Реферат

на тему:

“Властивості математичного

сподівання і дисперсії” Властивості математичного сподівання.

Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійній
величині, тобто:

М(С)=С

Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання

M(kx)=k(M(x)

Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величин
дорівнює сумі математичних сподівань:

M(x+y)=M(x)+M(y)

Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добутку
математичних сподівань цих величин:

Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне й
те саме число C , то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) на
те саме число:

M(X–C)=M(X)–C

Наслідок:

Математичне сподівання відхилення випадкової величини X , від її
математичного сподівання дорівнює 0

Математичне сподівання дискретної величини

Приклад:

У парку організована безпрограшна лотерея. Маємо 1000 виграшів, з них
400 по 10 коп.,300 – по 20 коп., 200 – по 1 грн.,100 – по 2грн. Середній
розмір виграшу для відвідувача парка, що придбав один квиток дорівнює
загальній сумі виграшу, що поділена на загальну кількість виграшів.

Загальна сума дорівнює:

Середній виграш дорівнює

X 0,1 0,2 1 2

P 0,4 0,3 0,2 0,1

то таку ж величину отримаємо при знаходженні суми добутку значень
випадкових величин на відповідні ймовірності

М(х)=0,1(0,4+0,3(0,2+2(0,1=0,5

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума
добутку всіх її значень на відповідні їм ймовірності:

де

Дисперсія дискретної випадкової величини.

Дисперсія (з лат. – розсіяність). В більшості випадків тільки
математичне сподівання не може в достатній мірі характеризувати
випадкову величину.

Приклад №1

При однаковій середній величині опадів в двох місцевостях за рік не
можна казати, що клімат цих міст однаковий.

Приклад №2

Середня заробітна платня не дає можливості казати про питому вагу високо
й низькооплачуваних робітників, тобто по математичному сподіванню не
можна казати, які відхилення від нього хоча б у середньому можливі.

Найбільш розповсюджена міра розсіювання – це дисперсія та безпосередньо
отримане з неї середнє квадратичне відхилення.

Розкид значень випадкової величини X від її математичного сподівання а
характеризують різницю хі–а, однак середнє значення їх не може
характеризувати розсіювання, тому що, відповідно наслідку, математичне
сподівання цієї різниці буде дорівнювати 0. Отже розглядають квадрати
вказаних відхилень:

Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання
квадрату відхилення її математичного сподівання.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називається
арифметичне значення квадратного кореню від дисперсії, тобто:

Властивості дисперсії

Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D(с)=0

Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його до
квадрату, тобто:

Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному сподіванню квадрату
її без квадрату математичного сподівання цієї величини:

Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величин
дорівнює сумі дисперсій цих величин:

Наслідок:

Середньоквадратичне суми скінченого числа незалежних випадкових величин
дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середньоквадратичних
відхилень, тобто:

5) Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює:

або

Математичні сподівання

та дисперсії деяких випадкових величин.

Теорема 1 Якщо X1, X2,…,XN однаково розподілені випадкові величини,
математичні сподівання кожної з яких дорівнює а , тоді математичне
сподівання їх суми дорівнює na, тобто

М(Х1+ Х2+ …Хn )=na

Наслідок:

.

, тоді дисперсія суми цих випадкових величин :

Наслідок:

Дисперсія середнього арифметичного випадкових величин дорівнює

Теорема 3. Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої
згідно біноміальному закону, тобто кількість наступів події А в n
незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може настати з постійною
ймовірністю р, дорівнює np, а дисперсія дорівнює D(x)=npq, q=1–p.

Теорема 4. Математичне сподівання частоти (частості) події А в n
незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може наступити з
постійною ймовірністю p дорівнює цій ймовірності p тобто:

,

а дисперсія буде дорівнювати:

Теорема 5. Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини,
розподіленої згідно закону Пуассона, співпадають та дорівнюють :

.

Функція розподілу випадкової величини.

Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо
подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке–небудь
значення менше будь–якого числа X. Ця подія має певну ймовірність.

xi X1 X2 … Xn

Pi P1 P2 … Pn

Позначимо

При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x) можна
розглядати як функцію змінної величини X.

Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x), яка
виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення
менше заданого.

F(x) – постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її
значенням.

Використана література:

1. Методичні вказівки до курсу лекцій. З теорії ймовірностей та
математичної статистики / Під ред. проф. Толока В.О.

ппре

Похожие записи