Реферат з математики

Загальне рівняння площини та його дослідження

Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є площина. Для
цього доведемо такі теореми.

Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі координат
визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних
координат.

, перпендикулярного до цієї площини, і точки M0 (x0, y0,
z0), Через яку проходить дана площина

Тоді ;

то скалярний добуток можна записати у вигляді

А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0,

або

Ах + By + Cz — (Aх0 + Ву0 + Cz0) = 0. (1)

Позначивши

— (AX0 + Ву0 + Cz0) = D

дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня:

Ах + By + Cz + D = О, (2)

Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних координатах може бути
зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить

= (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему.

Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня

Ax + By + Cz + D = 0, (3)

де А, В, С і D — довільні дійсні числа; х, у, z — поточні координата,
визначає в декартовій прямокутній системі координат площину. Доведення.
Доберемо трійку чисел (х0, y0> z0), які задовольняють рівняння (3). Це
можна зробити таким чином. Два числа х0 і у0 візьмемо довільно, а третє
z0 знайдемо з рівняння (3). Тоді ,

Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0. (4)

Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо

А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0. (5)

= (А, В, С) і такої, що проходить через точку M0 (х0, у0, z0). Таким
чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна
поверхня першого порядку є площиною. Тому рівняння (l) або (3)
називається загальним рівнянням площини.

Рівняння ;

= 0 (6)

векторне рівняння площини запишемо у вигляді:

Якщо у загальному рівнянні площини покласти z – z0 = 0, то дістанемо
рівняння,

А(х – х0) + В(у – у0) = 0,

або

Ах + By + С = 0, (7)

де С = — (Ax0 + Ву0). Рівняння ( 7) називається загальним рівнянням
прямої, що лежить у площині хОу.

Дослідження загального рівняння площини

Розглянемо загальне рівняння площини .

Ах + Вy + Cz + D = 0. (8)

де А, В, С і D — довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох
відмінне від нуля.

Дослідимо окремі випадки цього рівняння.

Якщо D = О, то рівняння (8) набирає вигляду;

Ах + By + Cz = 0. (9)

Це рівняння задовольняє точка О (0, 0, 0). Отже, рівняння (9) визначає
площину, яка проходить через початок координат.

Якщо А = 0, то рівняння (8) має вигляд:

By + Cz + D = О (10)

= (О, В, С) перпендикулярний до осі Ох. Отже, рівняння (10) визначає
площину, паралельну осі абсцис, або перпендикулярну до площини yOz.

0, то маємо рівняння площини, паралельної хОу:

Рівняння х = 0, у = 0, z = 0 визначають відповідно координатні площини
yOz, xOz, хОу.

2. Різні види рівнянь площини

Розглянемо загальне рівняння площини

Ах + Ву+ Cz + D = 0, (11)

0 і запишемо його у вигляді

(12)

Тоді:

(13)

Рівняння площини у вигляді (13) називається рівнянням у відрізках.

Знайдемо точки перетину площини (13) з координатними осями:

на осі абсцис у = z = 0, тоді х = а,

на осі ординат х = z =0, тоді у = b,

на осі аплікат х = у = 0, тоді z = с.

Таким чином, площина, задана рівнянням у відрізках выдтинає на
координатних осях відповідно відрізки a, b і с.

Якщо потрібно побудувати площину, задану рівнянням, то зручно це
рівняння записати у відрізках на осях. Тоді по точках M1 (a, 0, 0), М2
(0, b, 0) і М3 (0, 0, c) легко побудувати площину.

Рівняння площини, що проходить через три дані точки

Нехай дано три точки М1 (х1 у1, z1), М2 (х2, у2, z2), M3(x3,y3,z3), що
не лежать на одній прямій. Ці точки однозначно визначають площину, яка
проходить через них. Знайдемо рівняння цієї площини.

Візьмемо довільну точку простору M (х, у, z) (мал.3) і побудуємо
вектори:

лежать у цій площині, тобто коли вони компланарні.

Мал.2 Мал.3

Отже, мішаний добуток їх дорівнює нулю:

(14)

Запишемо цей добуток через координати векторів, які перемножаються.
Маємо:

можна зобразити у вигляді ;

(16)

Рівняння (15) називається рівнянням площини, що проходить через три дані
точки, у координатній формі, а рівняння (16) — у векторній формі.

Рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним
векторам

Нехай задано точку M0 (х0, у0, z0) і два неколінеарних (не паралельних)
вектори а і е. Ці умови геометрична однозначно визначають площину, що
проходить через задану точку паралельно заданим векторам. Знайдемо
рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через точку M0, грунтуючись на (1),
запишемо у вигляді;

А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) =0,

= (А, В, С) — вектор, перпендикулярний до даної площини, або
нормальний вектор площини (рис. 4).

лежать в одній площині, тобто;

(18)

Вираз (18) є векторною формою рівняння площини, що проходить через
дану точку паралельно двом даним векторам.

Рівняння заданої площини у координатній формі має вигляд :

(19)

Рівняння площини, що проходить через дві дані точки паралельно даному
вектору

За другий вектор, через який проходить задана площина, візьмемо

Тоді рівняння даної площини, згідно

з рівнянням (2.18), можна записати у вигляді:

(20)

, дістаємо.;

i^. Кут між двома площинами Нехай дві площини задані своїми рівняннями

(21)

Знайдемо кут між цими площинами.

Мал.4 Мал.5

.

знайдемо за формулою (2.50) з гл.1:

(23)

, дістанемо умову перпендикулярності площин:

(24)

також паралельні (колінеарні). Із умови паралельності векторів

маємо

або

Звідси дістаємо умову паралельності площин:

(25)

Таким чином, у паралельних, площин коефіцієнти при відповідних
координатах пропорційні.

мал.6

Розв’язавши цю систему відносно М, дістанемо :

Число M називається нормувальним множником рівняння;

якщо D < 0, то M > 0, і тоді

Якщо D > 0, то M < 0, і тоді Таким чином, знак нормувального множника протилежний знаку вільного члена рівняння площини. Отже, щоб перетворити загальне рівняння площини на нормальне, треба обидві частини загального рівняння помножити на його нормувальний множник. 4. Відстань від точки до площини якщо точка M0 і початок координат лежать по один бік від площини (мал 6). Із точки M0 на дану площину опустимо перпендикуляр М0 М1, Де Розглянемо вектори ; За правилом додавання векторів: можна записати у вигляді . . Тоді дістанемо: : ,а то , або (26) Відхил точки від площини, яку задано нормальним рівнянням , дорівнює значенню лівої частини цього рівняння у цій точці. Відстань точки від площини дорівнює модулю відхилу цієї точки від даної площини: (27) Якщо площину задано загальним рівнянням Ах+Ву+Сz+D=0 то щоб знайти відхіл точки M0 (x0,y0, z0) від даної площини, треба спочатку звести рівняння до нормального вигляду, а потім знайти значення його лівої частини у точці M0. (28) Тоді відстань від точки M0 до площини ;

Похожие записи