Реферат на тему:

Задачі, у яких потрібно знаходити найбільші і найменші значення деяких
виразів

В особливу групу можна виділити задачі, для розв’язку яких необхідно
знайти екстремум тієї чи іншої функції, тобто визначити, при яких
значеннях невідомої ця функція досягає найбільшого чи найменшого
значення. Відмінна риса кожної такої задачі полягає в тому, що одна чи
кілька умов у її формулюванні, що дозволяють одержати або додаткове
рівняння, або виділити єдиний розв’язок з багатьох можливих, складають
задачу на відшукання найбільшого чи найменшого значення деякої функції.

Розглянемо кілька прикладів.

, щоб автомобіль за найменший час проїхав шлях від А до повної зупинки
і назад до пункту А зазначеним вище способом?

.

1. Відстань 24,5 км автомобіль проїжджає за час

2. Слідом за цим він рухався до повної зупинки з прискоренням —
54 км/год2 протягом часу

пройшовши при цьому відстань s, що визначається за відомою формулою для
рівноприскореного руху:

3. Час, витрачений на зворотній шлях, дорівнює

Тому повний час руху автомобіля

— його швидкості на першій ділянці:

Необхідною умовою екстремуму диференційованої функції є рівність нулю її
похідної

Таким чином, при швидкості 42 км/год. автомобіль, рухаючись зазначеним
вище способом, витратить на весь шлях мінімально можливий час.

, а інший обернено пропорційний цій швидкості. Таким чином, вона
належить до класу функцій виду (рис. 14)

Рис. 14

мають однакові знаки, то така функція має точки екстремуму. Покажемо,
як знайти ці точки, не прибігаючи до диференціювання. Скористаємося
відомою нерівністю «середнє арифметичне ненегативних чисел більше чи
дорівнює їх середньому геометричному»:

(1)

Для функції

застосовуючи нерівність (1), одержуємо

При цьому рівність досягається у випадку, якщо

маємо відому нерівність

тобто сума взаємно зворотних чисел по модулю завжди більше або дорівнює
2.

одержуємо нерівність

год. Шукана швидкість визначається з рівності

Легко побачити, що вона дорівнює 42 км/ч.

Розглянемо ще одну задачу.

деталей більше, ніж перша. Спочатку перша і друга бригади, працюючи
разом, виконують 1/5 усієї роботи, а потім усі три бригади, працюючи
разом, виконують 4/5 роботи, що залишилися. На скільки деталей у день
менше повинна робити друга бригада, чим перша, щоб уся робота була
виконана зазначеним способом якомога швидше?

складається з двох частин:

— часу роботи окремо першої і другої бригад,

— часу спільної роботи бригад, так що

.

нулю:

дійсно досягає мінімуму.

Добре відомо, що квадратична функція

Рис. 15

Ясно тепер, що t буде найменшим, якщо знаменник

Отже, робота буде виконана за найменший час, якщо друга бригада буде
робити на 125 деталей у день менше, ніж перша.

деталей.

Задача. Студентка біологічного факультету проводила експерименти по
вирощуванню бактерій у живильному середовищі. При цьому вона помітила,
що швидкість збільшення числа бактерій у будь-який момент часу
пропорційна числу бактерій, що наявне в цей момент часу, причому
коефіцієнт пропорційності дорівнює 0,5 (час виміряється в годинах). За
завданням необхідно виростити колонію бактерій чисельністю більш 20 000
одиниць. Який найменший час вирощування колонії бактерій зазначеної
чисельності, якщо відомо, що спочатку в живильне середовище було
поміщено 200 бактерій?

числа бактерій за часом. Умова задачі приводить до рівняння

(2)

U e $

&

`

b

?

?

?

?

?

e

i

AE

??????????Т?Т?????????????H?H????

????????Т?Т??

$

j

$

$

вняння входить невідома функція, причому не тільки вона сама, але і її
похідна. Таке рівняння являє собою приклад диференціальних рівнянь, що
мають важливе значення в багатьох областях знань.

Безпосередньою підстановкою можна переконатися, що диференціальне
рівняння (2) має розв’язок виду

(3)

— довільний постійний коефіцієнт, причому відомо, що формула (3)
вичерпує всю множину розв’язків цього рівняння.

дорівнює 200. Використовуючи розв’язок (3), одержимо

Отже,

або

год.

Вправи

відповідно.

км/год., і їде так до повної зупинки. Потім він відразу ж починає
рухатися рівноприскорено з прискоренням а км/год2. Яке повинне бути
значення а, щоб через 3 год після поновлення руху автомобіль знаходився
ближче усього до пункту В?

3. Два автомобілі їдуть по шосе друг за другом на відстані 20 м з
однаковою швидкістю 24 м/с. Шофери, помітивши спереду перешкоду,
починають гальмувати. У результаті автомобілі переходять на
рівноуповільнений рух і рухаються так до повної зупинки. Шофер
переднього автомобіля почав гальмування на 2 с раніше шофера заднього
автомобіля. Прискорення переднього автомобіля — 4 м/с2. Найменша
відстань, на яку зближалися автомобілі, дорівнювала 4 м. Визначити, який
автомобіль зупинився раніше, і знайти прискорення заднього автомобіля.

Відповідь. Другий автомобіль зупинився раніше; — 8 м/с2.

4. Вантажний ліфт спускається з вежі висотою 320 м. Спочатку він
рухається зі швидкістю 20 м/с, а потім його швидкість миттєво
переключається і стає рівної 50 м/с. Через деякий час після початку руху
ліфта з вершини вежі скидають камінь, який здійснює вільне падіння і
досягає землі одночасно з ліфтом. Відомо, що в процесі руху камінь був
увесь час вище ліфта, причому максимальна різниця висот між ними
складала 60 м. У момент переключення швидкості ліфта швидкість каменя
перевищувала 25 м/с, але була менше 45 м/с. Визначити, через який час
після початку руху ліфта скинули камінь. При розв’язанні задачі
прискорення вільного падіння вважати рівним 10 м/с2.

Відповідь. 2 с.

золотим монетам. З якою швидкістю хазяїн повинен вести пароплав, щоб
заробити максимальне число золотих монет? Яке це число?

Відповідь. 30 км/год; 900 монет.

Будівництво будинку площею 1600 м2 обходиться в 184,8 тис. руб.,
причому в цьому випадку вартість наземної частини складає 32 % вартості
фундаменту. Визначити, скільки потрібно побудувати будинків, щоб сума
витрат була найменшою; знайти цю суму.

тис. руб.; 8 будинків.

7. Потяг, що випливає з пункту А в пункт В, робить по шляху кілька
зупинок. На першій зупинці в потяг сідає 5 пасажирів, а на кожній
наступній — на 10 пасажирів більше, ніж на попередній зупинці. На кожній
зупинці 50 пасажирів виходять з потяга. Чи можливий випадок, коли в
пункт В приїде менше 12 пасажирів, якщо з пункту А їх виїжджає 462?

Відповідь. Неможливий.

8. Деяке підприємство приносить збитки, що складають 31 тис. руб. у рік.
Для перетворення його в рентабельне було запропоновано збільшити
асортимент продукції. Підрахунки показали, що додаткові доходи, що
припадають на кожний новий вид продукції, складуть 25 тис. руб. у рік, а
додаткові витрати виявляться рівними 5 тис. руб. у рік при освоєнні
одного нового виду, але освоєння кожного наступного потребуватиме на 10
тис. руб. у рік більше витрат, чим освоєння попереднього. Чи можна
зазначеним способом зробити підприємство рентабельним?

Відповідь. Не можна.

за одну хвилину?

Відповідь. Встигне.

у цих продуктах (у 1 г) дано в таблиці:

M1 М2 М2

П1 6 10 6

П2 18 10 2

потрібно використовувати, щоб задовольнялася щодобова потреба
організму в мікроелементах і щоб загальна вартість харчування була
мінімальна.

Відповідь. 1 г і 3 г.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

у

х

х

х

a > 0

a < 0

Похожие записи