Пошукова робота на тему:

Поняття множини. Змінні та постійні величини. Функція, область
визначення. Лінії та поверхні рівня. Способи задання. Графіки, їх
перетворення. Основні елементарні функції та їх графіки. Поняття
неявної, складної та оберненої функції.

План

Поняття множини.

Множина дійсних чисел.

Змінні та постійні величини.

Функція однієї  та декількох змінних   , область визначення.

Способи задання.

Основні елементарні функції та їх графіки.

Поняття неявної, складної та оберненої функцій

ВСТУП ДО АНАЛІЗУ

1. Поняття  множин

Множина – одне з найпростіших (первісних) математичних понять, яке не
можна означити через інші, ще простіші поняття. Його можна пояснити
тільки за допомогою рівнозначних понять або на окремих прикладах.

Під множиною розуміють сукупність об’єктів об’єднаних в цю сукупність за
певними ознаками. Наприклад, можна говорити про множину студентів даного
курсу, множину чисел у натуральному ряді, множину сторінок у книжці
тощо.

Множини позначають великими буквами латинського і грецького алфавітів.
Об’єкти, що входять до складу множини, називають її елементами і
позначають малими буквами алфавіту. Задати множину – це означає задати
характеристику її елементів, за допомогою якої про будь-який об’єкт
можна встановити, належить він цій множині чи ні. Так множину студентів
даного курсу задають списком. Множина парних чисел характеризується тим,
що кожний її елемент ділиться на число 2.

”.

 позначено будь-який елемент множини, то записують:

.

Цей факт записують так:

”. Наприклад, кожний елемент множини, елементами якої є парні додатні
числа, належить також і множині натуральних чисел.

Якщо множина містить безліч елементів, то її називають нескінченною, у
противному разі – скінченою.

.

Для множини введемо такі операції.

і записують: 

може пробігати  як  скінчену, так і нескінченну множину значень, то
об’єднання позначають так:

і записують:

, то переріз цих множин позначають так:

.

і записують :

2.  Множина дійсних чисел

Множина дійсних чисел складається з раціональних та ірраціональних
чисел.

— будь-які

Числа, виражені нескінченними

Основні властивості множини дійсних чисел відомі із шкільного курсу
математики. Зупинимось докладніше на понятті абсолютної величини
(модуля) дійсного числа.

 і за означенням

 до точки відліку 0. На основі геометричного змісту модуля дійсного
числа можна довести такі властивості:

Сформулюємо ряд теорем, що виражають властивості модуля дійсного числа.

 не перевищує суми модулів цих чисел:

Теорема 2. Модуль різниці не менший за різницю модулів зменшуваного і
від’ємника, тобто

дорівнює добутку модулів цих співмножників:

Теорема 4. Модуль частки дорівнює частці від ділення модуля діленого на
модуль дільника:

3.  Найпростіші множини дійсних чисел

Дамо означення найпростіших числових множин.

Між множиною дійсних чисел і множиною точок числової осі існує взаємно
однозначна  відповідність. Тому в математичному аналізі часто
користуються множинами точок, розміщених на числовій осі.

числової осі), які задовольняють нерівності

 і читають :

числової осі), які задовольняють нерівності

”.

числової осі, які задовольняють нерівності:

Зауважимо, що інтервали, півінтервали і піввідрізки можуть

бути й нескінченними і означати:

що задовольняють нерівності

                             

5.2. Функції

5.2.1.Функція. Область визначення і множина значень функції

            У природі та різних науках про природу зустрічаються
величини, які при даних умовах або навіть за будь-яких умов: мають одне
й те саме значення. Такі величини називають сталими. Якщо значення
величини змінюється, то таку величину називають змінною.

.

.

 та що нового виникає при переході від функції однієї змінної до
функцій багатьох змінних.

            Функцію можна задавати різними способами, і ніяких обмежень
на форму не накладається. Ми лише назвемо ці способи: аналітичний,
словесний, графічний, табличний і програмний.

). Надалі, якщо не буде оговорено окремо, під функцією розумітимемо
однозначну функцію.

            Назвемо діаметром область /відкритої чи замкненої/ точно
верхню границю взаємних віддалей будь-яких пар точок, що належать
області.

            Приклади  .

 координати яких незалежно одна від другої задовольняють нерівності

— мірним) „прямокутним паралелепіпедом”.

            Зокрема,

;

 

;

 

;

            Якщо у наведених співвідношеннях виключити рівність

то цим означається відкритий „прямокутний паралелепіпед”

.

, означену нерівністю

),

. Зокрема,

 є відрізок;

 є круг;

 є сфера.

також розглядаємо як окіл цієї точки.

Геометричне тлумачення функції.

 називають рівнянням кривої.

 називається множина точок координатної площини, абсцисами яких є
допустимі значення аргументу, а ординатами – відповідні їм значення
функції.

.  

            Геометричне зображення функції трьох і більшого числа 
змінних не має простого геометричного змісту. В окремих випадках можна
отримати наочне геометричне представлення про характер зміни функції,
розглядаючи її лінії рівня (або поверхні рівня), тобто лінії (або
поверхні), де дана функція зберігає стале значення.

— довільна стала.

                          Рис.5.1                            Рис.5.2

 тощо.

 для яких ця функція має одне і те саме значення (ізоповерхні).

            Лінії і поверхні рівня постійно зустрічаються на практиці.
Наприклад, з’єднавши на карті поверхні Землі точки з однаковою середньою
температурою або з однаковим середньодобовим тиском, матимемо відповідно
ізотерми та ізобари.

           

5.2.2. Елементарні функції та їх класифікація

(рис.5.3).

.

 (рис.5.4).

— спадає.

Область зміни логарифмічної функції складає множина всіх дійсних чисел.

(рис.5.5, 5.6).

.

            Тригонометричні функції (рис.5.7, 5.8, 5.9, 5.10).

 мають областю визначення всі

. Множиною значень кожної з цих функцій є

.

.

.

            Обернені тригонометричні функції  (рис.5.11, 5.12, 5.13,
5.14).

.

.

, крім відповідно

 .

                       Рис.5.3                                   
         Рис.5.4

                     Рис.5.5                                     Рис.5.6

     Рис.5.7                                     Рис.5.8

              Рис.5.9                             Рис.5.10

                Рис.5.11                           Рис.5.12

            Рис.5.13                     Рис.5.14

.

Окремі класи функцій.

виконується нерівності:

Зростаючі, неспадні, спадні та незростаючі функції називаються
монотонними.

Приклад.

.

 називається:

Зауваження.   Графік парної функції  симетричний відносно осі ординат, а
графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

  справджується рівність

.

.

5.3. Поняття неявної, складної та оберненої функції

5.3.1. Неявна функція

 називається неявною, якщо вона задана рівнянням

                                     (5.1)

Можливі випадки:

1)      рівняння (5.1) не задовольняється жодною парою чисел

, тому вона не задає ніякої функції;

2) рівняння (5.1) задовольняється лише однією парою чисел

), тому воно не задає ніякої залежності;

3) рівняння (5.1)  задовольняється різними парами чисел

.

:

.

            Нехай тепер маємо рівняння

,                              (5.2)

рівняння (5.2) перетворює на тотожність.

, яку будемо називати неявно заданою рівнянням (5.2) або неявною
функцією.

 змінних, за аналогією із викладеним, можна ввести

 змінної.

5.3.2. Складна функція

            Розглянемо спочатку функції однієї змінної.

.

            Розглянемо функції багатьох змінних. Тут ми маємо два
напрямки.

. Тоді функція

.

            Наприклад:

.

, аргументи якої, в свою чергу, залежать від двох або більшого числа
змінних:

.

Тоді функція

.

.

5.3.3. Поняття оберненої функції

. Візьмемо будь-яке значення

. Областю. визначення оберненої функції є область зміни даної функції.

            Приклади.

 (рис.5.15).

, буде двозначною (рис.5.16).

                  Рис.5.15                                      
Рис.5.16

 (рис.5.17).

.

                Рис.5.17                                    Рис.5.18

  відносно бісектриси першого координатного кута (рис.5.18).

   

Похожие записи