Реферат на тему:

Функціональні ряди

Поняття функціонального ряду

Означення. Ряд

, (9.10)

є функції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х0
ряд (9.10) перетворюється на числовий

(9.11)

Якщо ряд (9.11) збігається (розбігається), то кажуть, що при х=х0
збігається (розбігається) функціональний ряд (9.10).

Означення. Усі значення аргументу х, при яких функціональний ряд
збіжний, називаються областю збіжності функціонального ряду.

В області збіжності існує границя часткових сум функціонального ряду

,

— сума ряду.

називається залишком ряду.

.

така нерівність:

.

.

Властивості рівномірно збіжних рядів

1. Сума рівномірно збіжного ряду неперервних функцій є неперервна
функція.

2. Якщо ряд (9.11) рівномірно збіжний на інтервалі (а; b) та існують
границі

то виконується рівність

, то

, то

У загальному випадку, при дослідженні на збіжність функціонального ряду
використовується та сама методика, що і для знакозмінного ряду.

Приклад. Знайти область збіжності ряду

. Цей ряд буде знакододатний. Отже, маємо право застосовувати до нього
ознаку Даламбера, при цьому х вважатимемо деяким параметром:

За ознакою Даламбера ряд буде збігатись, якщо

.

. У цій області ряд збігається абсолютно.

Степеневі ряди

Означення. Функціональний ряд

(9.12)

називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

Розглядають і більш загальний вигляд степеневого ряду

(9.13)

Якщо в (9.13) візьмемо х – с = у, то дістанемо ряд типу (9.12), тому
властивості ряду (9.12) неважко перефразувати і для ряду (9.13).

Теорема 14 (Абеля). Якщо степеневий ряд (9.12):

;

.

Ілюстрацію до теореми Абеля наведено на рис. 9.2.

Рис. 9.2

Інтервал і радіус збіжності

степеневого ряду

Як наслідок із теореми Абеля для степеневого ряду (9.12) існує інтервал
збіжності з центром у точці х = 0 (рис. 9.3).

Рис. 9.3

ряд є розбіжним; при цьому число R > 0 називається радіусом збіжності
степеневого ряду.

має центр симетрії в точці х = с.

Зауваження. На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках х = 

ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує
спеціального дослідження в кожному випадку.

Виведемо формулу для знаходження радіуса збіжності ряду (9.12). Для
цього побудуємо ряд із абсолютних величин членів ряду (9.12):

(9.14)

. Тоді, застосовуючи ознаку Даламбера до ряду (9.14), дістаємо:

.

. Радіус збіжності визначається за формулою

. (9.15)

.

Зауваження. Формулами (9.1) і (9.16) можна користуватися лише в тих
випадках, коли указані границі існують. У загальному випадку дослідження
збіжності степеневого ряду виконується за такою самою методикою, що і
для довільного функціонального ряду, наприклад такою, що була
використана під час виведення формули радіуса збіжності (9.15).

.

. За формулою радіуса збіжності (9.15) маємо:

.

.

Приклад. Знайти область збіжності ряду

, до якого застосуємо ознаку Даламбера

.

Проведемо дослідження збіжності ряду на кінцях інтервалу збіжності:

. Одержали ряд Лейбніца, який умовно збігається.

буде областю збіжності ряду.

Диференціювання та інтегрування

степеневих рядів

, а тому на такому відрізку його можна почленно диференціювати та
інтегрувати, при цьому мають місце рівності:

.

N

N

`

Oe

O

u

J ? 1/4 Oe O th

F

H

J

L

p

r

?

?

?

?

?

h

O

/iaOOE»EEEEEE»?»E»E»

? ?

O

jJ

jC

jG

jg

jr

j‹

jAE

jA

jI

j

j

й степеневими рядами.

Ряди Тейлора і Маклорена

Формули, що подають функцію f(x) у вигляді степеневих рядів, мають
вигляд:

(9.17)

(9.18)

Кажуть, що ряд Маклорена (9.17) дає розвинення функції в ряд поблизу
точки х = 0, а ряд Тейлора (9.18) — поблизу точки х = с. Справді, як
далі буде показано, чим ближче х до точки розвинення функції f(x) у ряд,
тим меншою кількістю членів ряду буде досягнуто більшої точності при
обчисленні f(x).

збігається абсолютно.

.

( Знайдемо значення функції та її похідних при х = 0:

.

, який у формі Лагранжа такий:

(9.19)

Тоді ряд Маклорена (9.17) набирає вигляду формули Маклорена

(9.20)

Ряд Маклорена для деяких

елементарних функцій

.

Область збіжності (–1; 1).

Область збіжності [–1; 1]. (9.21)

Використовуючи ці формули, можна у ряді випадків записати розвинення
функції в ряд Маклорена без обчислення коефіцієнтів цього ряду (без
обчислення похідних функцій).

і знайти область збіжності ряду.

тоді дістанемо:

.

Застосування рядів для наближених обчислень

Розвинення функцій у степеневі ряди використовується для наближеного
обчислення значень функцій, визначених інтегралів, наближеного
розв’язування рівнянь і т. ін. При цьому в ряді Маклорена чи Тейлора для
даної функції залишають кілька перших членів (як правило, не більше
трьох), а решту відкидають. Похибка при наближених обчисленнях являє
собою суму відкинутих членів ряду — залишок ряду. Для оцінки похибки,
якщо ряд знакосталий, залишок ряду порівнюють із рядом нескінченно
спадної геометричної прогресії. Якщо ряд знакопочерговий, то за
наслідком теореми Лейбніца похибка за абсолютною величиною не перевищує
першого із відкинутих членів ряду.

.

. Тоді дістанемо:

.

.

, яке має розв’язки х1 = 1, х2 = –2.

Рис. 9.4

Із рис. 9.4 видно, що х2 = –2 не буде розв’язком початкового рівняння.

Отже, рівняння має єдиний розв’язок, наближене значення якого х = 1.

.

відповідними рядами Маклорена

з точністю до 0,001.

( Оцінимо похибку наближеної рівності

(9.22)

Ця похибка визначиться залишком ряду

. Отже, маємо таку оцінку залишку ряду

. (9.23)

маємо:

(9.24)

в (9.23).

(9.25)

з точністю до 0,01 достатньо залишити в (9.24) тільки такі члени:

Ряд Фур’є

На практиці часто доводиться мати справу з періодичними процесами, що
описуються кусково-гладкими функціями. Такі функції подають не
степеневими, а тригонометричними рядами.

, якщо на цьому відрізку виконуються такі умови:

має скінченне число розривів першого роду;

має скінченне число екстремумів;

.

може бути визначена тригонометричним рядом Фур’є:

(9.26)

обчислюються за такими формулами:

,

.

, то її ряд Фур’є збіжний, а його сума в точці х0 дорівнює:

— неперервна в точці х0;

у ряд Фур’є на проміжку (0; 2?).

в (9.26):

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

розбіжність

розбіжність

Абсолютна

збіжність

Розбіжність

Розбіжність

0

Збігається

абсолютно

Розбігається

Розбігається

0

R

R

Похожие записи