Реферат на тему:

Системи алгебраїчних рівнянь

Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Основним методом розв’язання системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n
невідомими є метод виключення Гаусса. Розглянемо один із варіантів цього
методу.

Нехай маємо систему рівнянь

(1)

і підставляємо його в решту рівнянь системи (1). Після відповідних
перетворень дістаємо систему рівнянь:

(2)

з усіх рівнянь, крім першого і другого. Дістаємо систему:

(3)

і т. д. Якщо в результаті виконання такої процедури дістанемо
неможливу числову рівність, то система рівнянь (1) несумісна і, отже, не
має розв’язку.

Якщо система рівнянь зводиться зрештою до вигляду

(4)

то система рівнянь (1) має єдиний розв’язок, який знаходимо із системи
рівнянь (4), починаючи з останнього рівняння.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Із другого рівняння знаходимо

Рівняння набирає вигляду

Системи двох рівнянь

із двома невідомими

Розглянемо деякі найчастіше застосовувані способи розв’язування системи
двох рівнянь із двома невідомими.

1. Виключення одного невідомого. Якщо одне з рівнянь системи можна
розв’язати відносно одного із невідомих, то знаходимо це невідоме і
підставляємо в друге рівняння. При цьому дістаємо одне рівняння з одним
невідомим.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Перше рівняння розв’язуємо відносно х і підставляємо знайдений вираз у
друге рівняння:

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Помноживши друге рівняння на 2, додамо його до першого рівняння.
Дістанемо рівняння

.

із другого рівняння системи, приходимо до алгебраїчного рівняння

яке після перетворень набирає вигляду

Розв’язуючи це рівняння, дістаємо:

Відповідні значення другого невідомого такі:

якщо виконується тотожність

(1)

однорідна порядку 2, оскільки виконується тотожність

.

Система алгебраїчних рівнянь

(2)

Із системи рівнянь (2) випливає рівняння

(3)

і дістаємо одне рівняння виду

(4)

.

Приклад. Розв’язати однорідну систему рівнянь

, дістанемо рівняння

Розв’язуємо систему рівнянь

Розв’язуємо систему рівнянь

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

У лівій частині кожного рівняння маємо однорідну функцію третього
порядку. У результаті почленного ділення першого рівняння на друге
дістаємо:

Ліворуч і праворуч маємо однорідну функцію нульового порядку.

дістанемо рівняння

.

Розв’язуючи систему рівнянь

Приклад. Розв’язати однорідну систему рівнянь

Поділивши почленно перше рівняння на друге, дістанемо однорідне рівняння

маємо рівняння

Розв’язавши систему рівнянь

Розв’язавши систему рівнянь

Розв’язавши систему рівнянь

Приклад. Розв’язати однорідну систему рівнянь

дістанемо рівняння

Із системи рівнянь

Система рівнянь

дійсних розв’язків не має.

Система рівнянь

симетричні.

Симетричну систему можна спростити, скориставшись симетричною заміною
невідомих:

тощо.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Скориставшись перетворенням

дістанемо систему рівнянь:

маємо систему рівнянь:

Знаходимо розв’язок вихідної системи рівнянь:

gdy)’

A o a

?Т?Т??

?Т?Т??

??&?

gdy)’

&

gdy)’

$

&

F

&

F

&

F

?Т?Т?ти систему рівнянь

Виконавши симетричну заміну змінних

дістанемо систему рівнянь

знаходимо таку систему рівнянь:

з якої знаходимо дві системи рівнянь

і розв’язок вихідної системи рівнянь:

Приклад. Розв’язати систему симетричних рівнянь

Виконаємо перетворення

Приходимо до системи рівнянь

дістаємо рівняння

Із системи рівнянь

Із системи рівнянь

Із системи рівнянь

4. Заміна невідомих. Систему алгебраїчних рівнянь часто можна спростити,
якщо ввести нові значення для невідомих .

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

із системи рівнянь

Із системи рівнянь

Приклад. Знайти розв’язок системи рівнянь

дістанемо рівняння

Із системи рівнянь

Система рівнянь

яке не має дійсного розв’язку.

5. Виключення спільного виразу. Якщо в обидва рівняння системи входить
один і той самий вираз, то можна виключити цей вираз, тобто з одного
рівняння знайти його і підставити в інше рівняння. При цьому можна
дістати простіше рівняння.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Запишемо цю систему рівнянь у вигляді:

. Далі маємо:

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Запишемо систему рівнянь у вигляді

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Друге рівняння можна записати у вигляді

і приходимо до рівняння

6. Система рівнянь з модулями. При розв’язуванні рівнянь з модулями
використовують означення модуля числа:

Приклад. Знайти розв’язок системи рівнянь

Система рівнянь має вигляд:

Дістаємо систему рівнянь:

Дістаємо систему рівнянь:

Дістаємо систему рівнянь:

Множину розв’язків зображено на рисунку.

Приклад. Знайти розв’язок системи рівнянь

Приходимо до системи рівнянь

Приходимо до системи рівнянь

Системи рівнянь із трьома невідомими

1. Екстремум функції кількох змінних. Якщо кількість рівнянь менша за
кількість невідомих, то відшукання невідомих пов’язане з відшуканням
мінімуму чи максимуму функції кількох змінних.

Приклад. Розв’язати рівняння

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Перші рівняння можна записати у вигляді

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо від другого рівняння.
Дістанемо рівняння

або

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

, дістаємо рівняння:

Наведемо кілька прикладів розв’язування системи рівнянь за допомогою
відшукання екстремуму функції.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Додавши почленно два останні рівняння, дістанемо рівняння

або

Звідси знаходимо:

Усі невідомі мають один знак, оскільки

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Перемноживши рівняння, дістанемо:

дістанемо рівняння

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

PAGE 300

К. Г. Валєєв, І. А. Джалладова

3

х

1

2

2

3

Похожие записи