Реферат на тему:

Обернені тригонометричні функції. тригонометричні рівняння

Обернена функція

.

.

. При цьому виконуються рівності:

; (1)

.

симетричні відносно бісектриси першого координатного кута.

подамо рівності (1) у вигляді:

; (2)

.

симетричні відносно бісектриси першого координатного кута (див.
рисунок).

Графік і властивості функції y = arcsin x

, називається арксинусом (див. рисунок).

і задовольняє такі нерівності:

. (1)

:

. (2)

:

; (3)

.

— непарна, тобто

. (4)

Корисно запам’ятати такі формули:

;

; (5)

;

.

.

Виконуємо обчислення:

.

.

.

Графік і властивості функції y = arccos x

, називається арккосинусом (див. рисунок).

і задовольняє такі нерівності:

. (1)

:

. (2)

випливає рівність:

,

звідки знаходимо формулу

. (3)

, дістаємо:

. (4)

:

;

. (5)

Корисно запам’ятати такі формули:

;

;

. (6)

.

.

.

.

Графік і властивості функції y = arctg x

, називається арктангенсом (див. рисунок).

монотонно зростає, непарна і задовольняє нерівності:

. (1)

При цьому виконуються граничні співвідношення:

. (2)

:

. (3)

набуває таких значень:

; (4)

.

Корисно запам’ятати деякі формули:

,

, (5)

,

.

.

.

.

.

Виведемо формулу для суми арктангенсів.

.

Знаходимо значення

.

Звідси маємо:

. (6)

.

.

.

.

.

Графік і властивості функції y = arcctg x

називається арккотангенсом (див. рисунок).

монотонно спадає і задовольняє нерівності:

. (1)

При цьому виконуються граничні співвідношення:

. (2)

:

. (3)

Розглядаючи графіки арктангенса і арккотангенса, доходимо висновку, що
завжди виконуються рівності:

; (4)

. (5)

Наведемо табличні значення арккотангенса:

;

. (6)

Корисно запам’ятати такі формули:

,

, (7)

,

.

.

.

.

Розглянемо складніші приклади обчислення значень обернених
тригонометричних функцій.

.

,

.

Остаточно маємо:

.

.

.

.

.

.

;

.

.

, тоді

,

.

.

За формулою для суми арктангенсів знаходимо:

;

;

.

.

. Тоді

.

Рівняння з оберненими

тригонометричними функціями

Розв’язуючи рівняння з оберненими тригонометричними функціями,
застосовують тригонометричні функції.

.

.

також є коренями вихідного рівняння.

.

, дістанемо рівняння

до обох частин рівняння:

;

.

не задовольняє рівняння.

.

.

;

.

Розглядаємо два випадки:

не має розв’язків;

.

не задовольняє рівняння, оскільки

.

.

.

;

;

.

.

,

.

не задовольняє вихідне рівняння.

.

.

Основні найпростіші

тригонометричні рівняння

Обернені тригонометричні функції використовуються для розв’язування
тригонометричних рівнянь. Розглянемо найпростіші способи розв’язування
тригонометричних рівнянь.

має розв’язки, які можна визначити за формулою

(1)

Розв’язування ілюструє рис. 1.

Рис. 1.

користуються іншими формулами:

можна записати у вигляді (1):

або, у рівносильній формі:

не має дійсних розв’язків.

дістаємо:

має такі розв’язки (рис. 2):

(2)

Рис. 2.

мають такі розв’язки:

За формулою (2) маємо:

має такі розв’язки (рис. 3):

(3)

Рис. 3.

За формулою (3) знаходимо:

V

$

?

?

?

$

&

L

N

P

R

f

h

?

®

A

O

U

jo

a u ue $

&

L

N

P

R

V

X

~

?

?

?

?

1/4

1/4

3/4

A

Ae

e

i

i

?

o

o

?

?

?

&

&

F

?

?

?

?

&

&

?

?

j

j

??????????

?

&

?

j

???????????????

j

&

F

&

F

&

?

&

&

&

F

?

j{

j6

&

&

&

?

?

&

F

&

F

?

&

F

j

aLaNa?aoebIcoaUooUEoo»o°oo¤¤oo

?

&

&

&

&

F

?

&

&

?

&

&

?

j

oaUooEU?o®coUoUoU

?

&

F-

&

?

дістанемо:

Лінійне тригонометричне

рівняння

Тригонометричне рівняння

(1)

називається лінійним. Воно зводиться до найпростіших рівнянь.

такий що

Рівняння набирає вигляду:

або

звідки дістаємо розв’язок

Умова, за якої рівняння (1) можна розв’язати, така:

(2)

Приклад. Розв’язати рівняння

або

Остаточно маємо:

Зведення тригонометричного рівняння

до алгебраїчного

Приклад. Розв’язати рівняння

має такий розв’язок:

Рівняння виду

(31)

Приклад. Розв’язати тригонометричне рівняння

Запишемо рівняння у вигляді

або

Це рівняння однорідне, і його можна подати у вигляді:

Маємо два розв’язки:

Наведемо в загальному вигляді типові заміни:

Розклад рівняння на множники

Якщо ліву частину рівняння вдається подати у вигляді добутку двох
множників:

Приклад. Розв’язати рівняння

Розкладемо рівняння на множники:

то рівняння набирає вигляду

і зводиться до двох рівнянь:

Рівність однойменних функцій

Розглянемо способи їх розв’язування.

виконаємо такі перетворення:

Отже, вихідне рівняння зводиться до рівнянь:

(1)

З формул (1) знаходимо розв’язки:

і знайдемо його розв’язки, скориставшись формулами (1):

Далі маємо:

звідки

(2)

Згідно з формулами (2) дістаємо:

можна подати у вигляді:

зводиться до рівняння

(3)

і скориставшись залежністю (3), дістанемо:

Згідно з формулами (3) маємо:

При цьому дістаємо рівняння

Перетворення добутків на суми,

а сум на добутки

Часто розв’язування тригонометричного рівняння спрощується завдяки
перетворенню добутків тригонометричних функцій на суми або сум на
добутки.

Перетворюємо добутки на суми:

знаходимо два розв’язки:

Приклад. Розв’язати рівняння

Перетворюємо добутки на суми:

Дістаємо рівняння

Перетворюємо суми на добутки:

Остаточно маємо рівняння

Послідовно знаходимо його розв’язки:

Розв’язування, що ґрунтується

на властивості обмеженості функцій

Розглянемо кілька рівнянь, під час розв’язування яких скористаємося
обмеженістю тригонометричних функцій.

Приклад. Розв’язати рівняння

Оскільки значення косинуса обмежені одиницею, то дане рівняння зводиться
до системи рівнянь:

Приклад. Розв’язати рівняння

Дане рівняння зводиться до системи рівнянь:

Щоб система рівнянь мала розв’язок, необхідне виконання такої умови:

Системи тригонометричних рівнянь

Під час розв’язування систем тригонометричних рівнянь, часто є сенс
вивести невідоме з-під знака тригонометричних функцій, скориставшись
їхніми властивостями.

Додаючи і віднімаючи рівняння почленно, дістаємо систему рівнянь

Звідси маємо:

піднесемо обидві частини рівняння до квадрата і додамо:

Розглядаємо два випадки:

Остаточно маємо:

при яких система рівнянь

має розв’язки, і розв’язати її.

Додаючи і віднімаючи рівняння почленно, дістаємо:

Ці рівняння мають розв’язки, якщо виконуються нерівності:

Отже, дістаємо систему рівнянь:

Додаючи і віднімаючи почленно рівняння останньої системи, знаходимо
шукані розв’язки:

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Перетворюємо перше рівняння:

Остаточно маємо систему:

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Згідно з умовою маємо:

не задовольняє рівняння, а отже, дістаємо:

дістанемо

Переходячи до початкових позначень, знаходимо розв’язки даної системи:

, дістанемо:

Звідси знаходимо розв’язки даної системи:

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Відшукуємо розв’язки, розглядаючи такі випадки:

Згідно з умовою маємо:

не задовольняє систему, а отже, дістаємо:

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

1

0

y

x

y = ln x

y = ex

1

x

y

0

1

–1

x

y

0

1

–1

0

x

x

y

0

y

x

0

a

x

A

y

x

0

a

x

A

y

x

0

x

x

a

Похожие записи