Реферат на тему:

Особливі границі

Границі — наслідки першої особливості границі:

для виразів з тригонометричними функціями.

Приклад.

Приклад.

Границі — наслідки другої особливої границі:

.

.

Зауваження: За допомогою другої особливої границі та її на-

слідків можна досліджувати невизначеності

.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

.

Еквівалентні нескінченно малі величини

, бо

якщо

:

x ( sinx ( tgx ( arcsinx ( arctgx ( ex – 1 (ln (x + 1).

буде: e3x – 1 ( 3x; sin 5x ( 5x і т.п.

.

Приклад.

набуває всіх проміжних значень між числами А і В.

, то вона набуває на цьому проміжку своїх найбільших й найменших
значень

(рис. 3.17).

Рис. 3.17

3.5.3. Класифікація точок розриву функцій

якщо порушується хоча б одна з умов рівності

Розрізняють точки розриву 1-го і 2-го роду. Розриви 1-го роду бувають
усувні й неусувні; розриви 2-го роду — завжди неусувні.

, якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь (зліва
чи справа).

можна побудувати функцію

Методика дослідження функцій на неперервність.

.

@

p

?

th .

@

p

?Т?Т?p

?

gdUegA

і обчислити односторонні границі функції у цих точках.

Рис. 3.18

графік функції підходить до цих точок так, як показано на рис. 3.18.

До точки Р1 графік підходить зліва і зверху, а до точки Р2 — справа і
знизу.

На кожному з інтервалів області визначення функція буде неперервна, як
суперпозиція неперервних елементарних функцій. Скінченною граничною
точкою D функції буде х = 1. Обчислимо такі границі:

поблизу точки розриву показано на рис. 3.19. Зауважимо, що гранична
точка Р2 (1 + 0; + () лежить на нескінченності.

Рис. 3.19 Рис. 3.20

( Ця функція буде неперервною на кожному з проміжків

— не існують. Отже, точка

х = 0 — точка розриву функції 2-го роду.

поблизу самої точки розриву не можна (рис. 3.20).

.

( Скорочений запис розв’язування задачі:

— неперервна, як суперпозиція елементарних функцій.

х = 0 — с.г.т. D(y).

Рис. 3.21

Таким чином, точка х = 0 є точкою розриву функції 1-го роду (розрив
усувний), бо односторонні границі існують і рівні між собою (сама
функція при х = 0 не існує).

зливаються в одну точку (рис. 3.21).

функція перепишеться так:

функція неперервна. Розглянемо односторонні границі функції у точці х
= – 2.

Рис. 3.22

Отже, точка х = – 2 — точка розриву 1-го роду (розрив неусувний), бо
односторонні границі функції у цій точці існують, але не рівні між
собою.

(рис. 3.22).

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

Похожие записи