7 – 1 = 6. «Від числа 8 відняти 1, буде 7. Від числа 7 відняти 1, буде 6.» 4. Часто учні, обчислюючи числові значення виразів виду 5 + 4 і 9 – 3 (в межах 10). називають результати відповідно 5 і 9, тобто замість правильного результату називають один з компонентів арифметичної дії. Щоб не допустити таких помилок, доцільно навчити учнів користуватись прийомом прикидки: результат виразу 5 + 4 повинен бути більший від кожного з доданків, а результат виразу 9 – 3 повинен бути меншим, ніж зменшуване 9. 5. Учні одержують неправильний результат виразу внаслідок використання нераціональних прийомів обчислень. Так, наприклад, виконуючи додавання виду 2 + 8, треба використати прийом, який ґрунтується на переставній властивості додавання. Учень, який застосував прийом додавання частинами або прийом прилічування по 1 або по 2, забуває, скільки одиниць він уже додав і скільки йому ще залишилась додати. Внаслідок цього він одержує неправильний результат. Таку помилку можна попередити, застосувавши прийом порівняння нераціональних і раціональних прийомів обчислень. 6. Виконуючи додавання і віднімання в межах 100. учні додають одиниці одного розряду до одиниць вищого (наступного) розряду або до одиниць нижчого (попереднього) розряду, або віднімають від одиниць даного розряду одиниці іншого розряду. 34 + 5 = 84; 2 + 76 = 96; 20 + 36 = 38; 28 + 5 = 78; 3 + 61 = 91; 43 + 30 = 46; 87 – 30 = 84; 78 – 5 = 28. 7. Інша група помилок, які допускають учні при додаванні і відніманні, пов'язані з пропуском операцій або виконанням зайвих операцій: 36 + 42 = 30 + 6 + 40 + 2 = 30 + 40 + 6 + 2 = 70 + 6 = 76; 36 + 42 = 30 + 6 + 40 + 2 = 30 + 40 + 6 + 2 = 70 + 2 = 72; 36 + 42 = 30 + 6 + 40 + 2 = 30 + 40 + 6 + 2 = 30 + 8 = 38; 36 + 42 = 30 + 6 + 40 + 2 = 30 + 40 + 6 + 2 = 30 + 2 = 32; 36 + 42 = 30 + 6 + 40 + 2 = 30 + 40 + 6 + 2 = 40 + 6 = 46; 36 +42 = 30 + 6 + 40 + 2 = 30 + 40 + 6 + 2 = 40 + 8 = 48; 28+ 35 = 20 + 8 +30+ 5 = 20 + 30 + 8 + 5 = 50 + 5 = 55; 28 + 35 = 20 + 8 + 30 + 5 = 20 + 30 + 8 + 5 = 50 + 8 = 58; 28 + 35 = 20 + 8 + 30 + 5 = 20 + 30 + 8 + 5 = 20 + 13 = 33; 28 + 35 = 20 + 8 + 30 + 5 = 20 + 30 + 8 + 5 = 30 + 13 = 43. 78 – 25 = 58, 70 – 20 = 50; 50 + 8 = 58; 78 – 25 = 45, 70 – 20 = 50; 50 – 5 = 45; 78 – 25 = 55, 70 – 20 = 50; 50 + 5 = 55; 78 – 25 = 37, 70 – 20 = 50; 8 + 5 = 13; 50 – 13 = 37; 63 – 48 = 63 – (40 + 8) = 63 – 40 = 23; 63 – 48 = 63 – (40 + 8) = 63 – 8 = 55; 43 + 20 = (40 + 3) + 20 = (40 + 20) + (3 + 20) = 60 + 23 = 83. Для попередження помилок і їх усунення необхідно сформувати в учнів прийоми контролю і самоконтролю. Учні, знаючи залежність між компонентами і результатом дії додавання і віднімання, можуть самостійно встановити правильність знайдених числових значень вищевказаних виразів. З таким способом самоконтролю учні ознайомлюються при вивченні теми: «Додавання і віднімання двоцифрових чисел». Хід міркування учнів при перевірці знайденого числового значення, наприклад, виразу 28 + 32 • (28 + 32 = = 20 + 8 + 30 + 2 = 20 + 30 + 8 + 2 = 50 + 8 = 58) такий: «Перевірю розв'язання прикладу 28 + 32. Сума цих чисел рівна 58. Якщо із суми 58 відніму другий доданок 32, то одержу число 26. У прикладі 28 + 32 першим доданком є число 28. Значить, приклад розв'язано неправильно.» Зауважимо, що спосіб перевірки розв'язання прикладу 36 + 42 [36 + 42 = = 76; 72; 46] способом прикидки одержаного результату не підходить, оскільки в результаті одержали суму 76 (72; 46), яка більша від кожного із доданків: 36, 42. Тому потрібно застосувати інший прийом перевірки цього прикладу, а саме: прийом, який ґрунтується на залежності між компонентами і результатом дії (Щоб знайти один із доданків, треба від суми відняти другий доданок). Дію віднімання перевіряють способом знаходження зменшуваного (до різниці треба додати від'ємник) або способом знаходження від'ємника (треба від зменшуваного відняти різницю): 8. При обчисленні значень виду а • в на етапі розкриття конкретного змісту дії множення помилки учнів зумовлені: 1) нерозумінням смислу компонентів множення. Обчислюючи добуток чисел 6 і 9 [6 • 9 = 51], учень число 6 взяв доданком 10 разів, одержав 60 і з одержаного результату 60 відняв 9, а не 6; 2) не сформованістю в учнів навичок додавання в межах 100. Так, учень, обчислюючи суму однакових доданків, називає результатом виразу 7 • 4 число 27 замість 28; 3) невміння учнів визначити кількість доданків. Наприклад, учень при обчисленні виразу 9 • 7 називає число 72 замість 63, оскільки він узяв число 9 доданком 8 разів, а не 7. Попередити ці помилки можна на основі виконання достатньої кількості різних тренувальних вправ на заміну суми однакових доданків добутком і добутку сумою однакових доданків. Позатабличному множенню і діленню належить чільне місце в початковому курсі з математики, оскільки вони безпосередньо пов'язують позатабличні випадки множення і ділення з письмовим множенням і діленням багатоцифрових чисел. Завдання вчителя в процесі вивчення цієї теми полягає в тому, щоб у нових умовах удосконалювати знання учнів з табличних випадків множення і ділення, формувати усні прийоми обчислень, пов'язаних із діями множення і ділення в межах сотні і тисячі та підготувати учнів до засвоєння найскладніших питань початкового курсу математики -—письмового множення і ділення багатоцифрових чисел [24, 35-37]. Як відомо, Обчислювальні прийоми позатабличного множення і ділення (виду .24 • 3, 4 • 13, 48 : 2, 72 : 6, 50 : 2, 64 : 16 тощо) — складні розумові дії. Так, ділення двоцифрового числа на одноцифрове число містить цілу низку окремих операцій (72 : 6 = (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 = = 10 + 2 = 12): а) вміння подати двоцифрове число у вигляді суми зручних доданків; б) знання властивості ділення суми на число; в) вміння застосувати властивість ділення суми на число до обчислення виразу; г) знання табличних випадків ділення; ґ) обчислювальна навичка, виду 60 : 6; д) обчислювальна навичка виду 10 + 2. Закономірно, що результат ділення (72 : 6) залежить від результату часткових основних операцій. Якщо ж останні не будуть доведені до автоматизму, то прийом ділення двоцифрового числа на одноцифрове не може бути застосований учнями. Спостереження за роботою вчителів підтверджують те/що не завжди встановлюються причини появи помилок, визначається ефективна методика роботи над ними. Вчителі пропонують велику кількість одноманітних вправ, вважаючи, що таким чином можна позбутися помилок. Своєчасно не проаналізовані неправильні способи обчислення виразів з позатабличного множення і ділення закріплюються у свідомості дітей і тому є причиною багатьох помилок. Наведемо приклади типових помилок, які допускають учні при обчисленні виразів теми: «Позатабличне множення і ділення». 1. Виконуючи множення виду 24 • 3. 4 • 13. учень формально переносить раніше відомий йому прийом додавання видів: 24 + 3 і 3 + 24 до тих виразів, до яких він не підходить. Наприклад: 24 + 3 = (20 + 4) + 3 = 20 + (4 + 3) = 20 + 7 = 27; 24 • 3 = (20 + 4) • 3 = = 20 • 3 +  4 = 60 + 4 = 64; 24 • 3 = (20 + 4) • 3 = 20 + 3 • 4 - 20 + 12 = 32; 4 • 13 = = 4 • (10 + 3) = 4 . 10 + 4 = 40 + 4 = 44; 4 • 13 = 4 (10 + 3) = 10 + 4 • 3 = 10 + 12 = = 32. 2. Причина появи типової помилки при діленні виду 64 : 2 аналогічна попередній. Учень ділить один з доданків на число, а другий доданок залишає без змін. 64 : 2 = (60 + 4) : 2 = 60 : 2 + 4 = 30 + 4 = 34; 64 : 2 = (60 + 4) : 2 = 60 + 4 : 2 = 60 + 2 = 62. Помилок, позначених числами 1 і 2, можна уникнути, застосувавши прийоми зіставлення і протиставлення. При знаходженні числових значень виразів, наприклад, 24 + 3 і 24 • 3 учні під керівництвом учителя спочатку визначають спільне в цих виразах (однакові числа) і відмінне (перший вираз — сума, другий — добуток). Знайшовши числові значення виразів і застосовуючи прийоми зіставлення в способах обчислення (в першому і другому виразах число 24 подають у вигляді суми розрядних доданків) і протиставлення (при обчисленні виразу 24 + 3 число додається до одного з доданків, а в другому випадку — кожний з доданків множиться на число 3). 3. Часто учень, шукаючи числове значення виразів виду 36 : 3. оперує десятками як одиницями. 36 : 3 = 3 : 3 + 6 : 3=1 + 2 = 3. Причина появи цієї помилки у відсутності пояснення, як знайти значення виразу допоміжної (не арифметичної) операції – читання виразу. Вона випадає з поля зору вчителя. При ознайомленні учнів з обчислювальним прийомом для випадку 36 : 3 не варто пропускати цю допоміжну операцію. Вона допомагає учням правильно подати ділення у вигляді суми розрядних доданків і вказати одну із допоміжних операцій — властивість ділення суми на число. В іншому випадку неусвідомленим буде зв'язок теорії з практикою, що негативно впливає на усвідомленість обчислювальних умінь і навичок. Отже, недоліки в засвоєнні необхідних допоміжних операцій і є тією причиною, що учні допускають помилки в їх комплексному використанні. 4. Наступна помилка пов'язана з об'єднанням двох прийомів ділення двоцифрового числа на одноцифрове: ділене подається у вигляді суми розрядних доданків. Одержану остачу при діленні десятків діленого на дільник учень додає до десятків частки і до одиниць діленого. 64 : 4 = 36; 60: 4 = 10 (ост.20); 20 + 10 = 30; 20 + 4 = 24; 24 : 4 = 6; 30 + 6 = 36. 5. Найбільш поширеною помилкою при діленні двоцифрового числа на двоцифрове є неправильне перенесення учнями властивості ділення суми на число: десятки діленого ділять на десятки дільника, а одиниці діленого — на одиниці дільника. Одержані частки додають. 68 : 34 = 4; 60 : 30 = 2; 8 : 4 = 2; 2 + 2 = 4. 6. Використовуючи ділення двоцифрового числа на двоцифрове, учні оперують цифрами діленого і дільника, не враховуючи відмінностей між поняттями «цифра» і «розряд». Десятки діленого ділять на десятки дільника, одиниці діленого ділять на одиниці дільника. Перший результат записують на місці десятків частки, другий результат — на місці одиниць частки. 96 : 16 = 91; 9 : 1 = 9; 6 : 6 = 1. 7. При діленні двоцифрового числа на двоцифрове учні виділяють у і діленому зручні доданки і ділять їх на десятки і одиниці дільника. Перший результат записують на місці десятків частки, другий результат — на місці одиниць частки. 72 : 24 = 33; 72 = 60+12; 60 : 20 = 3; 12 :4 = 3. 8. При діленні круглих десятків на двоцифрове число ділене ділять на десятки дільника, а одиниці дільника записують в остачі або залишають без змін. 80 : 16 = 8 (ост. 6); 80 : 16 = 8; 80 : 10 = 8; 80 : 10 = 8. Розглянемо причини появи помилок, які допускають учні при діленні двоцифрового числа на одноцифрове в тому випадку, коли треба подати сумою не розрядних, а зручних доданків. Учні в цьому випадку, знаючи "властивість ділення суми на число, повинні вміти аналізувати вираз. Внаслідок цього можна встановити, коли треба подати ділене у вигляді суми розрядних доданків, а коли — сумою зручних доданків. Якщо властивість ділення суми на число не усвідомлена і вміння застосувати її на практиці не перейшло в навичку, то це стало причиною несформованості навички ділення двоцифрових чисел на одноцифрове в тому випадку, коли число десятків діленого націло не ділиться на дане число [28, 23-26]. Отже, запобігти появі подібних помилок і усунути їх допоможе система таких прийомів: порівняння обчислювальних прийомів з виділенням у них суттєвих відмінностей; обговорення з учнями неправильно знайдених числових значень виразів; аналіз числових виразів для попередження змішування арифметичних дій; перевірки знайденого числового значення виразу способом виконання оберненої арифметичної дії. Письмове додавання, віднімання при формуванні письмових обчислень, пов'язаних з виконанням дій додавання і віднімання, учні допускають помилки в записі чисел «в стовпчик». +497 36 1 857 В даному випадку помилку легко виявити способом прикидки: до числа 4 сотні додали число, яке менше сотні. Одержали 8 сотень. Отже, при обчисленні допущена помилка. Виявити помилку, зумовлену забуванням одиниць певного розряду, які треба було запам'ятати при додаванні, або забуванням одиниці, яку брали з вищого (наступного) розряду при відніманні, не можна. їх може виявити самостійно учень шляхом виконання перевірки дії додавання відніманням і дії віднімання додаванням. Найбільше помилок при письмовому відніманні багатоцифрових чисел допускають учні при знаходженні числових значень виразів такого виду, коли в записі сусідніх розрядів зменшуваного є нулі (598 003 – 26 519). Помилки у виконанні обчислень цього виду зумовлені невиправданим ускладненням системи операцій, введенням учителем у пояснення обчислювального прийому зайвих операцій. Наведемо приклад багатослівного, нечіткого пояснення вчителем прийому обчислення виразу. _ 598 003 26 519 «Від трьох одиниць не можна відняти 9. Беремо 1 десяток. Над десятками ставимо крапку. Десятків в зменшуваному немає. Беремо одну сотню. Над сотнями ставимо крапку. Сотень немає. Беремо 1 тисячу. Одна тисяча — це 10 сотень. 9 сотень залишаємо. Пишемо цифру 9 над сотнями. 1 сотня — це 10 десятків. 9 десятків залишаємо. Пишемо цифру 9 над десятками. Один десяток — це 10 одиниць. 10 одиниць і 3 одиниці, буде 13 одиниць. 13 одиниць мінус 9, буде 4 одиниці. Цифру 4 пишемо під рискою на місці одиниць...» Пояснення вчителя в цьому випадку повинно бути таким:»Від трьох одиниць не можна відняти 9. Одиниці сусідніх розрядів відсутні. Беремо одну тисячу. Ставимо крапку над цифрою 8, щоб не забути про це. Одна тисяча — це 10 сотень. Беремо одну сотню. Ставимо крапку над цифрою нуль (показується), щоб не забути, що залишилось 9 сотень. Одна сотня — це 10 десятків. Беремо 1 десяток. Ставимо крапку над цифрою 0, щоб не забути, що залишилось 9 десятків. Один десяток — це 10 одиниць. 10 одиниць і 3 одиниці, буде 13 одиниць. 13 мінус 9, буде 4 ...» Письмове множення і ділення Виконуючи письмово множення багатоцифрових чисел на дво- і трицифрове число, учні допускають помилки, пов'язані з неправильним записом неповних добутків. Наприклад: 1) 427 2) 536 36 804 2562 2144 1281 4288 1 3843 45024 Для попередження помилки, допущеної при обчисленні першого виразу, необхідно, щоб на етапі ознайомлення з множенням багатоцифрових чисел на двоцифрове число учні добре засвоїли, чому другий неповний добуток починаємо підписувати під десятками першого неповного добутку. Для цього, виконуючи таку дію, учні повинні давати розгорнуте пояснення. Наведемо хід міркування учня при знаходженні числового значення виразу 427 • 36: «Множу число 427 на 6... Множу число 427 на 30. Помножу число 427 на 3 і одержаний результату помножу на 10. При множенні на 10 приписую до одержаного числа нуль справа. Нуль запишу під одиницями першого неповного добутку. 7 дес. помножу на 3, буде 21 дес. Цифру 1 запишу на місці десятків, а 2 сот. запам'ятовую...». На наступних етапах закріплення цього обчислювального прийому учні дають таке розгорнуте пояснення:» ...Множу число 427 на 30. Помножу число 427 на 3 і одержаний результат помножу на 10. Нуль не записую: а множу на 3, буде 21. Цифру 1 записую під десятками...» Одночасно доцільно застосовувати і прийом прикидки одержаного результату: 400 • 30 = 12 000. Одержали число 3843 менше, ніж число 12 000. Значить, множення виконано неправильно. Після ознайомлення учнів з діленням багатоцифрових чисел на одно- і двоцифрове числа необхідно застосувати прийом перевірки дії множення оберненою дією — дією ділення. Інші помилки, які допускають учні при множенні багатоцифрових чисел на одно-, дво- і трицифрові числа, пов'язані з раніше вказаними помилками при виконанні чотирьох арифметичних дій над числами в межах 100. Формування в учнів навичок ділення багатоцифрових чисел на одно- і двоцифрові числа — одне із найважчих завдань у вивченні початкового курсу математики. На окремі аспекти вивчення цієї теми зосередимо увагу, а саме на причини і шляхи запобігання помилок, які допускаються учнями при письмовому діленні багатоцифрових чисел на одно- і двоцифрові числа, Типовою методичною помилкою при ознайомленні учнів з письмовим прийомом ділення багатоцифрових чисел є недостатня увага до роботи над алгоритмом ділення. Учень може користуватись алгоритмом тоді, коли суть кожного пункту алгоритму ним буде усвідомлено засвоєна. З цією метою необхідно додержуватись таких етапів роботи над алгоритмом письмового ділення багатоцифрових чисел: учень читає вголос кожний пункт алгоритму і вголос його виконує; учень читає про себе кожний пункт алгоритму і вголос його виконує; учень читає про себе кожний пункт алгоритму і про себе-його виконує, повідомляючи результат. Найпоширенішими помилками при діленні багатоцифрових чисел на одно- і двоцифрові числа є такі: 1. Одержання зайвих цифр в частці. 2. Пропуск нуля в частці. Виконуючи ділення числа 3016 на 52, учень поділив на 52 не 260 десятків, а 208 десятків. Унаслідок цього він одержав остачу 93, яку можна поділити на 52. Тому одержав в частці зайву цифру 1. 50132 83 498 64 1) 2) 3016 52 208 418 93 332 52   332 416 0 416 0 В другому випадку пропущена цифра нуль в частці. Учень поділив на 83 число сотень і одиниць, пропустивши операцію ділення десятків на 33. Як в першому так і в другому випадку основними причинами помилок учнів при виконанні дії ділення багатоцифрових/ чисел, як показали наші спостереження, є: 1. Невміння учнів визначити кількість цифр в частці. 2. Уявлення учнів про те, що, коли менше число не ділиться (навіть з остачею) на більше число, частки в цьому випадку не буде. 3. Формальне засвоєння способу утворення неповних ділених. 4. Відсутність знання про те, що кожне неповне ділене обов'язково дає цифру частки у відповідному розряді. Розглянемо шляхи попередження кожної із вказаних помилок. Такі помилки можна попередити на етапі ознайомлення учнів із діленням багатоцифрових чисел на одноцифрове число. Для попередження вказаної першої помилки доцільно: по-перше, дотримуватись такого пояснення, щоб кожному учневі був доступний логічний перехід від розряду-першого неповного діленого до кількості цифр у частці; по-друге, наочно встановлювати відповідність між одержаною і визначеною кількістю цифр в частці. Логічний перехід від розряду першого неповного діленого до кількості цифр у частці здійснюється такими етапами, як визначення розряду першого неповного діленого, встановлення того, що розряд першого неповного діленого є і найвищим розрядом частки та визначення кількості цифр частки [53, 78-83]. Так, при поясненні знаходження числового значення виразу 74 288 : 9 необхідно дотримуватись такої логіки: «Перше неповне ділене — 74 тисячі. Якщо поділимо тисячі, то в частці одержимо тисячі. Тисячі записуються в числі на четвертому місці справа. На третьому — сотні, на другому — десятки, на першому місці справа — одиниці. Значить, у частці буде 4 цифри.» Такий спосіб пояснення конкретизує загальний підхід: розряд першого неповного діленого є і найвищим розрядом частки. При поясненні на дошці потрібно виділити перше неповне ділене: нижче записати назву потрібно розряду цього неповного діленого, назву вищого розряду частки і точками позначити кількість цифр частки. 76 25 25 сотні • • • 58 064 8 тисячі • • • ?сотні ?тисячі Визначаючи кількість цифр частки (3016 : 52), учень повинен дати пояснення: «Перше неповне ділене — 301 десяток. Десятки записуються в числі на другому місці справа. У частці буде дві цифри...». Знайшовши числове значення виразу 3016 : 52, учень переконується в .тому, що в частці буде не трицифрове, а двоцифрове число. Попервах при визначенні кількості цифр у частці учням доцільно пропонувати ставити в частці стільки-крапок, скільки повинно бути в ній цифр. Це дає можливість наочно встановити невідповідність між одержаною і визначеною кількістю цифр у частці. Як показує практика, при ознайомленні з обчислювальним, прийомом ділення багатоцифрового числа на двоцифрове вчителі подають таке пояснення утворення першого неповного ділення (на прикладі 18468 : 57): 18468 57 171     324 136 114 228 228 0 «Утворимо перше неповне ділене. Найвищий розряд діленого — десятки тисяч. Один десяток тисяч не можна поділити на 57 так, щоб у частці були десятки тисяч. Один десяток тисяч — це 10 тисяч. 10 тисяч і 8 тисяч, буде 18 тисяч. 18 тисяч не можна поділити на 57 так, щоб у частці були тисячі. 18 тисяч — це 180 сотень. 180 сотень і 4 сотні, буде 184 сотні. 184 сотні можна поділити на 57 так, щоб у частці були сотні. Отже, перше неповне ділене — 184 сотні. Сотні в числі записуються на третьому місці справа. Значить, у частці буде 3 цифри. Взнаємо першу цифру частки...» Як бачимо з цього пояснення, перше неповне ділене утворюється шляхом розроблення одиниць вищого розряду в одиниці нижчого розряду. Це вміння формується в процесі вивчення нумерації чисел. На Даному етапі — етапі ознайомлення з діленням багатоцифрових чисел на двоцифрове — учень повинен знати: якщо дільник двоцифрове число, то в першому неповному діленому повинно бути не менше двох цифр. Тому пояснення вчителя повинно бути, простим, без зайвої термінології. «Дільник — двоцифрове число, то в першому неповному діленому повинно бути не менше двох цифр. 18 тисяч не ділиться на 57 так, щоб у частці були тисячі. 184 сотні — перше неповне ділене...» Вкажемо на ті прийоми і способи роботи, які повинні бути спрямовані на те, щоб не допустити помилки: «менше число не ділиться на більше і тому частки не буде» [65, 78]. Зрозуміло, що менше число не ділиться на більше в тому випадку, коли йдеться про ділення націло. Як відомо, поділити одне число на друге — це означає знайти таке ціле невід'ємне число, яке, помноживши на дільник, дає ділене. Якщо ж ділене (відмінне від нуля) менше., ніж дільник; то такого цілого невід'ємного числа Знайти не можна. У випадку ділення з остачею таке ділення можливе, оскільки неповна частка може бути рівна нулю, 8 : 15 = 0 (ост. 8); 8 = 15 • 0 + 8; 8 = 8. Ділення з остачею — одне з теоретичних положень, яке лежить в основі письмове ділення, оскільки при діленні неповного діленого на дане число необхідно знайти два числа — неповну частку і остачу. Неповне ділене може бути менше від дільника, тоді в частці треба записати нуль. Наприклад: 50132 83 498     604 332 332 0 Знайшовши першу цифру частки (6), учні міркують так: «33 не ділиться на 83. Значить, буду ділити 332 на 83. 332 поділити на 83, буде 4...» Як бачимо, в цьому міркуванні помилковим твердженням буде: «33 не ділиться на 83». З цього твердження випливає друга частина міркувань. Закономірно, слово «не ділиться» означає: частки не існує. Якщо її не існує, то ніякої цифри в частці від ділення 33 на 83 не повинно бути. Поява цифри нуль у частці в такому випадку виправдана тільки тоді, коли дається пояснення такого виду: «33 десятки не ділиться на 83 так, щоб у частці одержати десятки. Значить, у частці буде нуль десятків». Проте в розумінні дітей це виступає в такій формі: «Якщо яку-небудь дію не можна виконати, то і ніякого результату дії не буде.» Тому в підготовці до ознайомлення з письмовим діленням доцільно учням пропонувати вправи: «Знайти частку і остачу для виразів виду 4 : 17; 9 : 24; 27 : 35» тощо. Третя причина помилок, які допускають учні при діленні багатоцифрових чисел, полягає в формальному засвоєнні ними способу утворення неповних ділених: учні не визначають розряд неповного діленого, а лише формально «приписують» цифру наступного розряду діленого. Цього можна позбутись шляхом виконання двох операцій: 1) перетворення одиниць вищого розряду в одиниці нижчого розряду; 2) додавання до круглого числа одиниць цього ж розряду діленого [6, 53-57]. У своїй роботі ми пропонували учням завдання такого виду: «При письмовому діленні чисел перше неповне ділене — 7 тис. Одиниці якого розряду містить друге неповне ділене? третє? четверте? і т.д. Визначивши кількість цифр в частці, необхідно звернути увагу на те, що неповних ділених повинно бути стільки, скільки цифр у частці. З цією метою учням доцільно подати такий запис, як при діленні багатоцифрових чисел без нуля в частці. 50132 83 498     604 33 0 332 332 0 Такий запис дає можливість попередити причину появи помилки: пропуск нуля в частці. В такому разі пояснення учнів повинно бути таким: «Ділене — 50 132, дільник — 83. Перше неповне ділене — 501 сотня. Значить, у частці будуть сотні, десятки й одиниці, тобто три цифри. 501 поділити на 83, в розряді сотень буде 6. Дізнаємось, скільки сотень поділили. 83 помножити на 6, буде 498.501 мінус 498, буде 3. 3 менше, ніж 83. Отже, цифра 6 підібрана правильно. Утворимо друге неповне ділене. 3 сотні — це 30 десятків. 30 десятків і 3 десятки, буде 33 десятки. Поділимо 33 на 83. У частці буде 0 десятків: Дізнаємось, скільки десятків поділили. 83 помножити на нуль, буде нуль. Дізнаємось, скільки десятків не поділили. 33 мінус нуль, буде 33. 33 менше, ніж 83. Отже, цифра нуль підібрана правильно. Утворимо третє неповне ділене. 33 десятки – це 330 одиниць. 330 одиниць і 2 одиниці, буде 332 одиниці. Поділимо 332 на 83, буде 4. Дізнаємось, скільки одиниць поділили. 83 помножити на 4, буде 332. Дізнаємось, скільки одиниць не поділили. 332 мінус 332, буде 0. Нуль менше, ніж 83. Отже, цифра 4.підібрана правильно. Одержали частку 604». Отже, помилок, пов'язаних із пропуском нуля в частці, можна уникнути шляхом розв'язання вправ виду: 0 : 9 = 0; 0 : 84 = 0; 7 : 8 = 0 (ост.7); 49 : 54 = 0 (ост. 49); 5 • 0 + 6 = 6; 78 • 0 + 13 =13. Вправи такого виду потрібно частіше включати в усні обчислення. Тоді кожному учневі будуть зрозумілі слова «не ділиться, в частці пишемо нуль. Правильність підбору цифри частки можна перевірити шляхом аналізу одержаної остачі: якщо остача більша або рівна дільникові, то цифра частки підібрана неправильно. Формування обчислювальних навичок письмового ділення багато-цифрових чисел доцільно пов'язувати з формуванням в учнів більш простих умінь, пов'язаних з окремими пунктами алгоритму: визначати неповне ділене, найвищий розряд частки, кількість цифр частки, вказувати цифру частки; дізнаватись, скільки одиниць даного розряду поділили; перевіряти цифру частки. Формування цих умінь не пов'язані з письмовими обчисленнями. Виконання учнями вправ, пов'язаних з формуванням цих умінь, сприяють попередженню помилок, які допускають учні при діленні багатоцифрових чисел [12, 18-24]. Наведемо приклади таких завдань: 1. Назвіть перше неповне ділене: 4  764 : 4; 9 168 : 8; 3 208 : 7; 23 142 : 57 (4 тис, 9 тис, 32 сот., 231 сот.) 2. Яким буде найвищий розряд частки: 8 342 :3; 1 377 : 9; 217 560 : 7; 136 : 4? (одиниці тисяч, сотні, десятки тисяч, десятки). 3. Скільки цифр буде в частці: 84 196 : 4; 2 576 : 8; 9 576 : 9? (5; 3; 4). 4. Взнай першу цифру частки: 5 432 : 7; 30 552 : 57; 45 780 : 60. (7; 5; 7). 5. Дізнайся, скільки десятків тисяч поділили? (9 дес. тис). 157545 9 9 604 67 63  45 45  45 45 0 6. Дізнайся, скільки тисяч не поділили? (Нуль тисяч). 56136 4 4 14034 16 16  13 12  16 16 0 7. Поясни, чи правильно підібрали першу (другу, третю, четверту) цифру частки? 6924 6 6 1154 51021 9 45 5669 9 60 6 54 32 62 30 54 24 81 24 81 0 0 Отже, для вдосконалення обчислювальних навичок необхідно передусім забезпечити органічний зв'язок теоретичної і практичної частин програми, включати більше різних тренувальних вправ, зміцнювати зв'язок усних і письмових обчислень, що сприятиме вдосконаленню як усних, так і письмових обчислень [28, 23-26]. У системі роботи вчителя початкових класів застосування прийому какографії як засобу формування обчислювальних умінь і навичок створює умови для контролю учнів за роботою вчителя, виявлення помилок самими учнями при виконанні різних вправ, встановлення причин їх появи. Розкриємо сутність цього прийому. Великий педагог К. Ушинський процес засвоєння орфографії пов'язував із мисленням. Цікаві в цьому плані його рекомендації стосовно використання вправ із какографії як засобу навчання правопису [63, 41-42]. Слово «какографія» походить від грецьких слів: «kаkоs»., що в перекладі українською мовою означає «поганий», і «grapho» – «пишу». Під какографією розуміють навмисне помилкове письмо, яке пропонується учням, щоб знаходити і виправляти помилки. Вправи такого виду складались з окремих слів або речень, навмисно написаних з орфографічними помилками. Учні повинні виявити і виправити помилки. Такі вправи пропонувались одразу після ознайомлення учнів з орфографічним правилом. Довгий час прийом-використання вправ з какографії майже не застосовувався. Деяке зацікавлення дим прийомом пов'язане з діяльністю відомого вченого і педагога Ш. Амонашвілі. Автор «Рідного слова» писав; «Какографія, вживана своєчасно із умінням... заняття надзвичайно корисне» [35, 38-41]. Використання вправ із какографії як засобу навчання правопису — переконливий приклад педагогіки співробітництва вчителя і учня, — дозволяє деякою мірою змінити манеру їх спілкування. Оскільки прийом какографії використовується як навмисна помилкова дія вчителя для знаходження і виправлення помилок учнями, то при виконанні такої дії необхідно додержуватись вимог: по-перше, результати неправильно розв'язаних вправ повинні збігатися з тими, які одержують учні при помилковому їх розв'язанні; по-друге, неправильно розв'язані вправи повинні подаватись у розгорнутій формі. Пояснимо ці положення на прикладі. Наприклад, розв'язуючи вправу: «Знайдіть числове значення виразу 96 : 3», вчитель повинен знати, які помилки допускають учні при цьому, причини їх появи і шляхи попередження. Частина учнів знаходить значення виразу 96 : 3 так: 1) 96 : 3 = (90 + 6) : 3 = 90 : 3+6 = 30 + 6 = 36 або 96 : 3 = (90 + 6) : 3 = 90 + 6 : 3 = 90 + 2 = 92. Основна причина появи цих помилок полягає в застосуванні раніше відомого учням прийому обчислення виду (90 + 6) + 3 = 90 + (6 + 3) = 90 +9 = = 99 до виразу (90 + 6) : 3, прийом обчислення якого відмінний від раніше вказаного. У виразі, ((90 + 6) + 3 число 3 додавали до одного з доданків (другого доданку 6), а при обчисленні виразу (90 + 6) : 3 кожний із доданків (90 і 6) ділять на число. Тому учні допускають помилку: ділять один з доданків на число, а другий доданок залишають без змін. Пропонуючи учням завдання: «Які помилки допустили при обчисленні виразу 96 : 3?», вчитель повинен записати не будь-які числа в результаті, а тільки числа 36, 92. Тоді учень зможе вказати помилки і виявити їх причину, якщо одночасно виконуватиметься друга вимога. Якщо б вчитель запропонував учням знайти помилки при обчисленні виразу 96 : 3, записавши неправильно знайдені результати: 96 : 3 = 36 або 96 : 3 = 92, то закономірно, учень в жодному разі не може пояснити причини появи помилок. Шляхи попередження цих помилок планує вчитель, застосовуючи прийоми зіставлення і протиставлення. Наприклад: «Чим подібні вирази 96 + 3 і 96 : 3? Чим вони відрізняються? Знайдіть значення цих виразів. Чим подібні способи обчислень цих виразів? Чим відрізняються способи обчислень?» Розглянемо систему вправ з початкового курсу математики на тему: «Позатабличне множення і ділення», при розв'язуванні яких вчитель може застосувати прийом какографії. 1 . Які помилки допустили при обчисленні виразів? 1) 37 • 2 = (30 + 7) • 2 = 30 • 2 + 7 = 60 + 7 = 67; 37 • 2 = (30 + 7) • 2 = 30 + 7 • 2 = 30 + 14 = 44; 2) 84 : 4 = (80 + 4) : 4 = 80:4 + 4 = 20 + 4 = 24; 84 • 4 = (80 + 4) : 4 = 80 + 4 : 4 = 80 + 1 = 81; 3) 72 : 6 = (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12= 10 + 12 = 22; 72 • 6 = (60 + 12) : 6 = 60 + 12 : 6 = 60 + 2 = 62; 4) 48 : 24 = 48 : (6 • 4) = (48 : 6) • 4 = 8-4 = 32; 48 : 24 = 48 : (6 • 4) = (48 : 4) • 6= 12 • 6 = 72; 5) 96 : 32 = 6; 96 : 32 = 33; 90 : 18 = 9; 9 : 3 = 3; 9 : 3 = 3; 9 : 1 = 9; 6 : 2 = 3; 6 : 2 = 3; 0 : 8 = 0; 3 + 3 = 6; . 9 + 0 = 9. 2 . Знайдіть значення виразів, при обчисленні яких допущені помилки: 25 • 3 = 75; 28 : 2 = 18; 96:3 = 92; 18 • 5 = 58; 63 : 3 = 31; 66 : 6 = 16; 39 • 2 = 48; 48 : 4 = 12; 86 : 2 = 43; 15 • 6 = 90; 28:2 = 24; 66 : 6 = 61; 25 • 4=100; 84:4 = 41; 39 : 3=13. 3 . Який спосіб обчислення виразів неправильний? 96 : 3 = 5 96 : 3 = 32; 96 : 16 = 91; 70 : 14 = 7 (ост.4); 9 : 3 = 3; 90 : 3 = 30; 9 : 2 = 9; 70 : 10 = 7; 6 : 3 = 2; 6 : 3 = 2; 6 : 6= 1 70 : 14 = 5. 3 + 2 = 5 30 + 2 = 32. Яку помилку допущено при обчисленнях? Чому? 4. Назвіть неправильні рівності. Як ви догадались? 96 : 16 = 6; 69 : 23 = 6; 96 : 16 = 10; 69 : 23 = 3. 5 Назвіть правильні рівності: 60 : 12 = 6; 80 : 16 = 8(ост.6); 90 : 18 = 5; 68:34 = 2; 60 : 12 = 5; 80 : 16 = 8; 90 : 18 = 9 (ост.8); 68 : 34 = 4; 60 : 12 = 6 (ост.2); 80 : 16 = 5; 90 : 18 = 9; 68 : 34 = 22. Доведіть неправильність обчислення, значень інших виразів. 6. Чи зручним способом обчислено значення виразів? 84 : 3 = (60 + 24) : 3 = 60 : 3 + 24 : 3 = 20 + 8 = 28; 70 : 5 = (45 + 25) : 5 = 45 : 5 + 25 : 5 = 9+ 5= 14. 7. Перевірте правильність обчислення виразів: 93 : 3 = 31; 80 : 16 = 8; 69 : 3 = 5; 69 : 3 = 5; 90: 18 = 5; 62 : 31 =2. 2.6. Обґрунтування та аналіз проведеного експерименту. На базі природничо-математичного ліцею м. Коломиї в 4-х класах проводився експеримент. Мета дослідження: вивчити рівень сформованості обчислювальних навиків та вмінь учнів 4-х класів з математики в контексті готовності до навчання в основній школі. Для експерименту було обрано два класи (4-Б та 4-В), один із яких (4-Б) визначався як контрольний, інший (4-В) – як експериментальний. Протягом одного місяця, враховуючи, що на вивчення дисциплін математичного спрямування (математика, логіка та економіка) відводиться 8 год. на тиждень, з дітьми 4-В класу на уроках виконувались вправи та завдання зосереджені на вдосконалення та розвиток практичних навиків з математики. Зокрема, використання раціональних способів виконання арифметичних дій, поглиблене вивчення закономірності та особливостей дій множення та ділення, проведення нестандартних уроків з математики та логіки, приділялась більша увага виконанню усних обчислень. В той час, як контрольний клас, маючи те саме навантаження з математичних дисциплін навчався за стандартною програмою. В кінці місяця для виявлення результатів в обох класах було проведено анкетування, в якому діти давали відповіді на запитання, пов’язані з використанням нестандартних форм виконання обчислень. Проаналізувавши всі анкети, слід зазначити, що більшість дітей із контрольного класу не використовує раціональні способи для розв’язання поставлених завдань. Зовсім іншу ситуацію спостерігаємо в експериментальному класі, де учні протягом місяця удосконалювали та розвивали свої практичні навики та вміння, при чому діти з експериментального класу набагато швидше заповнили анкетні дані. Отже, даний експеримент свідчить про те, що увага вчителів початкової школи зосереджена на правильності та швидкості виконання учнями операцій із числами, не виявляючи способів, якими діти користуються в цій роботі. Тому завдання вчителя – не просто подати матеріал, використовуючи загальні форми пояснення, а в деяких випадках просто “зазубрити” матеріал (коли мова йде про вивчення табличних випадків множення і ділення (3-й клас)) – а навчити дітей шукати простіші способи оволодіння тією чи іншою арифметичною операцією, показати традиційні форми обчислення; нестандартні прийоми вивчення таблички множення в межах від 2 до 9, тобто розвивати в дітей логічне мислення, спостережливість при роботі з числами, розвивати інтерес до вивчення математики, дати дітям змогу при вивченні нових тем самим здійснювати певні відкриття, робити самостійні висновки щодо виникнення правил, послідовності виконання дій над числами. Тому під час уроків з математики не слід встановлювати для учнів певні рамки чи шаблони, подані вчителем для виконання того чи іншого завдання, учень сам повинен в процесі навчання зробити свій логічний висновок щодо певних закономірностей в математиці. Тільки тоді вчитель може розраховувати на якісне оволодіння навчальним матеріалом. Таблиця 1. № п/п Концентри, в яких здійснювались обчислення Арифметичні дії Коефіцієнт швидкості обчислень до експерименту Коефіцієнт швидкості обчислень після експерименту Коефіцієнт результативності 1 В межах “10” додавання і віднімання 0,05 0,03 2 множення і ділення 0,06 0,04 2 2 В межах “100 – 1000” додавання і віднімання 0,15 0,11 4 множення і ділення 0,4 0,37 3 3 Багатоцифрові числа додавання і віднімання 1,25 1,15 10 множення і ділення 4,15 4,08 7 Коефіцієнт швидкості обчислень визначався за допомогою часу витраченого на виконання операції, поділеного на 100. Коефіцієнт результативності визначався різницею коефіцієнта швидкості обчислень до експерименту та коефіцієнта швидкості обчислень після експерименту, помноженого на 100. Таблиця 2. Контрольний клас 4-Б. № п/п Прізвище ім’я учня Середній рівень успішності до проведення експерименту Середній рівень успішності після проведення експерименту 1 Ашимбрейнер Тетяна 8 8 2 Бойчук Микола 9 9 3 Боледзюк Андрій 8 8 4 Боровинська Ілона 7 8 5 Гавриленко Орест 9 10 6 Гулиняк Богдан 10 10 7 Гудковський Григорій 8 8 8 Довганюк Тетяна 8 8 9 Друляк Володимир 7 7 10 Калугіна Інна 10 10 12 Копильців Роман 9 10 13 Куник Юрій 9 9 14 Лукінчук Наталія 7 8 15 Махлай Анастасія 8 9 16 Мартинюк Мирослава 8 8 17 Петренюк Тарас 7 8 18 Прокопів В’ячеслав 10 10 19 Рибчук Христина 9 9 20 Свищук Людмила 9 9 21 Трошина Тетяна 8 9 22 Фай Юлія 7 8 23 Харченко Каріна 7 7 24 Швидко Максим 10 10 25 Яцик Валентина 8 9 Таблиця 3. Експериментальний клас 4-В. № п/п Прізвище ім’я учня Середній рівень успішності до проведення експерименту Середній рівень успішності після проведення експерименту 1 Акулова Вікторія 9 10 2 Баб’юк Аліна 7 8 3 Борецький Олег 8 9 4 Бучовський Сергій 10 10 5 Вахняк Анна 7 8 6 Войтанович Олеся 8 9 7 Вітовські Катерина 8 9 8 Гаєва Вікторія 9 10 9 Гриценко Світлана 10 10 10 Гундяк Діана 7 8 12 Данилюк Тарас 7 8 13 Довганюк Ольга 8 9 14 Дубей Віктор 9 10 15 Іванюк Олександра 9 10 16 Івасютин Мар’яна 8 9 17 Кіцанюк Аліна 10 10 18 Максим’юк Юлія 9 10 19 Михайлюк Тетяна 8 9 20 Онищук Ігор 8 9 21 Розметанюк Вікторія 7 8 22 Трач Олег 10 10 23 Томенко Валентина 9 10 24 Шкрібляк Роман 8 9 Проведений нами експеримент із застосуванням прийому какографії показав, що учні експериментальних класів одержали більш якісні знання, міцно засвоїли математичні поняття, успішно застосовували їх при розв'язуванні пізнавальних і розвивальних завдань порівняно з учнями контрольних класів. Система вправ для застосування прийому какографії викликала в учнів зацікавлення, вони навчились логічно міркувати, обґрунтовувати кожну операцію і дію в цілому. Створення міцних обчислювальних навичок пов'язано з формуванням в учнів навичок самоконтролю, а їм приділяється дуже мало уваги. Для успішного формування самоконтролю потрібно забезпечити у системі уроків такі умови: щоб запобігти можливим помилкам, ускладнювати завдання в певній послідовності: копіювання використання зразка в тих самих умовах, у змінених, у нових; домагатися від учнів чіткого розуміння мети роботи і об'єкта перевірки; передбачати труднощі, які можуть виникнути в процесі виконання самостійної роботи; при формуванні складних умінь і навичок одночасно опрацьовувати прийоми і способи їх перевірки; у виконанні тренувальних вправ передбачити спеціальні ускладнення, щоб запобігти зниженню гостроти уваги, утворенню штампу дій» [23, 44-47]. Отже, нами встановлено, що розвиток обчислювальних навичок (в кожному з концентрів) тісно пов'язаний із додержанням такої системи в їх формуванні: 1) підготовча робота до ознайомлення з новим обчислювальним прийомом; 2) первинне закріплення обчислювального прийому; 3) застосування обчислювального прийому в різних умовах; 4) установлення причин появи помилок і робота над їх попередженням; 5) автоматизація обчислювальних навичок. Така система при формуванні обчислювальних навичок допомагає не тільки цементувати знання, вміння і навички, але й сприяє розвитку самостійності й системності мислення, розвиває творчі сили учнів. ВИСНОВКИ Оволодіння обчислювальними навичками та вміннями – складний та довготривалий процес, який вимагає від учителя значних зусиль, вимагає звертати увагу на рівень засвоєння того чи іншого матеріалу, на кожному кроці закріплювати навички та удосконалювати їх, постійно ускладнюючи та урізноманітнюючи завдання для дітей. Види арифметичних дій – табличні випадки, позатабличні випадки, що виконуються усно чи письмово – супроводжують школяра починаючи з першого класу і до закінчення школи. Однак, обчислювальні навики і вміння є неодмінним аспектом нашого повсякденного життя, адже в будь-якій сфері діяльності людина стикається із цифрами, числами та операціями над ними [13, 22]. Саме основа всіх обчислювальних навиків закладається в початкових класах. Основне завдання вчителя в цей період сформувати міцні навички додавання і віднімання, множення та ділення. Звичайно, легшими за своєю суттю є операції І ступеня, їх набагато легше засвоїти і найважливіше донести до свідомості учнів додавання і віднімання з переходом через десяток, учень повинен знати для того, щоб додати 2 числа потрібно до першого доданка додати доповнення до 10. Аналогічно, і з відніманням. Зрозумівши цей матеріал, діти легко маніпулюватимуть з трицифровими та багатоцифровими числами. Однак, найбільшу увагу слід неодмінно звернути на засвоєння таблички множення та ділення. Цей матеріал найбільш важкий для учнів, і саме він формує усі подальші математичні уміння дітей. Спочатку діти вивчають напам’ять таблички множення від 2 до 9, а потім виконують невелику кількість вправ задач для закріплення вивченого матеріалу. В результаті накопичення великої кількості інформації, адже крім таблички, діти ознайомлюються з новими видами задач, геометричним матеріалом, вони втрачають інтерес до цієї теми і часто плутають результати множення, допускаючи безліч помилок, навіть якщо перед тим вони добре вивчили табличні дані. З метою попередження перевтоми вчителю слід : застосовувати нетрадиційні форми оволодіння обчислювальними навичками, влаштовувати різні форми конкурсів, змагань, а не просто зациклюватись на механічному відтворенні результатів табличного множення. В початкових класах вчитель може здійснювати між предметні зв’язки, проводячи інтегровані уроки, всебічно розкривши учням необхідність швидкого і правильного здійснення операцій над числами. У даному дослідженні розкрито цікаві для учнів форми вивчення табличних результатів множення і ділення. Для цього вчителю разом із учнями можна проаналізувати саму схему створення таблиць множення та ділення ,закономірності процесу множення парних та непарних чисел на основі даних закономірностей вивести принципи множення та ділення простих та складних чисел. Тобто підійти до вивчення табличних результатів множення і ділення із зовсім іншого боку, досі невідомого для дітей, однак досить цікавого для них та легкого для сприймання [18, 7]. Отже, формування обчислювальних навичок та вмінь – цілеспрямований процес оволодіння арифметичними діями над числами в ході ефективної взаємодії вчителя та учнів. І саме, в початкових класах вчитель повинен сформувати міцні навички та вміння безпомилково виконувати арифметичні дії та розуміти їх зміст, володіти поняттями, що пов’язують компоненти арифметичних дій та операції над ними. Проблема формування міцних обчислювальних навиків та вмінь в початковій школі є досить поширеним і складним для оволодіння явищем. І саме якісне засвоєння цим матеріалом кардинально змінює відношення дитини до математики та її складових. В результаті виконаної роботи можна зробити такі узагальнення: 1. У проведеному експериментальному дослідженні формування практичних обчислювальних умінь і навичок молодших школярів здійснювалося на основі використання запропонованих і описаних в роботі методичних прийомів. 2. За даними дослідження, робота з дітьми експериментальної групи за розробленою методикою сприяла стабільному росту швидкості виконання обчислень. Час, затрачений на виконання обчислювальних операцій, зменшився, про що свідчать дані, наведені в таблиці 1 . 3. Проведене дослідження дозволило визначити організаційно-педагогічні умови, які сприяють підвищенню інтересу до формування обчислювальних вмінь молодших школярів. 4. У процесі дослідження було встановлено, що навики самостійної роботи та самоконтролю відіграють важливу роль при вивченні обчислювальних прийомів. 5. Основний недолік контролю за рівнем сформованих обчислювальних навичок — це несвоєчасне виявлення помилок при знаходженні числових значень виразів. Тому аналіз помилок повинен стати обов'язковим і важливим моментом для застосування прийомів контролю і самоконтролю під час формування обчислювальних умінь і навичок. СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах // Под ред. М.И.Моро, А.М.Пышкало. — М. : Педагогика, 1977. —248 с. Атутов П.Р. Политехнический принцип в обучении школьников.— М: Педагогика, 1976. — 192 с. Бантова М., Бельтюкова Г., Полевщика А. Методика преподавания математики в начальных классах. Учебное пособие для учащихся школьников. (Под ред. М.А. Бантовой. – М: Просвещение. 1984 – 335 с.). Блонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочинения в 2 т. // Под ред. А.В.Петровского.— М.: Педагогика, 1979, т.I.— 304 с; т. 2— 400 с. Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А. — Методика викладання математики в початкових класах. Навч. посібник: — К.: А.С.К., 1998. — 352 с: іл. Богданович М.В., Литвиненко М.Г. Зошит з математики для 2 класів. – 9-те видання. – К.: Радянська школа., 1990 – 64 с. Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах. – Тернопіль, 2001. – 214 с. Богоявленский Д.Н. и Менчинская ,Н. А. Психология усвоения знаний в школе. — Изд.-во АПН РС ФСР, 1959.— 347с. Возрастная и педагогическая психология. Учеб. пособие длястудентов пед. институтов по спец. 2121 "Педагогика и методика нач. обучения" М.В.Матюхина, Т.С.Михальчик, Н.Д.Прокина и др. // Под ред. М.В.Гализо и др.— М.: Просвещение, 1984.—256 с. Валентина Шпакова. Про вивчення таблиць арифметичних дій. // Початкова освіта. – 1997. – №2. – 30 с. Василенко У.В. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Вища школа, 1971. – 365 с. Гнеденко Б.В. Политехнические аспекты преподавания математики в средней школе // Математика в школе.— 1974. — №6. — с. 18—24. Гончаренко С.У. Методологічні характеристики педагогічних досліджень // Вісник АПН України. – 1993. – №1. – с. – 11–22. Г. Мартинова, С. Скворцова. Формування вмінь та навичок додавання та віднімання // Початкова освіта. – 1997. –№4. Дидактика начального обучения: Сб. науч. тр. //НИИ содерж. и методов обучения / / Под ред. А.М.Пышкало. — М., 1977.— 81 с. Дистервеґ А. Избр. пед. соч. — М.: 1956. Занков Л.В. О начальном обучении. — М.: АПН РС ФСР, 1963. Зубов В.Г. О современных проблемах политехнической школы.— В кн.: Проблемы-политехнического образования: I. Материалы общ. собр. акад. пед. наук СССР, 27—28 июня 1972, М., 1972, с. 7—39. Король Я.А. Вироблення в першокласників умінь вимірювати довжину відрізка // Почат, шк. — 1983. —№ 12. — с. 33—38. Король Я.А. З досвіду використання історичних даних рідного краю на уроках математики.— В кн.: Учитель національної школи, ч. II, Тернопіль, 1991, с 77—79. 14. Король Я.А. Ігрові ситуації на уроках математики у І класі чотирирічної початкової школи: Методичний лист МО України. — К.: Рад. шк., 1988.—32 с: Король Я.А. Измерение длины отрезка // Нач. шк—1982 — № 10. — с. 51—53. Король Я.А. Корисний, дидактичний матеріал // Почат, шк.— 1979.—№ 9. — с. 44—47. Король Я.А. Математична скарбничка: Навч. посібник для дітей 6—7 річного віку у двох частинах. — Тернопіль, Мандрівець, 1997.— ч. 1—64 с; ч. II.—48 с. Король Я.А. Організація навчальної діяльності на уроках математики // Почат. шк. —1986. —№ 1. —с 59—64. Король Я.А. Організація навчання шестирічних першокласників: Методичні рекомендації для керівників шкіл. —Тернопіль: 1986. —с 44—52. Король Я.А. Практикум з методики-викладання математики в початкових класах: Навчальний посібник для педагогічних університетів та інститутів. —Тернопіль: Мандрівець, 1998—134 с. Король Я.А. Пути осуществления политехнического принципа в обучении математике младших школьников. —В кн.: Пути повышения качества обучения и воспитания учащихся в процессе изучения естественно—математических дисциплин в средней школе. М. , НИИ СиМО АПН СССР, 1981, с. 23—26. Король Я.А. Розв'язування текстових задач різними способами — В кн.: Актуальні проблеми розбудови національної освіти, ч.Ш, К.— Херсон, 1997, с 76—78. Король Я.А. Составление задач на основе использования местного материала // Нач. шк. —1982. —№ 10. —с. 51–53. Король Я.А. Формування політехнічних уявлень в школярів при вивченні математики // Почат, шк. —1980. т—№ 6. —с33—38. Король Я.А Формування прийомів користування вимірювально— креслярськими інструментами // Почат.шк. —1996. —№ 4. —с 24—26. Король Я.А. , Козак М.В. З досвіду формування прийомів позатабличного множення і ділення. —В кн.-г Актуальні проблеми розбудови національної освіти, ч.ІІ, К.—Херсон, 1997, с 86—89. Король Я,А., Король Я.Р. Ігровий метод у навчанні першокласників математики // Нач. шк. —1981. —№ 1. —с 42—45. Король Я.А. Хаперская А.А. Приемы активизации на уроках математики // Нач. шк. —1979. —№ 10. —с 38—41. Король Я.А. Чайка Н.М. Вдосконалення методики роботи над задачами геометричного змісту // Почат. шк.—1995. —№ 10. :—11. —с 19—22. Косткж Г.С. Навчально — виховний процес і психічний розвиток особистості — К: 1989. Марк Вайнтрауб. Алгоритм побудови таблиці. // Початкова освіта. – №10. – 2000, – 30 с. Маркущевич А.И. Совершенствование образования в условиях научно-технической революции // Народное образование. —1972.—№ 1. Маслова Г.Г. Монахов В.М. , Семушин А.Д. , Шварцбурд СИ. Реализация политехнического принципа в преподавании математики. —В кн.: Политехнический принцип в обучении основам наук в средней школе. М. , 1979, с. 12—30. Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. —М.: АПН РСФСР, 1959. Менчинская Н.А. , Моро М.И. Вопросы методики и психологи начального обучения математике.—М.: Учпедчиз, 1960. Межпредметные связи естественно-математических дисциплин // Под ред. В.Н. Федоровой. —М.: Просвещене, 1980. —206 с. Педагогіка //'За ред. А.М. Алексюка. —К.: Вища шііола, 1985. —296 с. Педагогіка //За ред. Н.Д. Ярмаченко. —К.: Вища школа, 1986. —549 с. . Педагогическая енциклопедия //- Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н..Петрова и др. , т. 3. —М.: Советская енциклопедия, 1966.—890 с. Пистрак М.М. О политехнизме и политехническом воспитании. —В кн.: Политехническая школа и производство. М, , Транспечать, 1926, с. 29—40. Програма середньої загальноосвітньої школи 1-4 (1-3) класів. – К.: Освіта, 1994. – 254 с. Програма для загальноосвітніх нвчальних закладів. Математика (5-11 класи). Програму підготували: В. Бевз, А. Мерзляк, З. Слепкань – К., 2001. Програма для класів з поглибленим вивченням математики (8-11 класи). Програму підготували: М. Бурда, М. Жалдак, Т. Колесник, Т. Хмара, М. Ядренко. – К., 2001. Психологія // За ред. Г.С. Костюка. —К.: Рад. шк. , 1968. —574 с. Пышкало А.М. Методика обучения елементам геометрии в начальных классах. —2 —е изд. , испр. , и доп. —М.: Просвещение, 1973. —208 с. Пышкало А.М. Янковская Н.А. Об использовании микроэлектронной техники в обучении младших школьников. —В ,кн.: Применение электронных устройств в обучении математике и её-приложений. М., 1979—78—83 с. Савченко О.Я. Дидактика початкової школи: Підручник для студентів педагогічних факультетів. – К: Абрис. 1997. – 416 с. Савченко О.Я. Вимоги до якості початкової освіти // Почат.шк.— 1995.—№1.—с. 4—6. Савченко О.Я.Дидактика початкової школи: Підручник для студентів педагогічних факультетів. — К.: Абрис, 1997,—4І6с. Савченко О.Я. Реформування змісту початкової освіти // Почат.шк.— 1996. — №1. — с 48. С. Сарапутова. Прийоми навчання табличного множення на 9. // Початкова освіта. – №4. – 1997. – 30 с. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики.— М.: Педагогика, 1980—96 с. Сухомлинський В.О.Вибрані твори. В 5—ти т. Т.2.— К.: Рад. шк., 1976.—670 с Сухомлинский В.А. Нам нужны действительно просвещенные люди // Народное просвещение. — 1970.—№4. — с. 49—50 Тетяна Кривошея. Усні обчислення – раціональні способи // Початкова освіта. – №5. – 1997. – 30 с. Ушинский К.Д; Собр. соч.—М.—Л.: 1940.—Т.7. Шабалов СМ. Политехническое обучение.—М.: Изд.—во АПН РСФСР, 1956.—728 с. Шварцбурд СИ., Ковалёв М.П: Электроника помагает считать. — М. -Просвещение, 1978.—96 с. Епштейн Д.А. Научно—технический прогресс и политехническое образование в преподовании основ наук.—Сов. педагогика. 1978.—№ 2.— с. 24—29. ДОДАТКИ Додаток №1 Переставна властивість додавання. Опорний сигнал: ( ( ( ? ? 3 + 2 = 5 ? ? ( ( ( 2 + 3 = 5 ( ( ( ? ? ? ? ( ( ( 3 + 2 = 2 + 3 5 = 5 * Числа можна додати у будь-якому порядку. Від зміни місць доданків сума не змінюється. 2. Додавання чисел 6, 7, 8, 9. Опорний сигнал: 6 6 (+ 7 7 +( 8 8 9 9 * Щоб додати 6, 7, 8, 9 – треба поміняти місцями доданки. Зручніше додати до більшого числа менше число. 3. Взаємозв’язок додавання та віднімання. Опорний сигнал: ( ( ( ? ? 3 + 2 = 5 ( ( ( ? ? ? ? ( ( ( 5 – 2 = 3 5 – 3 = 2 Віднімання числа 5. Опорний сигнал: 6 1/5 7 2/5 8 – 5 = 3/5 – 5 Наприклад: 9 4/5 7 – 5 = 2 + 5 – 5 = 2 10 5/5 2 + 5 Віднімання числа 6. Опорний сигнал: 7 1/6 8 – 6 = 2/6 – 6 9 3/6 10 4/6 9 – 6 = 3 + 6 – 6 = 3 10 – 6 = 4 + 6 – 6 = 4 3+6 4+6 Віднімання числа 7. Опорний сигнал: 8 1/7 9 – 7 = 2/7 – 7 10 3/7 8 – 7 = 1 + 7 – 7 = 1 10 – 7 = 3 + 7 – 7 = 3 1+7 3+7 Віднімання числа 8. Опорний сигнал: 9 1/8 – 8 = – 8 10 2/8 9 – 8 = 1 + 8 – 8 = 1 10 – 8 = 2 + 8 – 8 = 2 1+8 2+8 Віднімання числа 9. Опорний сигнал: 10 – 9 = 1/9 – 9 10 – 9 = 1 + 9 – 9 = 1 1+9 Віднімання чисел 6, 7, 8, 9 на підставі взаємозв’язку додавання і віднімання. Пам’ятка: Подаю зменшуване у вигляді суми двох доданків. Якщо від суми відняти один з доданків, то залишиться другий доданок. Записую (читаю) відповідь. Додаток №2 Вправи на закріплення таблиць множення і ділення. Розв’язування рівнянь. Задачі вивчених видів. Мета. Закріплювати знання учнів з табличного множення і ділення, удосконалювати обчислювальні навички, правила порядку виконання арифметичних дій різного ступеня Вміння розв'язувати задачі вивчених видів. Вдосконалювати навички порівняння величин. Вміння складати і розв'язувати рівняння. Збагачувати знання учнів цікавинками про природу. Виховувати любов до математики, до природи. Обладнання. Малюнки та схеми до задач, тести, роздатковий матеріал, папка «Дикі тварини, геометричні фігури, магнітофонний запис. Хід уроку І. Організаційний момент. (Діти стоять у колі, тримаючись за руки). Девіз нашого уроку: «Знаєш сам, допоможи друговій». Учитель. Діти. Сидимо рівно Пишемо гарно Слухаємо уважно Відповідаємо точно У нас сьогодні незвичайний урок, протягом якого му поєднаємо наші знання з природознавства і математики. 1. Оголошення теми уроку. Сьогодні ми закріпимо знання з табличного множення і ділення, повторимо виконання арифметичних дій, будемо розв'язувати задачі та рівняння. Прослухайте вірш. Яка природа! Кращого нема, Як річка й поле, лісом оповиті. І кращого нема нічого в світі, Коли людина творить це сама. — Як ви розумієте ці слова? Пригадайте, яку тему ми закінчили вивчати на уроці природознавства?; Отже, давайте сьогодні завітаємо з вами до друзів наших менших, побачимо, як їм живеться взимку, чим можна їм допомогти. А зможе це лише той, хто добре рахує, мислить. Хто вміє розв'язувати задачі, вміє порівнювати, співставляти. 2. Завдання уроку (записані на дошці) Закріплювати вивчені випадки множення і ділення. Вдосконалювати навички розв'язування задач. Збагачувати знання про природу. ІІ. Робота над темою уроку. «Мандрівка» лісовою стежиною. Ви всі берете участь у грі-мандрівці «Джерельце». У кожного із вас є мандрівний лист. Зараз ми помандруємо до зимового лісу. Стежина у нас незвичайна, математична. Тож дивіться, не спіткніться об пеньок чи корінець, «занесений» снігом. А вони будуть під кожним прикладом. Обчислюємо ланцюжком. (Зображено зимовий ліс із написаними прикладами). 1. Усна лічба. 2 • 9, 9 • 4, 6 • 3, 30 : 6, 7 • 7, 27 : 3, 42 : 7, 64 : 8, 48 : 6, 63 : 7, 5 • 5, 40 : 5, 49 : 7, 5 • 9, 4 • 4, 27 : 3, 80 : 10. Ви всі уважно слухайте відповідь. Якщо почули неправильну відповідь, сигналізуйте сигнальною карткою (Морквина). (Продовжується ланцюжок). 2. Математичний диктант. Дізнатися про життя тварин ми зможемо на уроках природознавства. Але для цього слід уважно слухати і мислити. Проведемо математичний диктант. (5 учнів прощають самостійно). 1) Скільки очей у морського їжака, якщо в нього на 3 ока більше, ніж у звичайного? 2 + 3 = 5 (1 очко) 2) Довжина дзьоба лелеки 19 см, а чаплі 6 см менше. (Поставте запитання і розв’яжіть задачу). 19 – 6 = 13 см Яка довжина дзьоба чаплі? (2 очки) 3) Змія анаконда має довжину 9 м. Якої довжини буде «стрічка» із 7 таких змій, якщо їх довжина однакова? 9 - 7 = 63 м (2 очки) Чи водяться анаконди у нашій місцевості? 48 карасів наловили ми усі. А нас всього було 6. Скільки рибок кожен з'їсть? 48 : 6 = 8 (2 очки) 5) 8 яблук у корзині приніс їжак своїй дитині. І сказав він: «На, мій сину, четвертину з'їж із них частину». Хто тепер з вас відповість. Скільки яблук їжак з'їсть? 8 : 4 = 2 (1 очко) 6) Білка моркву посадила, штук із 20 там вродило. 5 зайців по 3 зірвали. Скільки білочці зосталось? 20 - 5 • 3 = 5 Хто хоче записати складений вираз на дошці? (3 очки) (Кожна відповідь оцінюється відповідною кількістю очок). ІІІ. Обчисли вирази письмово. — Яких звірів можна зустріти зимою в лісі? А чи хочете ви дізнатися, який їх вік? Для цього обчисліть вирази. Поділимось на три групи. А Б В Лось Лисиця Косуля 48 : 8 • 3 = 18 5 • (32 : 8) = 20 36 :9 • 4 = 16 Вовк Кабан Заєць (70 – 65) • 4 = 20 45 : 9 • 7 = 35 (56 + 8): 8 = 8 1) Перевірка виконаної роботи (самоперевірка). Погляньте на дошку і перевірте, чи правильно розв'язали вирази. 2) Взаємоперевірка. — А зараз ми переконаємось, чи уважні ви були під час самоперевірки. Обміняйтеся зошитами, дуже уважно звірте з написаним на дошці, олівцем на полях виставте очки, враховуючи правильність, охайність, каліграфічність. Хто з вас знайшов помилку у товариша? Кому довелося знизити оцінку? За що? (Найвища кількість очок — 2). IV. Робота над задачами. – Все пізнається у порівнянні. Ось ми зараз дещо з вами і порівняємо. 1) Вага пташеняти голуба —11г. Ворони — 16 г. Галки — 8 г. Складіть і розв'яжіть задачі за такими виразами: 1 варіант. 11 + 8 (19) Разом голуб і галка (2 очки) 2 варіант. 11 – 8 (3) На скільки важчий голуб від галки? (2 очки) 3 варіант. 16 : 8 (2) У скільки разів ворона важча за галку? (2 очки) 2) Заєць за 1 секунду пробігає 12 м, а лоша біжить у 2 рази повільніше. За скільки секунд пробіжить лоша 24 м? (До задачі додається малюнок-схема). (Один учень працює біля дошки, решта – в зошитах). 1) 12 : 2 = 6м 2) 24 : 6 = 4сек. (3 очки) V. Фізкультхвилинка. (Вчитель показує таблиці, діти усно підрощують стільки ж раз вправу). 8 Скільки раз ногою тупни — 32 : 4 5 Стільки раз в долоні плесни — 35 : 7 6 Ми присядем скільки раз — 36 : 6 3 І нахилимось в той час — 24 : 8 4 Підстрибаєм рівно, стільки — 28 : 7 Ну й рахунок гра та й тільки! (зробити перевірку). X • 7 = 28 40 • Х = 8 Х = 28 : 7 Х = 40 : 8 Х = 4 Х = 5 Х = 4 • 7 = 28 40 : 5 = 8 28 – Х = 13 Х • 7 = 28 Х • 7 = 28 Х = 28 : 7 40 : Х = 8 Х = 4 Х • 7 = 28 Знайдіть і розв'яжіть рівняння, в якому невідомий множник. (1 очко) Можна розв'язати, хто яке хоче і може; VI. Тести. Взаємоперевірка. Звірте і виправте помилки. Виставте оцінку. (5 очок) Робота з геометричним матеріалом. Скільки на малюнку багатокутників? Назвати кожну фігуру, яка не є багатокутником. (Відрізок, точка, коло) Побудуйте квадрат зі стороною 3 см. Знайдіть периметр. Р = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 см (2 очки) VIII. Підсумок уроку. – Що робили на уроці? – Що нового дізнались? – Що сподобалося на уроці? Чого вчить нас цей урок? За 25 очок – 12, 11, 10 балів. 20 очок — 9, 8, 7 балів. 15 очок — 6, 5, 4 балів. 10 очок - 3, 2, 1 бали. IX. Домашнє завдання. Виготовити годівницю для пташок. Повторити табличне множення і ділення. Додаток №3 ЗАВДАННЯ: Розв'яжи приклади, розфарбуй відповідно до умовних позначок кольорів. Придумай назву оригінальному орнаменту, який ти отримав. Додаток №4 Урок з математики у 2-му класі. Тема уроку: Усне додавання двоцифрових чисел з переходом через десяток. Розв’язування і аналіз взаємозв’язаних простих і складених задач. Мета уроку: Ознайомити учнів з новим обчислювальним прийомом додавання двоцифрових чисел, підвищувати рівень обчислювальних навичок. Розвивати кмітливість, вміння спостерігати, порівнювати, аналізувати. Виховувати інтерес до математики, працьовитість, прагнення до знань. Обладнання: Таблиця для усного рахунку “Математичні східці”, конверт із картками для індивідуальної роботи. Тип уроку: Комбінований. Хід уроку. І. Організація класу. Вчитель пропонує учням перевірити готовність до уроку: наявність на партах підручника, зошита, ручки, лінійки, олівця; чи записана в зошиті дата, класна робота. ІІ. Математична розминка. Хвилинка краснопису. Напишіть 10 чисел, кожне з яких, починаючи з третього дорівнює сумі двох попередніх. Перші два числа ряду 1 і 2 (1 2 3 4 5 6 12 20 32 52 84). Усний рахунок (за таблицею “Математичні східці”). ? -75 +25 +63 -45 28 +31 Учні розв’язують перший приклад 28 + 31. Результат вчитель записує на сходинці вище. Далі розв’язуються одержані приклади. З метою активізації вчитель питає кількох учнів. (Запитує: у кого інакше?, чи у всіх так? Після цього вчитель називає правильну відповідь і записує на наступній сходинці). ІІІ. Контроль і корекція знань. Кілька учнів одержують індивідуальні завдання на картках. Варіант 1 а) Виконати дії письмово: 37 + 48 63 – 39 б) Знайти: 65 – а, і 65 + а, якщо а = 30 в) Порівняй: 15 – 8 і 18 – 10 Для слабких учнів у 2 і 3 завданнях пропонуються підказки: Замість змінної а підстав її значення і обчисли одержані приклади Обчисли приклади і порівняй одержані числа Решта учнів пишуть математичний диктант (один учень виконує диктант на дошці за шторкою). Завдання для диктанту: Запишіть як суму розрядних доданків числа: 46, 75, 31, 19. Обчисли значення виразів і запиши тільки відповідь: Різницю чисел 21 і 10 збільшити на 15; Суму чисел 30 і 23 зменшити на 3; Від 50 відняти різницю чисел 25 і 5; До 6 додати суму чисел 16 і 4. Перевірка і оцінювання знань. Перевірка математичного диктанту. Учні звіряють свої записи із записом на дошці. З’ясовуємо: у кого інакше? Спочатку виправляємо помилки на дошці, а потім учні виправляють у своїх зошитах. Учневі який виконував завдання на дошці, а також учням, які не допустили жодної помилки, пропонуються додаткові запитання і виставляються оцінки. Перелік додаткових запитань: Як слід виконувати усно додавання двоцифрових чисел? Як слід віднімати двоцифрові числа? Як називаються числа при додаванні? Як називаються числа при відніманні? Скільки сантиметрів у метрі? У дециметрі? Що таке прямокутник? ІV. Актуалізація опорних знань. № 684. 30 + 40 60 + 20 30 + 30 10 + 60 70 + 13 80 + 19 60 + 15 70 + 11 № 685 60 + 17 13 1 7+ 4 8 9 (Учні розв’язують усно(у формі усного рахунку)). № 686. Розв’яжи приклади, користуючись переставною властивістю дії додавання. 20 + 4 + 60 + 5 30 + 8 + 40 + 9. (Учні розв’язують колективно на дошці). Взірець запису: 20 + 4 + 60 + 5 = (20 + 60) + (4 + 5) = 80 + 9 = 89. V. Мотивація навчальної діяльності і повідомлень теми: Вчитель пропонує задачу. На шкільній кролефермі було 28 білих і 59 чорних кролів. Скільки всього кролів було на кролефермі? Якою дією розв’язується ця задача? (дією додавання); Отже, щоб розв’язати цю задачу, треба виконати додавання двоцифрових чисел з переходом через десяток. Ми вже вміємо додавати такі числа, але письмово. А на сьогоднішньому уроці навчимося додавати їх усно. Крім того, на цьому уроці ми будемо вчитися розв’язувати і порівнювати прості та складені задачі, схожі за змістом. V. Пояснення нового матеріалу: (У формі фронтальної бесіди) – Ви знаєте, що при додаванні двоцифрових чисел, десятки додають до десятків, а одиниці до одиниць. Цим прийомом користуються і при додаванні двоцифрових чисел з переходом через десяток. Скільки десятків і одиниць у числі 28? (2 десятки і 8 одиниць). Отже, 28 це – 20 + 8. Записуємо на дошці: 28 20+8 Скільки десятків і одиниць у числі 59? (5 десятків і 9 одиниць). Отже, 59 = 50 + 9. Записуємо на дошці: 59 50+9 То що до чого треба додати? (20 + 50 = 70, 8 + 9 = 17 і 70 + 17 = 87). Додаток №5 Анкета для учнів 4-х класів: Чи подобаються вам уроки з математики? Як часто ви займаєтесь математикою самостійно вдома? Які з поданих нижче чисел діляться на 2 без остачі? 5216, 18035, 8274 (Пр. в-дь: 5216, 8274). Яка із відповідей є правильною? 404 4848 : 12 = 44 101 707 : 7 = 11 101 374374 : 374 = 11 1001 Чому у відповідях були допущені помилки? Розв’яжіть рівняння: х • 7 + 8407 = 8470 х • 7 = 8470 – 8407 х • 7 = 63 : 7 х = 9 9 • 7 + 8407 = 8470. Розподіли приклади в порядку зменшення результату: а) 90 : 2 б) 48 : 24 в) 85 : 5 г) 68 : 17. Знайди правильну відповідь: 28 • 3 = а) 68; б) 44; в) 84. Замість * встав знаки арифметичних дій так, щоб рівності були правильними: 80 * 50 * 3000 = 1000 70 * 60 * 200 = 4000 30 * 60 * 1000 = 800. В якому рядку приклади записані в порядку зменшення результату? а) 4 • 10; 4 • 100; 4 • 1000; 4 • 10000; б) 7 • 10000; 7 • 1000 7 • 100 7 • 10. В якому рядку приклади записані в порядку збільшення результату: а) 30000 : 1000; 3000 : 1000; 300 : 100; б) 60 : 10; 600 : 10; 6000 : 10; 60000 : 10. Визнач кількість цифр у частці: 45780 60 299600 70 456300 900 Встав пропущені цифри 795 346 _58 642 5? 9?4 3 ??8 854 280 54 874 Знайди помилку 1) 283 2)_900 50007 3 254 9 649 656 0 459963 1 Полічи та встав літери в таблицю. Прочитай що вийшло. 1) 124 2) 236 3) 151 4 2 3 496  • • •   • • •  1) 247 2) 308 3) 107 2 2 4  • • •   • • •   • • •  472 494 428 494 496 494 616 453 С Слово “вересень” Мета дослідження: вивчити рівень сформованості обчислювальних навиків і вмінь учнів 4-х класів з математики в контексті готовності до навчання в основній школі. PAGE PAGE 48 * Якщо від суми відняти один із доданків, то обов’язково залишиться другий доданок. 3 + 2 = 5 5 – 2 = 3 5 – 3 = 2 Ь В С Р Н Е

Похожие записи