Пошукова робота на тему:

Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач.

План

Застосування подвійних інтегралів до розв’язування деяких геометричних
задач

Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Застосування подвійних інтегралів до розв’язування деяких
геометричних задач

 Обчислення об’ємів. Користуючись формулою для обчислення об’єму
циліндричного тіла (11.3), можемо обчислювати об’єми зрізаних
циліндричних тіл.

            Приклад. Обчислити об’єм тіла, обмеженого циліндрами

 частина тіла. За формулою (12.3) знаходимо

                               

                                 Рис.11.11

 за будь-якого способу розбиття області. Переходячи до границі в правій
частині рівності, знаходимо

.                                               (11.25)

, подвійний інтеграл виражає площу області, на яку поширюється
інтеграл.      

 зображена на рис. 11.12. Тоді за формулою (11.25) знаходимо:

                                         Рис.11.12

.

Рис.11.13                                   Рис.11.14

проведемо дотичну площину до поверхні. Рівняння цієї площини запишеться
як                         

.              (11.26)

:

.

цієї суми, коли найбільший із діаметрів площадок прямує до нуля,
називатимемо площею поверхні, тобто

.                        (11.27)

. На підставі відомої формули аналітичної геометрії запишемо (рис.
11.14)

 і перпендикуляром до площини (11.26). Тому на основі рівняння (11.26)
і формули аналітичної геометрії маємо:

.

Тоді

.

            Підставляючи цей вираз у формулу (11.27), дістанемо
(зауваживши при цьому, що при

):

.

            Границя, яка стоїть у правій частині за означенням є
подвійним інтегралом, тобто

.                       (11.28)

.

 або

, то відповідні формули для обчислення площі поверхні матимуть вигляд

,

,

, в які проектується ця поверхня.

            Приклад. Обчислити площу частини поверхні

                                           Рис.11.15

 круг з  радіусом, що дорівнює 1. Тоді за формулою (11.28) маємо,
перейшовши в  подвійному інтегралі до полярних координат:

         

Похожие записи