Пошукова робота на тему:

Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та
полярних координатах. Площа поверхні.

План

Довжина дуги кривої в декартових і полярних координатах

Площа поверхні

Площа поверхні обертання

Площа циліндричної поверхні

 

10.3. Довжина дуги

, вже розглядалося в п.9.1. Там була знайдена формула

                                 (10.9)

 то

                                 (10.10)

, довжина дуги обчислюється за формулою

               (10.11)                 

 дуги, кінці якої збігаються  з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а
саме, діагональ є хордою елемента дуги. 

 , матимемо

                                (10.12)

Пропонується вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в
полярних  координатах можна записати як параметричні з параметром  q :

і використавши формулу (10.10).

 .

Р о з в ‘ я з о к. Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху
заштриховану на рис.10.7 фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись
формулою (10.12), одержимо

10.4. Площа поверхні

10.4.1. Площа поверхні обертання

Довжина дуги, що обмежує смужку зверху (рис.10.9),

. Тоді площа поверхні цього конуса нескінченно малої  висоти

 звідки    

                                (10.7)

10.4.2. Площа циліндричної поверхні

. Нехай ця поверхня задана рівняннями

 

              Рис.10.9                                     Рис.10.10

   

Виділивши смужку так, як показано на рис. 10.10 , знайдемо її площу

                         (10.8)

 ( рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не вплинуло на
остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються
нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна
було б строго довести. 

 робить один оберт навколо великої осі і вдруге – навколо малої осі.
Визначити поверхню обертання еліпса в кожному з двох випадків.

Р о з в ‘ я з о к. Досить розглянути лише половину еліпса:

В результаті обертання навколо великої осі одержимо за (11.7)

— ексцентриситет еліпса.

матимемо

У випадку обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання
одержуємо інтеграл

В обох випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.

Похожие записи