Пошукова робота на тему:

Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і
диференціювання степеневих рядів.

План

Властивості степеневих рядів

Неперервність суми

Інтегрування степеневих рядів

Диференціювання степеневих рядів

1. Властивості степеневих рядів

 степеневого ряду (13.39) є неперервною всередині проміжку збіжності.

 Тоді числовий ряд з додатними членами

                  (13.49)

 і його сума буде неперервною на цьому відрізку.

).

            Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо
степеневий ряд (13.39)

, то ряд

           (13.50)

сума ряду (13.39).

який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.

 то

 за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними
членами:

            За ознакою Даламбера цей ряд збігається:

 

 є інтервал збіжності ряду (13.50). Теорема повністю доведена.

            Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити
так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:

            Приклад 1. Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.

.

            Р о з в ‘ я з о к. а) Знайдемо радіус збіжності степеневого
ряду за формулою (13.44)

.

  розбігається, тому що

 розбігається (не виконується

            б)         За формулою (13.45) знаходимо радіус збіжності

.

Оскільки

, то

знакочергуючий ряд розбігається.

 розбігається (не виконується

            Приклад 2. Знайти суму ряду

 Продиференціюємо почленно його два рази (наслідок теореми 2) :

 а тому сума

            Розв’язуючи дане диференціальне рівняння із заданими
початковими умовами, одержимо:

 і сума заданого ряду

Похожие записи