Пошукова робота на тему:

Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора.
Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення.

План

Ряди Тейлора і Маклорена

Достатні умови розкладу в ряд Тейлора

Приклади розкладу функцій в ряди

Біноміальний ряд

Обчислення означених інтегралів за допомогою рядів

Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів

13.11. Ряди Тейлора і Маклорена

справедлива формула Тейлора:

        (13.51)

 у формі Лагранжа обчислюється за формулою

:

одержимо безмежний ряд, який називається рядом Тейлора:

       (13.52)

 де

а частинна сума ряду (13.52), її границя дорівнює сумі ряду, що стоїть
в правій частині рівності (13.52). Отже, рівність (13.52) справедлива.

 то ряд не представляє даної функції, хоча й може збігатися (до іншої
функції).

 то одержимо частинний випадок ряду Тейлора, який називається рядом
Маклорена:

 (13.53)

 вона розкладається в ряд Тейлора (Маклорена).

13.12. Приклади розкладу функцій в ряди

           

 має вигляд

 і т.д.

 тому що

 при всіх

Отже, ряд Маклорена має такий вигляд:

         (13.54)

 одержимо ряд

                                     (13.55)

має такий вигляд:

), а, значить

 має такий вигляд:

                      (13.56)

, одержимо ряд

     (13.57)

            Цими рядами користуються для наближених обчислень значень
функцій.

 одержимо

 маємо

13.13. Біноміальний ряд

довільне ціле число.

 задовольняє диференціальному рівнянню

:

 .

            Підставляючи його в диференціальне рівняння, одержимо

 .

 знаходимо:

 .

Звідси одержимо коефіцієнти ряду

………………………………………..

………………………………………….. .

            Ці коефіцієнти називаються біноміальними.

            Підставляючи їх в ряд, одержимо

 .

 дробовому або цілому від’ємному одержимо безмежний ряд. Визначимо його
радіус збіжності:

в ряд:

                                                                       
              (13.58)

            Ряд (13.58) називається біноміальним рядом.

 одержимо:

                       (13.59)

 будемо мати:

 

                                                                        
                (13.60)

            Біноміальний ряд (13.60) можна використовувати для
наближених обчислень значень функцій із заданою точністю.

 і тоді

 одержимо:

.

            Оскільки це знакозмінний ряд , можна оцінити за теоремою
Лейбніца залишок ряду

маємо:

одержимо:

 .

:

 .             (13.61)

одержимо ряд

 .

            Інтегруючи даний ряд, будемо мати

 .     (13.62)

 :

 .

           

), одержимо:

    (13.63)

, одержимо ряд

 ,              (13.64)

            За допомогою рядів (13.63) і (13.64) можна обчислювати
логарифми чисел. що містяться між нулем та одиницею. Виведемо формулу
для обчислення натуральних логарифмів довільних цілих чисел.

            Оскільки два збіжних ряди можна почленно віднімати, то,
віднімаючи від рівності (13.63) почленно рівність (13.64), отримаємо:

 .

 а тому

,

звідки

.

                                                                        
                (13.65)

13.14. Обчислення означених інтегралів за допомогою рядів

            Розглядаючи інтеграли, було відмічено, що існують означені
інтеграли, котрі, як функції верхньої границі, не виражаються через
елементарні функції в скінченому вигляді. Такі інтеграли інколи буває
зручно обчислювати за допомогою рядів.

            Розглянемо декілька прикладів.

1.      Обчислити

 одержимо

  .

, маємо

            2.  Обчислити інтеграл

:

 .

, одержимо:

 обчислити даний інтеграл з довільною точністю.

 з точністю до 0.0001 , де

 , одержимо

 будемо мати

            Тоді

, то з точністю до

обчислимо

13.15. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів

            Якщо інтегрування диференціальних рівнянь не зводиться до
квадратур, то застосовують наближені методи інтегрування рівняння. Одним
із таких методів є представлення розв’язку рівняння у вигляді ряду
Тейлора. Сума скінченого числа членів цього ряду буде наближено
представляти шуканий частинний розв’язок.

            Нехай, наприклад, потрібно знайти розв’язок диференціального
рівняння другого порядку

                                        (13.66)

що задовольняє початковій умові

                           (13.67)

 існує і представляється у вигляді ряду Тейлора (13.52):

 

Із рівняння (13.66) одержимо:

)

 в праву частину . одержимо

) ще раз, знайдемо:

і т. д.

 розв’язку диференціального рівняння

,

що задовольняє початкову умову

 одержимо

Тоді

            Якщо рівняння лінійне, то зручніше шукати коефіцієнти
розкладу частинного розв’язку за методом невизначених коефіцієнтів.

Для цього шукаємо розв’язок у вигляді степеневого ряду

 ,

 в різних частинах рівняння.

             Приклад 2. Знайти перших 5 членів розкладу в степеневий ряд
розв’язку диференціального рівняння

 

з початковими умовами 

            Р о з в ’ я з о к. Запишемо розв’язок рівняння у вигляді
степеневого ряду

Продиференціюємо його почленно два рази

 використаємо ряд (13.56) ):

 одержимо систему рівнянь

із якої послідовно знаходимо

 

і т. д.

            Тоді

Похожие записи