Реферат

Застосування степеневих рядів

1. Обчислення значень функції.

Якщо функцію f(х) можна розвинути у ряд Тейлора і точка x0 належить його
області збіжності, то для обчислення наближеного значення функції у
точці х0 залишають перших п членів, а останні відкидають, тобто, якщо

і x0 належить області збіжності цього ряду, то приймають

Оцінка похибки такого наближення, тобто оцінка

. І, нарешті, у загальному випадку оцінюють залишковий член формули
Тейлора.

треба знайти з наперед заданою точністю, то, оцінюючи залишок
ряду, визначають число членів частинної суми (по можливості
якомога менше), яке гарантує таку точність.

Приклад 1.

з точністю до 105.

Розв’язування.

Приклад 2.

Обчислити sin 18° з точністю до 10-5

Розв’язування.

Використаємо розклад у ряд функції у = sin x. Маємо:

2. Обчислення границь та наближене обчислення інтегралів.

Приклад 3.

Розв’язування.

Скориставшись розвиненнями функцій sinx та еx у степеневі
ряди, одержимо:

Приклад 4.

з точністю до Ю»3.

Розв’язування.

є неперервною на відрізку [0;2], отже, інтегрована на ньому. Проте її
первісну не можна подати у скінченному вигляді через елементарні
функції. Разом з тим, використавши розклад у ряд функції sinx, одержимо:

Число членів ряду, що гарантує задану точність, ми визначили з
нерівності

Розвинувши функції в ряд Маклорена, знайти границі таких виразів:

:

11.

14.

12.

16.

20.

23.

27.

29.

32.

10.

13.

12.

16.

19.

22.

25.

28.

31.

12.

15.

12.

17.

21.

24.

27.

30.

33.

35.

38.

41.

44.

47.

50.

53.

56.

32.

34.

37.

40.

43.

46.

49.

52.

55.

58.

36.

39.

42.

45.

48.

51.

54.

57.

33.

58.

60.

62.

64.

66.

59.

61.

63.

65.

67.

Похожие записи