РЕФЕРАТ

на тему:

Проекції: основні типи

Проекції

У наш час найбільш поширені пристрої відображення, які синтезують
зображення на площині — екрані дисплея або папері. Пристрої, що
створюють істинно об’ємні зображення, доки що зустрічаються досить
рідко. Але все частіше з’являються відомості щодо таких розробок,
наприклад, про об’ємні дисплеї або навіть про тривимірні принтери .

При використанні будь-яких графічних пристроїв зазвичай використовують
проекції. Проекція задає спосіб відображення об’єктів на графічному
пристрої. Ми будемо розглядати тільки проекції на площину.

Світові й екранні координати

При відображенні просторових об’єктів на екрані або на аркуші паперу за
допомогою! принтеру необхідно знати координати об’єктів. Ми розглянемо
дві системи координат. Перша — світові координати, котрі описують
істинне положення об’єктів у просторі із заданою точністю. Друга —
система координат пристрою відображення, в якому здійснюється вивід
зображення об’єктів у заданій проекції. Назвемо систему координат
графічного пристрою екранними координатами (хоча цей пристрій і не
обов’язково повинен бути подібним монітору комп’ютера).

Нехай світові координати будуть тривимірними прямокутними координатами.
Де повинен розміщуватися центр координат, і якими будуть одиниці
вимірювання вздовж кожної осі, для нас зараз не дуже важливо. Важливо
те, що для відображення ми будемо знати будь-які числові значення
координат об’єктів, що відображаються.

Для отримання зображення в певній проекції необхідно обчислити
координати проекції. Для синтезу зображення на площині екрана або папері
використаємо двовимірну систему координат. Основне завдання — визначити
перетворення координат із світових в екранні.

Основні типи проекцій

У комп’ютерній графіці найбільш поширені паралельна й центральна
проекції.

Для паралельної проекції промені проецирування паралельні. Для
центральної проекції (також називається перспективною) промені
проецирування виходять з однієї точки простору.

Паралельну проекцію можна також вважати різновидом центральної, для якої
точка сходу променів проецирування розташовується в безкінечності.

Аксонометрична проекція

Аксонометрична проекція — це різновид паралельної проекції. Для неї всі
промені проектування розташовуються під прямим кутом до площини
проецирування.

На рис. 2.16 надано приклад зображення каркасу куба та осей координат в
аксонометричній проекції.

Розглянемо, як виконати проецирування, щоб побудувати таке зображення.
Уведемо нову систему координат (X, Y, Z), повернуту відносно системи (х,
у, z) на кути ? та ?. Розташуємо площину проецирування паралельно
площині XQY на відстані Zпл. Позначимо координати в площині
проецирування як ХПР та YПР (рис. 2.17).

Нам потрібно знайти співвідношення між координатами (х, у, z) та
координатами (ХПР, YПР) для будь-якої точки в тривимірному просторі.

Спочатку можна вказати на окремий тривіальний випадок, коли координати
проекції співпадають із світовими, тобто ХПР = х, YПР = у. Це буде вид
зверху — для нього кути повороту ? = О, ? = 0.

Тепер розглянемо перетворення системи координат (х, у, z) у систему (X,
Y, Z) для довільних кутів (?, ?). Визначимо це перетворення двома
кроками.

1-й крок. Поворот системи координат відносно осі z на кут ? — отримуємо
систему координат (х’, у’, z’ ). Такий поворот осей описується матрицею

2-й крок. Поворот системи координат (х’, у’, z’) відносно осі х’ на кут
? — маємо координати (X, Y, Z).

Матриця повороту

Перетворення координат виразимо добутком ВхА:

Запишемо перетворення координат у вигляді формул:

Х = х cos ? -y sin ?,

Y = х sinacos ? + у cosacos ? — z sin ?,

Z = x sinasin ? + у cosasin ? + z cos ?.

Оскільки площина проецирування розташовується паралельно площині (XOY),
а промені проецирування перпендикулярні цій площині, то

ХПР = X,

YПР = Y,

ZПР — Z- ZПЛ.

Можна назвати систему координат (X, Y, Z) видовою системою координат.
Вона визначає ракурс показу. Тривимірна система координат проекції (ХПР,
YПР, ZПР) зсунута відносно системи (X, Y, Z) на ZПЛ. Для візуалізації
зображення достатньо знати двовимірні координати ХПР та YПР.

Як ви вважаєте, чи буде отримана та ж сама проекція, якщо описувати
видове перетворення координат тими ж двома кроками, але в іншій
послідовності — спочатку поворот системи координат відносно осі х на кут
?, а потім поворот системи координат відносно осі z’ на кут ?? І чи
будуть вертикальні лінії у системі координат (х, у, z) рисуватися також
вертикальними в системі координат (X, Y, Z)? Інакше кажучи, чи
виконується АхВ – ВxА.

Ракурс показу і видове перетворення. У розглянутому вище прикладі видове
перетворення координат — це тільки повороти. Центральний промінь
проецирування тут спрямований з центру координат (х, у, z) у центр (X,
Y, Z). Але зовсім не обов’язково, щоб центр координат розташовувався в
центрі площини проецирування.

Для формування зображення об’єктів тривимірного простору в будь-якому
ракурсі необхідно виконати відповідне видове перетворення. Розглянемо це
на наступному прикладі.

Нехай камера (або спостерігач) розташовується в точці простору з
координатами (хс, ус, zc). Уведемо також кути нахилу камери (? та ?)
так, як вже було розглянуто вище. Будемо вважати, що точка спостереження
знаходиться на осі Z видових координат, а напрямок зору — протилежно
напрямку осі Z.

Запишемо перетворення із системи координат опису об’єктів у видові
координати.

Перемноживши матриці поворотів та зсуву, отримаємо матрицю видового
перетворення. Необхідно зазначити, що таке перетворення не є загальною
формою визначення ракурсу. Щоб змоделювати, наприклад, повороти
зображення, яке бачить пілот літака, можна ввести і повороти навколо осі
Z видових координат.

Розглянемо ще один приклад видового перетворення. Нехай потрібно
змоделювати камеру, яка дивиться в точку простору (хр, ур, zp) із
відстані d. Кути нахилу камери задано значеннями а та ?. Рішення —
матриця видового перетворення координат

дорівнює добутку таких матриць:

У загальному випадку видове перетворення є тривимірним афінним
перетворенням координат. Видове афінне перетворення включає в себе
повороти, зсув, а якщо потрібно — то і розтягнення/стискання. Це
дозволяє імітувати повороти камери, розташування камери в потрібному
місці та збільшення/зменшення. Найбільш наочно це виглядає в
перспективній проекції.

Перспективна проекція

Перспективну (центральну) проекцію спочатку розглянемо для вертикального
розташування камери, коли а = ? = 0. Таку проекцію можна собі уявити як
зображення на склі, через яке дивиться спостерігач, розташований зверху
в точці (х, у, z) = (0, 0, zк). Тут площина проецирування паралельна
площині (х 0 у). Будемо вважати тотожними розташування точки сходу
променів проецирування і камери.

Виходячи з подібності трикутників, запишемо такі пропорції:

Знайдемо координати проекції, враховуючи також координату ZПР:

Запишемо такі перетворення координат у функціональному вигляді

де П— функція перспективного перетворення координат

У матричній формі перетворення координат можна записати так:

Зверніть увагу на те, що тут коефіцієнти матриці залежать від координати
z (у знаменнику дробу). Це означає, що перетворення координат є
нелінійним (а точніше, дробнолінійним), воно відноситься до класу
проективних перетворень.

Ми отримали формули обчислення координат проекції для випадку, коли
точка сходу променів знаходиться на осі z. Тепер розглянемо загальний
випадок. Уведемо видову систему координат (X, Y, Z), яка вільно
розташована у тривимірному просторі (х, у, z). Нехай точка сходу
знаходиться на осі Z видової системи координат, а напрямок огляду —
уздовж осі Z протилежно її напрямку. Будемо вважати, що перетворення у
видові координати описується тривимірним афінним перетворенням

Після обчислення координат (X, Y, Z) можна обчислити координати в
площині проецирування згідно з формулами, вже розглянутими нами раніше.
Оскільки точка сходу знаходиться на осі Z видових координат, то

Послідовність перетворення координат можна описати так :

Таке перетворення координат дозволяє моделювати розташування камери в
будь-якій точці простору й відображати в центрі площині проецирування
будь-які об’єкти огляду.

Площина проецирування може розташовуватися як перед точкою сходу, так і
позаду неї.

Позначимо індексами «+» та «-» координати відповідно для тильної та
передньої площин проецирування. Наприклад, видову координату Z тильної
площини позначимо як ZПЛ+. Далі, позначимо відстань по осі Z від точки
сходу до тильної площини через F+. Вона дорівнює F+ = -(ZK — ZПЛ+).

Відстань від точки сходу до передньої площини проецирування F- = ZK —
ZПЛ+

Запишемо двовимірні координати проекції для тильної площини

і для передньої площини

Якщо площини проецирування розташовуються симетрично відносно точки
сходу (коли F+ = -F_), то .об’єкти зображення для обох площин мають
однакові розміри, але на тильній площині перевернуті. Аналітичне це
можна описати так:

Тепер поставимо таке питання — як оптимально розташувати центр видових
координат? Для спрощення формул перетворення з видових координат у
координати проекції можна розташувати центр видових координат у точці
сходу променів — тобто ZK = 0 (так зроблено, наприклад, в OpenGL). Тоді
співвідношення

при ZK = 0 матимуть наступний вигляд:

Тепер розглянемо ще один аспект центрального проецирування. Нехай точка
сходу розташовується будь-де на осі Z видових координат, а площина
проецирування — перпендикулярно цій осі. Будемо вважати, що зображення
формується в межах прямокутного фрагмента площини проецирування. Розміри
прямокутника –сх*су.

Кути огляду по горизонталі та вертикалі можна обчислити за формулами

Назвемо відстань точки сходу до площини проецирування F- = ZK — ZПЛ
фокусною відстанню. Таку назву використаємо по аналогії з оптичними
приладами.

Ви, мабуть, колись фотографували або робили зйомки відеокамерою.
Об’єктив фотоапарата або об’єктив відеокамери часто характеризують
фокусною відстанню. Довгофокусні об’єктиви дають можливість вести зйомку
з далекої відстані — вони збільшують зображення потрібних об’єктів.
Короткофокусні об’єктиви використовують для забезпечення широкого куту
зйомки. Зручними є об’єктиви зі змінною фокусною відстанню
(трансфокатори) — вони дозволяють оперативно налаштувати потрібний
ракурс зйомки.

Спільною рисою розглянутого вище способу центрального проецирування й
зйомки оптичними приладами є наступне: чим більша фокусна відстань, тим
менший кут огляду, об’єкти зображення збільшуються, й навпаки, при
зменшенні фокусної відстані збільшується кут огляду, об’єкти зображення
зменшуються.

Можна сказати, що на цьому аналогія з оптичними пристроями закінчується.
Наприклад, оптичні об’єктиви дають різке зображення тільки для об’єктів,
розташованих на певній відстані, а наше графічне проецирування дає різке
зображення всіх об’єктів незалежно від їхньої відстані до точки сходу.
Крім того, в оптичних приладах мають місце багато факторів погіршення
зображення — аберації, дисторсії тощо. Для моделювання різноманітних
властивостей реальних оптичних приладів у комп’ютерній графіці
розроблені відповідні методи.

Важливим фактором отримання реалістичних зображень при використанні
пласких проекцій є узгодження кутів огляду під час зйомки (синтезу
проективного зображення) та кутів огляду під час перегляду синтезованого
плаского зображення на екрані або на папері.

Для найкращого сприйняття зображення необхідно, щоб а3 = аог. Інакше —
це сприймається як спотворення геометрії об’єктів.

Для кут зйомки майже вдесятеро більший за кут перегляду (тут вважається,
що під час перегляду ви дивитеся на цей малюнок книги з відстані десь
близько 30 см). Наступне зображення цих самих об’єктів сприймається як
реалістичніше.

Для зменшення кута зйомки потрібно збільшувати фокусну відстань. Але при
цьому зображення збільшується. Для збереження середнього масштабу
зображення при формуванні проекції для рис. точку сходу та площину
проецирування віддалено від об’єктів.

Порівнюючи рис. та рис., можна зробити такий висновок. Зйомка
довгофокусним об’єктивом із далекої відстані дає зовсім інше зображення,
порівняно зі зйомкою короткофокусним об’єктивом зблизька, навіть якщо
окремі об’єкти сцени відображаються з майже однаковим масштабом. В
останньому випадку сприйняття перспективи глибше (це відомо кожному
фотографу та оператору). Визначальним фактором сприйняття перспективи є
відстань об’єктів до точки спостереження. Коли точка спостереження
(точка сходу) в безкінечності, то перспективна проекція переходить в
паралельну.

Укажемо тепер основні властивості перспективного перетворення. У
центральній проекції на площину:

• прямі лінії зооражуються прямими лініями

• відношення довжин і площ не зберігається;

• паралельні прямі, які паралельні площині проецирування, зображуються
як паралельні прямі;

• паралельні прямі, які не є паралельними відносно площини
проецирування, зображуються пучком прямих, що сходяться в одній точці.

Похожие записи