РЕФЕРАТ

На тему:

Регулярні ланцюги Маркова та їх числові характеристики

Як уже наголошувалося, регулярні ланцюги Маркова є частинним випадком
ергодичних ланцюгів.

не буде нульових елементів. А це означає, що перехід системи з
будь-якого стану до будь-якого іншого стану здійсниться за k кроків.

Визначення стаціонарних (фінальних) імовірностей

Нехай задано перехідну матрицю ( регулярного ланцюга Маркова. Тоді
виконуються такі умови:

— єдиний вектор, який має властивість

(39)

(це може бути початковий вектор станів системи) для регулярних
ланцюгів Маркова, які моделюються певною матрицею (, виконується
рівність

(40)

називають вектором стаціонарних (фінальних) імовірностей. Його
компоненти задовольняють умову

(41)

Приклад 19. Дано однокрокову матрицю ймовірностей переходу, що є
регулярним ланцюгом Маркова:

,

Знайти стаціонарні (фінальні) ймовірності та визначити кількість кроків
k, за яких регулярний процес вийде на стаціонарний режим.

Розв’язання. Скориставшись (40), дістанемо

маємо:

:

:

регулярний марковський процес досягає стаціонарних (фінальних)
імовірностей, а саме: якщо далі збільшувати кількість кроків k,
імовірності станів марковського процесу не змінюватимуться.

де

(42)

Тут W є матрицею стаціонарних (фінальних) імовірностей, в якій усі рядки
однакові.

система стає стаціонарною.

Приклад 20. За даною однокроковою матрицею ймовірностей переходу для
регулярного марковського процесу

знайти матрицю W.

;

;

Застосовуючи результати, здобуті в прикладі 20, підтвердимо властивості

Із (39) і (42) дістаємо систему рівнянь

(43)

Існування стаціонарних імовірностей для регулярних ланцюгів Маркова в
попередніх міркуваннях було взято до уваги без доведення, але досить
наочно проілюстровано конкретними прикладами.

для регулярного процесу.

Із цією метою розглянемо стохастичну матрицю

, а також деякий вектор, наприклад

,

.

Принагідно зазначимо, що в загальному випадку таких компонентів може
бути кілька.

Знайдемо вектор

,

— найбільшим.

Потрібно довести, що виконується нерівність

:

Далі знаходимо

(а)

подаються у загальному вигляді

і т. д.

А звідси випливає

(b)

маємо

(c)

Додавши (b) і (c), дістанемо

, оскільки

(d)

Тепер згідно з (d) дістанемо

(e)

звідки

(f)

(44)

— матриця стаціонарних імовірностей.

Для регулярних ланцюгів Маркова довготривале поводження системи
(процесу) не залежить від початкового стану, з якого система почала
функціювати.

:

.

Розв’язання. Визначивши граничну матрицю

,

дістанемо

;

буде однакова й дорівнюватиме 0,171.

2. Знаходження фундаментальної матриці

Щоб обчислити очікувану кількість кроків, що їх має здійснити система
(процес) для регулярного марковського ланцюга, аби повернутися до
певного фіксованого можливого стану, використовують фундаментальну
матрицю, яку умовно позначають Z.

Нехай ( — однокрокова матриця ймовірностей переходу системи з одного
стану до іншого, а W — її гранична матриця.

дістанемо

(45)

Таким чином, доведено, що коли ( є однокроковою матрицею ймовірностей
переходу для регулярного ланцюга Маркова, то матриця

(46)

є фундаментальною для цього ланцюга.

Приклад 22. Для даної матриці

регулярного ланцюга Маркова знайти фундаментальну матрицю Z.

Розв’язання. Насамперед знайдемо граничну матрицю

,

а далі матрицю

Тоді

Як бачимо, елементи матриці Z набувають від’ємних значень.

Застосовуючи фундаментальну матрицю Z для регулярних ланцюгів Маркова,
обчислюють числові характеристики, що описують поводження цих ланцюгів.

матриці

, (47)

що міститься на перетині і-го рядка та j-го стовпця.

Тут Е — одинична матриця (усі її елементи дорівнюють одиниці):

— діагональна матриця, діагональні елементи якої збігаються з
діагональними елементами матриці Z;

обчислюється так:

Приклад 23. Статистична обробка спостережень метеослужби, здійснюваних
улітку для певного міста України, дала такі результати:

якщо певний день був теплим і безхмарним, то ймовірність, що така сама
погода лишиться й наступного дня, дорівнює 0,6; імовірність того, що
вона зміниться на вітряну погоду, дорівнює 0,25, а на дощову — 0,15;

коли ж погода була вітряна, то ймовірність того, що вона такою самою і
залишиться наступного дня, дорівнює 0,32, а ймовірність того, що вона
зміниться на тиху сонячну погоду, дорівнює 0,46, і на дощову — 0,22;

а якщо погода була дощова, то ймовірність того, що вона не зміниться й
наступного дня, дорівнює 0,26, а ймовірність того, що зміниться на
вітряну або сонячну тиху погоду, становить відповідно 0,29 і 0,45.

Виконати такі завдання:

1) побудувати матрицю однокрокового переходу (;

Розв’язання. 1) Запишемо матрицю

— відповідно сонячна, вітряна та дощова погода.

, потрібна фундаментальна матриця Z, яка подається через граничну
матрицю

Тепер маємо:

звідки

знаходимо:

Остаточно маємо:

Отже, якщо сьогодні, наприклад, погода тиха й сонячна, то середня
кількість днів до найближчого вітряного дня становитиме 3,6, а до
похмурої дощової погоди — 6 (5,905).

Коли ж дощова погода, то середня кількість днів до тихої сонячної погоди
наближено дорівнює 3 (2,795).

, знайдемо:

;

Отже, остаточно дістаємо:

Похожие записи