Курсова робота

Наближене обчислення визначених інтегралів

TOC \o «1-1» Вступ. GOTOBUTTON _Toc416793604 PAGEREF
_Toc416793604 3

Формули прямокутників і трапеції. GOTOBUTTON _Toc416793605 PAGEREF
_Toc416793605 4

Параболічне інтерполювання. GOTOBUTTON _Toc416793606 PAGEREF
_Toc416793606 6

Дроблення проміжку. GOTOBUTTON _Toc416793610 PAGEREF _Toc416793610
9

Залишковий член формули прямокутників. GOTOBUTTON _Toc416793621
PAGEREF _Toc416793621 11

Залишковий член формули трапеції. GOTOBUTTON _Toc416793624 PAGEREF
_Toc416793624 13

Залишковий член формули Сімпсона. GOTOBUTTON _Toc416793635 PAGEREF
_Toc416793635 14

Додаток 1. GOTOBUTTON _Toc416793639 PAGEREF _Toc416793639 17

Додаток 2. GOTOBUTTON _Toc416793648 PAGEREF _Toc416793648 20

Висновки. GOTOBUTTON _Toc416793649 PAGEREF _Toc416793649 22

Література. GOTOBUTTON _Toc416793650 PAGEREF _Toc416793650 23

Вступ.

Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення
інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі
разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що
не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули
наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула
Сімпсона.

Формули прямокутників і трапеції.

неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних
інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в
скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних
прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим
вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються
до різних методів наближеного обчислення.

В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких
наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень
підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених)
значень незалежної змінної.

, ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.

, а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого
прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули

,

. Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої
ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно
сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця
наближена формула і називається формулою прямокутників.

Мал. 1

, то формула перепишеться у вигляді

. (1)

Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз
цю формулу.

. Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із
ряду трапецій (рис2.). Якщо, як і раніш рахувати, що

разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть

.

Мал. 2

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули

. (2)

Це так звана формула трапецій.

обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем
точності.

Параболічне інтерполювання.

(близьким( до неї многочленом

(3)

і покласти

— го порядку( (3), в зв(язку з чим цем процес отримав назву
параболічного интерполювання.

визначається однозначно, і його вираз даеться інтерполяціонною
формулою Лагранжа:

.

. Тоді наближено

(4)

Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью
прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.

, то

(5)

і, як легко обчислити,

Таким чином, тут ми наближено вважаємо

На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції:
замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці.

буде мати вигляд

(7)

За допомогою легкого обчислення вираховуємо

і, аналогічно

,

.

Таким чином, приходимо до наближеної формули

.

Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка
обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через
крайні і середню точки кривої.

інтерполяційного многочлена, тобто проводя параболу (3) через все
більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність.
Но більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на
поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.

Дроблення проміжку.

, рівних проміжків

,

в зв(язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми

(9)

Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне
інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із
наближених формул – (4), (6), (8).

Легко збагнути, що виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов
отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) и (2).

Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості
положимо, як і вище,

.

Ми отримаємо

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Зрештою, додаючи почленно ці равенства, прийдемо до формули

(10)

Вона носит назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою
користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, аніж
формулами прямокутников і трапецій, бо она – при тих же затратах – дає
зазвичай більш точний результат.

Залишковий член формули прямокутників.

,

.

, то другий член зправа зникне, бо

(11)

Таким чином, отримаємо

,

так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має
вигляд

.

і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на
змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати

,

, і остаточно

. (12)

будемо мати точную формулу

.

) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях

,

де вираз

і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз

.

Тому остаточно маємо

(13).

.

Залишковий член формули трапеції.

. Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом
можемо написати

.

, знайдемо

,

так що залишковий член формули (6) буде

.

Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник
підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо

.

рівних частин

(14).

. Ми бачемо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того
ж порядку, що і для формули прямокутників.

Залишковий член формули Сімпсона.

Звернемося, нарешті до формули (8). Можно було б, аналогічно тому, як це
було зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа з
залишковим членом і покласти

(15).

. Тому ми зробимо інакше.

Вираз

,

похідних до четвертого порядку включно – отримаємо:

.

; ми знайдемо, що

так як

.

неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули
(8)

,

користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює
знака, можно підставити в такому вигляді:

.

рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий
член у вигляді

(16).

; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві
формули.

Додаток 1.

Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові
програмування QBASIC:

‘Тут описуються сталі

e = 2.718281828459045#

pi = 3.141592653589793#

‘Тут задається від під інтегральної функції

DEF fny# (x#) = e(x# (2

DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2

DEF fnxi# (i#) = a# + i# * h#

DEF fnxis# (i#) = a# + i# * h# / 2

DEF fnxic# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2

DEF fnxir# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2

CLS

‘Тут вводяться межі інтегрування та

‘кількість проміжків

INPUT «Введіть нижню межу інтегрування » a#

INPUT «Введіть верхню межу інтегрування » b#

INPUT «Введіть кількість проміжків » n#

‘Тут обчислюється крок

h# = (b# — a#) / n#

‘Тут обчислюється наближене значення

‘інтеграла за методом Сімпсона

integ# = 0

FOR i# = 1 TO ((2 * n#) — 1)

integ# = integ# + fncoef#(i#) * fny#(fnxis#(i#))

NEXT

integ# = integ# + fny#(a#) + fny#(b#)

integ# = integ# * (h# / 6)

PRINT «Simpson = «; integ#

‘Тут обчислюється наближене значення

‘інтеграла за методом трапецій

integ# = 0

FOR i# = 1 TO (n# — 1)

integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))

NEXT

integ# = integ# + (fny#(a#) + fny#(b#)) / 2

integ# = integ# * h#

PRINT (Trapeze = (; integ#

‘Тут обчислюється наближене значення

‘інтеграла за методом лівих прямокутників

integ# = 0

FOR i# = 0 TO (n# — 1)

integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))

NEXT

integ# = integ# * h#

PRINT «L Rectangle = «; integ#

‘Тут обчислюється наближене значення

‘інтеграла за методом центральних прямокутників

integ# = 0

FOR i# = 0 TO n#

integ# = integ# + fny#(fnxic#(i#))

NEXT

integ# = integ# * h#

PRINT «C Rectangle = «; integ#

‘Тут обчислюється наближене значення

‘інтеграла за методом правих прямокутників

integ# = 0

FOR i# = 1 TO n#

integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#))

NEXT

integ# = integ# * h#

PRINT «R Rectangle = «; integ#

Додаток 2.

Далі подані результати роботи програми, яка викладена в додатку 1.

n=1000

Метод Сімпсона -8.742278155181581D-08

Метод трапецій -8.742270585611512D-08

Метод лівих прямокутників 3.141505318306509D-03

Метод центральних прямокутників -3.14167628761223D-03

Метод правих прямокутників -6.283265152840917D-03

n=1000

Метод Сімпсона 2.000000000000067

Метод трапецій 1.999998355065565

Метод лівих прямокутників 1.999998355202888

Метод центральних прямокутників 1.999995887392223

Метод правих прямокутників 1.999990952591778

в межах від 0 до 1

n=1 n=10 n=100 n=1000 n=10000

М-д Сімпсона ,33333333333 ,3333333333333 ,3333333333333 ,3333333333
,3333333333333

М-д трапецій ,5 ,335 ,33335 ,3333334999999 ,3333333349999

М-д лів. прямокутників 0 ,2850000000000001 ,32835 ,3328334999999
,3332833349999

М-д центр. прямокутників 2,5 ,44275 ,34342525 ,33433425025
,3334333425002

М-д правих прсмокутників 2,25 ,4425000000000001 ,3434249999999 ,33433425

,3334333424999

в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона .7468241385662959

Метод трапецій .7468240772530558

Метод лівих прямокутників .7471401375268841

Метод центральних прямокутників .7471916808878213

Метод правих прямокутників .7461916811378212

n=1000

Метод Сімпсона .8323745796964475

Метод трапецій .8323723082182791

Метод лівих прямокутників .8325874590746988

Метод центральних прямокутників .8319367429487694

Метод правих прямокутників .8319318081462942

Висновки.

У данній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених
інтегралів, були виведині формули обчислень, формули додаткових членів.
Результати, які наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш
вигідним є використання формули Сімпсона.

Література.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т.
1 М.: 1968.

Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам.

М.: 1979.

Математический практикум. М.: 1960.

. Це маємо пам(ятати і надалі.

. Значить, для такого многочлена формула (8) будет точною.

PAGE

PAGE 23

Похожие записи