.

Розв’язування нерівностей (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
1 10616
Скачать документ

Реферат на тему:

Розв’язування нерівностей

Основні поняття

), називаються нерівностями.

.

Нерівності бувають числові і буквені. Числовими називають такі
нерівності, обидві частини яких є числа, записані цифрами. Якщо хоча б
одна частина нерівності є буквеним виразом, така нерівність називається
буквеною.

Будь-яка правильна числова нерівність, а також будь-яка буквена
нерівність, що справджується при всіх допустимих значеннях букв, які
входять до неї, називається тотожною нерівністю. Наприклад:

Наведемо властивості тотожних нерівностей.

.

.

.

.

.

.

Нерівності першого степеня з одним невідомим

Нерівність, яка містить букви, що позначають невідомі числа, називається
нерівністю з невідомими.

Якщо в нерівність з одним невідомим замість невідомого підставити
яке-небудь число і в результаті дістанемо правильну числову нерівність,
то кажуть, що це число задовольняє дану нерівність.

Кожне число, що задовольняє нерівність, називають розв’язком цієї
нерівності.

Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки.

називається нерівністю першого степеня з одним невідомим.

Приклад. Розв’язати нерівність

.

.

Система двох нерівностей з одним невідомим зводиться до одного з таких
випадків.

.

, то розв’язок такої системи нерівностей подається у вигляді:

.

Приклад. Розв’язати систему нерівностей

.

Система нерівностей набирає вигляду:

.

Квадратні нерівності

Розглянемо квадратну нерівність

. (1)

(рис. 1).

Рис. 1.

(рис. 2).

Рис. 2.

.

(рис. 3).

Рис. 3.

(рис. 4).

Рис. 4.

Можна сформулювати просте правило.

, то вона виконується на відрізку, обмеженому коренями рівняння (1).

.

.

.

Часто доводиться розв’язувати нерівність виду

, (2)

.

Приклад. Розв’язати нерівність

.

За формулою (2) дістаємо систему нерівностей:

.

Метод інтервалів

Метод інтервалів застосовується при розв’язуванні будь-яких нерівностей,
але найчастіше до нього вдаються, розв’язуючи раціональні нерівності
виду

, (1)

непарний.

Приклад. Розв’язати нерівність

.

на осі х і зображуємо криву, що визначає знаки лівої частини
нерівності (рис. 1).

Рис. 1.

.

Приклад. Розв’язати нерівність

.

Розкладемо ліву частину нерівності на множники:

.

які завжди додатні, дістанемо:

.

(рис. 2).

Рис. 2.

, які є розв’язками нерівності.

Приклад. Розв’язати раціональну нерівність

.

, в яких ліва частина нерівності може змінити свій знак (рис. 3).

Рис. 3.

, в яких нерівність не виконується, позначаємо порожнім кружечком.
Отже, маємо такий розв’язок нерівності:

Ірраціональні нерівності

Ірраціональні нерівності зводяться, як правило, до однієї з двох таких
нерівностей:

; (1)

. (2)

Нерівність (1) виконується в одному з двох випадків:

Нерівність (2) виконується, якщо виконуються нерівності:

Приклад. Розв’язати нерівність

.

Маємо нерівність виду (1). Розв’яжемо системи нерівностей:

Приклад. Розв’язати ірраціональну нерівність

.

Маємо нерівність виду (2), розв’язання якої таке:

.

Приклад. Розв’язати нерівність

.

Розв’язуємо окрему нерівність і рівняння:

;

.

Приклад. Розв’язати нерівність

.

Розв’язуючи окремо нерівність і рівняння, дістаємо:

.

Кожну ірраціональну нерівність можна розв’язати методом інтервалів. Для
цього знаходять її ОДЗ, а далі замінюють нерівність рівністю і
розв’язують рівняння. Точки, що відповідають розв’язкам, розбивають ОДЗ
на інтервали. Якщо в одній точці деякого інтервалу нерівність
виконується, то вона виконується в усіх точках цього інтервалу. І
навпаки: якщо в будь-якій одній точці інтервалу нерівність не
виконується, то вона не виконується в усіх його точках.

Приклад. Розв’язати методом інтервалів нерівність

. (3)

знаходимо ОДЗ:

Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).

Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.

.

.

.

po

F-F\F?FaF/e/UeUe/E//eee/¶/?Ue/e

&

&

F

gd›%U

&

AE

gdI

&

gd›%U

gdI

?????????????????U

.

Показникові нерівності

Розв’язування показникових нерівностей зводиться до розв’язування
нерівності виду

.

.

Приклад. Розв’язати показникову нерівність

Переходячи до основи 3, дістаємо:

.

.

Приклад. Розв’язати показникову нерівність

.

Запишемо нерівність у вигляді

.

, дістаємо:

.

, дістанемо:

.

Розглядаємо два випадки:

Логарифмічні нерівності

Розв’язання логарифмічних нерівностей зводиться до розв’язування
нерівності виду

(1)

При цьому можливі два випадки:

;

.

Приклад. Розв’язати нерівність

.

Запишемо цю нерівність у вигляді (1):

Приклад. Розв’язати нерівність

.

Запишемо нерівність у вигляді

.

Звідси дістаємо:

,

.

Найскладнішими є такі логарифмічні нерівності, в яких основи логарифмів
залежать від х:

(9)

Дістаємо дві системи нерівностей:

.

Об’єднання розв’язків цих систем і буде розв’язком нерівності (2).

Приклад. Розв’язати нерівність

розв’яжемо дві системи нерівностей:

Приклад. Розв’язати логарифмічну нерівність

Запишемо дану нерівність у вигляді (2):

Звідси дістаємо дві системи:

.

маємо:

маємо:

маємо:

.

Деякі типові задачі вищої математики,

що зводяться до розв’язування системи нерівностей

Приклад. Знайти область існування функції

.

існує, якщо виконується система нерівностей:

і знаходимо область, де одночасно виконуються обидві нерівності (рис.
1). Коли йдеться про строгу нерівність, то відповідну межу позначаємо
пунктиром. Шукану область заштриховуємо.

Рис. 1.

Приклад. Знайти область існування функції

.

Функція існує, якщо виконується нерівність

Шукану область зображено на рис. 2.

Рис. 2.

Тригонометричні нерівності

Розв’язування будь-якої тригонометричної нерівності зводиться до
розв’язування однієї з наведених далі шести нерівностей.

Рис. 1.

Із рис. 1 знаходимо розв’язок даної нерівності:

. (1)

Приклад. Розв’язати нерівність

дістанемо квадратну нерівність:

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

;

Із рис. 1 знаходимо розв’язок:

. (2)

Приклад. Розв’язати нерівність

, дістанемо квадратну нерівність:

Повернувшись до початкових позначень, розв’яжемо нерівності:

;

Рис. 2.

Із рис. 2 знаходимо розв’язок даної нерівності:

(3)

Приклад. Розв’язати нерівність

розв’яжемо нерівність

Переходячи до початкових позначень, маємо:

Із рис. 2 знаходимо розв’язок даної нерівності:

(4)

Приклад. Розв’язати нерівність

розв’яжемо нерівність

Повертаюсь до початкових позначень, маємо:

Рис. 3.

Із рис. 3 знаходимо розв’язок даної нерівності:

(5)

:

. (6)

Приклад. Розв’язати нерівність

дістанемо

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

Рис. 4.

Із рис. 4 знаходимо розв’язок даної нерівності

(7)

:

. (8)

Приклад. Розв’язати нерівність

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

Приклад. Розв’язати нерівність

дістаємо нерівність:

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

9.10. Алгебраїчні нерівності

Наведемо деякі відомі нерівності, часто використовувані під час
розв’язування різних задач.

1. Нерівність Коші:

(1)

2. Нерівність Гельдера

(2)

(3)

Приклад. Довести нерівність

, то нерівність, очевидно, виконується.

, підносимо обидві частини нерівності до квадрата:

. Нерівність доведено.

виконується нерівність

Оскільки обидві частини нерівності додатні, то підносимо їх до квадрата:

то нерівність доведено.

Приклад. Довести нерівність

.

Помноживши обидві частини нерівності на 2, дістанемо:

Остання нерівність, очевидно, виконується, що й доводить дану
нерівність.

Приклад. Довести, що при будь-яких додатних значеннях а і b виконується
нерівність

Підносимо обидві частини нерівності до квадрата:

У результаті тотожних перетворень дістали правильну нерівність, що й
доводить дану нерівність.

, знайдемо її похідну:

.

випливає:

.

Приклад. Довести нерівність

.

Розкриваючи дужки, дістаємо:

У результаті тотожних перетворень дістаємо нерівність, яка, очевидно,
виконується, що й доводить дану нерівність.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

х

3

0

1

2

+

+

х

–1

1

(

+

+

(

+

х

+

+

– 3

+

– 2

– 1

2

1

0

3

4

5

х

–5

y

x

1

y

х

4

– 4

2

– 2

1

1

y

x

х

(

(

0

а

y

x

х

а

(

0

(

y

x

x

y

x

x

а

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019