Реферат на тему:

Закон великих чисел. Теорема Бернулі, Чебишева, Бореля, Гливенко,
Ліндберга

Зміст

Закон великих чисел.

Теорема Бернуллі.

Нерівність Чебишева.

Кидання симетричної монети.

Закон великих чисел у формулі Чебишева. Теорема Чебишева.

Реалізація практично достовірної події.

Стиск розподілу з ростом числа доданків.

Посилений закон великик чисел. Теорема Бореля .теорема Колмогорова.

Теорема Гливенко – основна теорема статистики.

Центральна гранична теорема. Теорема Ліндеберга.

Необхідні й достатні умови для закону великих чисел.

Закон великих чисел

Як відомо, наперед неможливо передбачити яке із можливих значень набуде
випадкова величина в результаті випробування.

Оскільки в цьому плані про кожну випадкову величину ми маємо мало
інформації, то чи можна встановити закономірності поведінки достатньо
великого числа випадкових величин.

Виявляється, що при деяких досить широких умовах сумарна поведінка
достатньо великого числа випадкових величин майже втрачає випадковий
характер і стає закономірною.

Для практики якраз важливо знання умов, при виконанні яких сукупна дія
великого числа випадкових причин приводить до результату, який майже не
залежить від випадку, оскільки дозволяє передбачити хід явища.

Ці умови і вказуються в теоремах, які мають загальну назву закону
великих чисел. Сюди відносять теореми Чебишева, Бернуллі, Ляпунова та
інші

Теорема Бернуллі

Якщо проводиться n незалежних випробувань випадкової події A,
ймовірність якої P(A) = p, то відносна частота (/n появи події A ( ( (
число появ A) при великому n приблизно дорівнює імовірності p:

.

, якщо для кожного (>0 і для досить великих n співвідношення

(5.1)

виконується з імовірністю, що прямує до 1 з ростом n; запишемо це так:

.

У цьому полягає теорема Бернуллі. Помітимо, що теорема не стверджує, що
співвідношення (5.1) є вірогідним, однак, якщо n досить велике, то
ймовірність того, що воно є справедливим близька до 1 (наприклад, 0.98
чи 0.999), що практично вірогідно. Якщо проводиться експеримент, який
складається з цього досить великого числа n випробувань, то можна бути
впевненим, що співвідношення (5.1) буде виконано. Продемонструємо це не
абсолютно достовірне твердження на прикладах. Слід зауважити, що при
оцінюванні виглядності збіжності застосовується нерівність Чебишева.

Нерівність Чебишева

Ймовірність того, що відхилення випадкової величини X від її
математичного сподівання за абсолютною величиною менше додатного числа
?, не менша, ніж 1-D(X)/ ?2, тобто

P(|X-M(X)|< ?)?1-D(X)/ ?2 Кидання симетричної монети. Імовірність появи герба p=0.5. Можна показати (за допомогою центральної граничної теореми), що, наприклад, якщо n ( (1.5/()2, то співвідношення (5.1) виконується з імовірністю 0.997, а якщо n ( (1.3/()2, те ( з імовірністю 0.99; остання в даному випадку нас цілком влаштовує як практична вірогідність. Покладемо ( = 0.1; тоді співвідношення | ( / n - 0.5 | < 0.1 (a) 170. Якщо (=0.03, то співвідношення | ( / n - 0.5 | < 0.03 (б) 1850. Ми впевнені, що, після 170 кидань монети, одержимо (а), а після 1850 кидань, одержимо (б). Кидання монети моделюємо генерацією випадкової величини (, що набуває значення 1 ("герб") і 0 ("цифра") з ймовірностями 1/2. Число появ "герба" у n випробуваннях , де (k- результат k-го випробування. Закон великих чисел у формі Чебишева при великому n (при деяких широких умовах) виявляється приблизно рівним a: Уточнимо: будемо писати , якщо для кожного ( >0 і досить великих n співвідношення

(5.2)

виконується з імовірністю, що прямує до 1 з ростом n; запишемо це так:

при n( (.

Це одне з тверджень закону великих чисел. Помітимо, що, як і теорема
Бернуллі, воно не означає, що співвідношення (5.2) вірогідно; однак,
якщо n досить велике, то імовірність його виконання близька до 1,
наприклад, 0.99 чи 0.999, що означає практично вірогідно. Наведемо повне
формулювання однієї з теорем закону великих чисел у формі Чебишева,

— послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають
скінченні дисперсії, обмежені однією і тієї ж константою:

,

то для будь-якого (>0

.

Реалізація практично достовірної події

Переконаємося у виконанні (5.2) статистично на прикладі 1.

Приклад 5.2. Нехай випадкові величини розподілені рівномірно на відрізку
[0,1]. Якщо значення ( задавати довільно, а число випробувань вибирати з
умови n ( (9D(/(2), то (як неважко показати) співвідношення
(5.2) виконується з імовірністю P=0.997, а якщо n ( (5.4D(/(2) —
то з P=0.98. Остання нас влаштовує, як практична вірогідність.

Покладемо (1 =0.1 і (2 =0.02, визначимо два відповідних значення n1 =45
і n2 =1125, і перевіримо (5.2) експериментально (у нашому випадку
a=0.5). Виконання аналогічне п.1.

Завдання. Перевірити (5.2) експериментально для експоненційно
розподілених доданків з M(=1. Прийняти (1 =0.2 і (2 =0.05.

Приклад 5.3. Невиконання закону великих чисел

Розглянемо випадкову величину, розподілену за законом Коші з щільністю

(5.3)

збігалося б з ростом n до якіоїсь константи, то, в силу симетрії
розподілу, такою константою міг бути тільки 0. Однак, 0 не є точкою
збіжності. Дійсно, можна показати, що при кожному ( >0 і при будь-якому
як завгодно великому n

(5.4)

.

?

i

????X Z \ ^ ` ? v

iiiiissssssssss**EEEEAEE·E

uoiooooooooooaeooaeiooooooUo

+ожна впевнено очікувати, зробивши 7 експериментів (тому що імовірність
невиконання жодного разу дорівнює (0.5)7 = 1/128). І це при будь-якому
фіксованому n, наприклад, n = 1000. Перевіримо це експериментально.

При виконанні в пакетах, де немає закону Коші, врахуємо, що, якщо
випадкова величина X розподілена рівномірно на відрізку довжини (, то
випадкова величина

Y = tg X (5.5)

має щільність (5.3). Згенеруємо 7 вибірок обсягом n=1000 і перевіримо
(5.4) при ( =1.

Стиск розподілу з ростом числа доданків

Закон великих чисел у формі Чебишева означає, що розподіл випадкової
величини

стискується з ростом n. Якщо математичні сподівання однакові, тобто
M(i=a, то стиск відбувається в околиці точки a.

розподілена за N(a, (2/n). Побудуємо графіки щільностей для n =1, 4,
25, 100 і ( =1, a =1 (зробимо це з метою освоєння пакета).

min .

Посилений закон великих чисел

появи випадкової події з ростом числа n незалежних іспитів прямує до
імовірності p

(5.6)

з імовірністю 1. Іншими словами, при будь-якому експерименті з
нескінченним числом іспитів має місце збіжність послідовності fn до p.

посилений закон великих чисел є справедливим, якщо

при n( ( (5.7)

з ймовірністю 1.

В частинному випадку, при рівних математичних сподіваннях, M(i=a, це
означає

при n( ( (5.8)

з імовірністю 1.

Достатня умова виконання (5.7) дає наступна теорема.

задовольняє умові

,

то для неї справедливий посилений закон великих чисел.

Для незалежних і однаково розподілених випадкових величин справедливий
остаточний результат:

Теорема. Необхідною і достатньою умовою для застосовності посиленого
закону великих чисел до послідовності незалежних величин є існування
математичного сподівання.

Теорема Гливенко ( основна теорема статистики

Нехай x1, x2,…,xn — вибірка з n незалежних спостережень над
випадковою величиною X з функцією розподілу F(x). Розташуємо
спостереження в порядку зростання; одержимо

— варіаційний ряд. Визначимо функцію емпіричного розподілу

,

— функція випадкова , оскільки вона залежить від спостережень
x1,…,xn.

Теорема Гливенко:

з імовірністю 1. (5.9)

Центральна гранична теорема

Зміст теореми

Закон великих чисел затверджує , що при n ( (

,

де а = M(i. Центральна гранична теорема затверджує дещо більше, а, саме,
що при цьому прямуванні відбувається нормалізація:

, (5.10)

, тобто середнє арифметичне при великих n розподілено приблизно за
нормальним законом з дисперсією (2/n; цей факт записують інакше,
нормуючи суму:

.

Наведемо формулювання однієї з теорем.

Теорема Ліндеберга. Якщо послідовність взаємно незалежних випадкових
величин (1, (2,…, (n,… при будь-якому постійному (>0 задовольняє
умові Ліндеберга

,

, те при n ( ( рівномірно відносно x

(5.11)

Наслідок. Якщо незалежні випадкові величини (1, (2,…, (n,… однаково
розподілені і мають скінчену відмінну від нуля дисперсію, то виконується
(11).Умова Ліндеберга в цьому випадку, тобто M(k=a, D(k=(2, Fk(x)=F(x),
приймає вигляд: при кожнім ( > 0 і при n ( (

;

Це співвідношення виконується, оскільки інтеграл по всій осі, тобто
дисперсія, існує.

Переконаємося статистично в тім, що сума декількох випадкових величин
розподілена приблизно за нормальним законом.

Необхідні й достатні умови для закону великих чисел

Очевидно, що закон великих чисел є однією з основних закономірностей
теорії ймовірності. Тому зрозуміло, що багато зусиль було покладено на
те, щоб встановити найбільш загальні умови, яким повинні задовольняти
випадкові величини Х1, Х2,…Хn, щоб для них мав місце закон великих
чисел. Історія цього питання наступна. В кінці 17-18 століття Яків
Бернуллі довів теорему, яка носить його ім’я. Ця теорема Бернуллі була
вперше опублікована у 1713 р., після смерті автора. Потім на початку 19
століття Пуассон довів аналогічну теорему для більш глибоких умов. У
1866 р. Чебишев П.Л. запропонував метод, який ми уже розглянули. Марков
А.А. показав, що судження Чебишева дозволяють отримати більш загальний
результат.

Детальніші дослідження не приносили принципово нових результатів і лише
у 1928 р. Колмогоров А.Н. отримав умови, необхідні і достатні для того,
щоб послідовність взаємно незалежних випадкових величин Х1, Х2…Хn
підпорядковувались закону великих чисел.

У 1928 р. Хінчін А.Я. показав, що якщо випадкові величини Хn не тільки
незалежні, але й однаково розподілені, то існування математичного
сподівання М(Хn) є достатньою умовою закону великих чисел.

В останні роки багато робіт було присвячено знаходженню умов, які треба
накласти на незалежні випадкові величини, щоб для них виконувався закон
великих чисел. Зокрема, теорема Маркова належить до таких тверджень.
Використовуючи метод Чебишева, Б.В. Гніденко довів необхідні і достатні
умови застосування закону великих чисел до послідовності довільних
випадкових величин.

Література

Рабик В.М. Основи теорії ймовірностей: Навчальний посібник. – Львів:
Магнолія плюс, 2004. – 176 с.

Лавренчук В.П., Веренич І.І., Готинчан Т.І. та інші. Теорія ймовірностей
та елементи математичної статистики: Навчальний посібник. – Чернівці:
Рута, 1998. – 176 с.

Похожие записи