Реферат
на тему: “Похідна суми, добутку та частки
з наведеними прикладами”.
Теорема: Якщо функції u(x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервалу
]a; b[, то
(u(x)((x))’ = u’(x)((’(x)
для любого х є ]a; b[. Кортше,
(u(()’ = u((’
Доведення: Суму функцій u(x)+((x), де х є ]a; b[, яка представляє собою
нову функцію, позначим через f(x) і найдем похідну цієї функції,
Нехай х0 – деяка точка інтервала ]a; b[.
Так як
х0 – допустима точка інтервала ]a; b[, то маєм:
Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.
Наприклад,
Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість
формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.
Теорема. Якщо функції u(x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервала
]a; b[, то
для любого х є ]a; b[. Коротше,
х є ]a; b[, і найдем похідну цієї функції, виходячи із опреділення.
Нехай х0 – деяка точка інтервала ]a; b[. Тоді
Навіть так як
то
Так як х0 – вільна точка інтервала ]a; b[, то маєм
Теорема доведена.
Приклад,
Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про
похідну де а – число, отримаєм
Приклади.
Похідна частки двох функцій .
для любого х є ]a; b[, то
для любого х є ]a; b[.
використовуючи опреділення похідної.
Нехай х0 – деяка точка інтервала ]a; b[.
Тоді,
Навіть, так як
то
і послідовно
Так як х0 – вільна точка інтервалу ]a; b[, то в послідній формулі х0
можна замінити на х. Теорема доведена.
Приклади.
Формули (3) (стор 20) [2] Д.М. Роматовський “Збірник задач з ТМ”.
Літ [4] табл.6 стор 323 А.М. Кменжова і В.А. Малов “Довідник з ТМ” т.І.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter