Пошукова робота на тему:

Задачі, що приводять до поняття означеного інтеграла. Формулювання
теореми існування.

План

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

Визначений інтеграл як границя інтегральної суми

Формулювання теореми існування

ВИЗНАЧЕИЙ  ІНТЕГРАЛ

1. Деякі задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

, (рис.1) , за тією схемою , про яку йшлося в п.8.3.1  за обчислення
моменту інерції тіла , де досить чітко просліджувалися  три етапи .
Розглядувану фігуру  далі називатимемо криволінійною трапецією . 

Рис. 9.1

. Площу кожної із смужок можна обчислювати наближено, замінюючи її або
прямокутником, верхня основа якого проходить через точку на кривій і
знаходиться не вище за криву, або трапецією , обмеженою зверху хордою ,
що сполучає кінці відрізку кривої .

Етап 2. Сума площ усіх прямокутників або трапецоїдних смужок дасть
наближене значення площ криволінійної трапеції. Очевидно, що ця площа
буде обчислена тим точніше, чим меншою буде ширина кожної смужки .

у  вигляді

за  того самого припущення щодо густини.

  будемо мати на увазі , що статичним моментом матеріальної точки
відносно осі називається добуток маси точки на її віддаль від осі й що
за сталої густини масу прямокутної смужки можна зосередити в її центрі і
вважати точкою .

, слід вважати, що момент інерції вузенької смужки відносно осі, їй
паралельної, дорівнює  добутку маси смужки на квадрат її віддалі від
осі.  Розв’язуючи ці завдання, нескінченно малими величинами, порядок
яких більший за одиницю, можна нехтувати. Звичайно, в цьому пункті всі
викладки проводилися на  інтуїтивному рівні , без  належних
обгрунтувань. Усі необхідні  обгрунтування можуть бути наведені  після
детального вивчення даного розділу.

2. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми

В п.9.1 йшлося про невизначений інтеграл у зв’язку з обчисленням площі
криволінійної трапеції, а також розв’язуванням деяких задач на основі
складання інтегральних сум. Але там мова йшла про випадок, коли
підінтегральна сума на всьому проміжку інтегрування була невід’ємною.

 (ця фігура заштрихована).

       

Рис.9.2

) і побудуємо суму

, одержимо

                    (9.1)

Ті самі міркування, що і в п. 9.1, привели до поняття визначеного
інтеграла.

.

. Площа цієї фігури

і ця рівність безпосередньо випливає з означення модуля функції.

 ; в) за яких умов вона буде існувати і буде скінченою. Відповіді на ці
запитання можна знайти у фундаментальних курсах математичного аналізу.
Тут лише повідомляється (без будь-яких доведень) відповідь на ці
проблеми у вигляді теореми.  

 , якщо вона неперервна на цьому інтервалі.

 і меж інтегрування, але не від змінної інтегрування, котру можна
позначати довільною буквою.

 на основі інтегральної суми.

. Ординати в точках поділу обчислюватимемо на правому кінці кожного
інтервалу. Вони складуть таку послідовність:

Інтегральна сума матиме вигляд

Пропонується здійснити обчислення, взявши ординати на лівому кінці
кожного інтервалу.

Як видно із наведеного прикладу, безпосереднє обчислення визначеного
інтеграла як границі інтегральних сум пов’язане з певними труднощами.
Навіть в простих випадках, коли підінтегральна функція є дуже простою,
цей спосіб вимагає громіздких підрахунків. Знаходження інтегралів від
більш складніших функцій приводить до ще більших труднощів. Інтегральні
суми використовували ще в древні часи при розв’язуванні певних задач,
але до тих пір, поки не був відкритий метод обчислення визначеного
інтеграла, його застосування було обмежене. Цей метод, відкритий
Ньютоном і Лебніцем, використовує глибокий зв’язок між інтегруванням і
диференціюванням.

Розв’язання. На підставі таблиці основних інтегралів і правила ІІІ,
/див. Лекцію 2/ маємо

Похожие записи