Розклад вектора за базисом.

(і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

(1)

.

число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена
з координат цих векторів.

.

лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (1), з якої завжди
можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

, не дорівнює нулю.

= (1,2,2,5).

. Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

лінійно незалежні.

. Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд:

Ця матриця розміру 3 х 4 має ранг r(B)=2.

лінійно залежні.

Означення. Базисом n вимірного простору Еn називають будь-яку сукупність
n лінійно незалежних векторів n вимірного простору.

так:

(2)

.

= (12,9,10) за цим базисом.

має три координати, тому належить тривимірному простору Е3. Матриця
складена з координат цих векторів

лінійно незалежні. Згідно з означенням базиса, ці вектори утворюють
базис в Е3.

також має три координати, тобто належить Е3. Тому його можна
представити у вигляді (2) або

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з останньої
рівності одержимо

Матричним методом можна знайти розв’язок цієї системи

за базисом

будуть (3,2,-1).

, тому вони колінеарні. У колінеарних векторів координати пропорційні,
тобто

Вправи з векторної алгебри

і побудувати вектори

, побудувати

, де М – точка перетину діагоналей.

його проекція:

а) додатня; b) від’ємна; с) дорівнює нулю?

Знайти координати векторів

=(-3,2,-1)

Побудувати ромб АВСD і записати вектори, що утворені сторонами ромба та:

а) мають рівні модулі; b) колінеарні; с) рівні між собою

Задані точки М1 (1,2,3) та М2 (3,-4,6). Треба:

;

з осями координат;

Задана точка А(-2,3,-6). Обчислити:

точки А;

та осями координат;

, якщо:

колінеарні і однаково напрямлені;

протилежні;

Обчислити:

|

та його напрямні косінуси.

Задані точки А(-1,3,-7), В(2,-1,5), С(0,1,-5)

(-6,3,-9)

Чи утворюють базис у тривимірному просторі вектори

= (1,2,-2)

Знайти:

а) усі можливі базиси системи векторів

= (1,1,-2)

Завдання для індивідуальної роботи.

|.

а = (2,1,0); b = (4,3,-3); с = (-6,5,7); d = (34,5,-26)

а = (1,0,5); b = (3,2,7); с = (5,0,9); d = (-4,2,-12)

а = (4,5,2); b = (3,0,1); с = (-1,4,2); d = (5,7,8)

а = (3,-5-2); b = (4,5,1); с = (-3,0,-4); d = (-4,5,-16)

а = (-2,3,5); b = (1,-3,4,); с = (7-8,-1); d = (1,20,1)

а = (1,3,5); b = (0,2,0); с = (5,7,9); d = (0,4,16)

а = (2,4,-6); b = (1,3,5); с = (0,-3,7); d = (3,2,52)

а = (4,3,-1); b = (5,0,4); с = (2,1,2); d = (0,12,-6)

а = (3,4,-3); b = (-5,5,0); с = (2,1,-4); d = (8,-16,17)

а = (-2,1,7); b = (3,-3,8); с = (5,4,-1); d = (18,25,1)

Похожие записи